Forum:  Diff.topologie/-geometrie
Thema: Zusammenhängende Mannigfaltigkeit ist wegzusammenhängend
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niki3k
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Themenstart: 2021-04-16 18:50

Guten Tag,

ich stecke momentan bei einer Aufgabe fest. Sie lautet wie folgt:
"Sei \(M\) eine zusammenhängende topologische Mannigfaltigkeit. Dann ist \(M\) wegzusammenhängend."

Mein Ansatz ist, einen beliebigen Punkt \(p \in M\) zu nehmen und dessen Wegzusammenhangskomponente \(C_p\) zu betrachten. Nun möchte ich zeigen, dass \(C_p\) offen und abgeschlossen in \(M\) ist (weil daraus \(M = C_p\) folgt, wegen Zusammenhang).
Meine Idee war es, für jeden Punkt \(x \in C_p\) eine Karte \((U_x, \varphi_x)\) zu finden und zu zeigen, dass \(U_x \subset C_p\) gilt. Schaffe ich es, zu zeigen, dass \(\varphi_x(U_x) \subset \mathbb R^n\) wegzusammenhängend ist, sollte das kein Problem sein, aber genau da stecke ich fest. Wie kann man dort ansetzen? Ein Denkanstoß würde eventuell schon reichen.


Triceratops
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-16 19:11

Tipp: Jede offene Kugel in $\IR^n$ ist wegzusammenhängend. Du kannst die Karten so einrichten, dass sie auf offene Kugeln abbilden.


niki3k
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Dabei seit: 10.02.2021
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-17 08:56

Danke für den Tipp, er hat mir sehr geholfen. Ich würde es jetzt so machen: Für genügend kleines \(r > 0\) ist \(B := B_r(\varphi_x(x))\) in \(\varphi_x(U_x)\) enthalten und außerdem wegzusammenhängend. Letztere Eigenschaft bleibt nach Anwendung des Homöomorphismus' \(\varphi_x^{-1}\) erhalten, wodurch \(\varphi_x^{-1}(B)\) eine wegzusammenhängende offene Umgebung von \(x\) ist, und deshalb in \(C_p\) enthalten ist.




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Druckdatum: 2021-06-23 23:25