Forum:  Systeme von DGL
Thema: Unvollständigkeit eines Vektorfeldes (Beispiel)
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Phoensie
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Dabei seit: 11.04.2020
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Wohnort: Muri AG, Schweiz
Themenstart: 2021-04-17 14:31
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Liebe Matheplanetarier

Könnt ihr mir helfen, den nachfolgenden Beweis zu verstehen?

Aufgabe.
Das Vektorfeld $F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $F(x,y) = \begin{pmatrix}y \\x^2\end{pmatrix}$, ist unvollständig.

Zu zeigen.
Es existiert eine Integralkurve $\varphi:I \to \mathbb{R}^2$, $I \subset \mathbb{R}$, welche $\dot{\varphi}(t)=F(\varphi(t))$ erfüllt, aber nicht auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist.

----------------------------------------------------------------

Beweis (kommentierte Lösung).
Sei $\varphi:I \to \mathbb{R}^2$ eine Integralkurve von $F$ mit $\varphi(0)=(x_0,y_0)$, definiert als $\varphi(t)=(x(t),y(t))$ mit Komponentenfunktionen $x:I \to \mathbb{R}$ und $y:I \to \mathbb{R}$. Die Bedingung $\dot{\varphi} = F \circ \varphi$ ist äquivalent zu $(\dot{x}(t),\dot{y}(t))=(y(t),x(t)^2)$, woraus wir die Beziehung
$$ \ddot{x}(t) = \dot{y}(t) = x(t)^2$$ folgern können. Integrieren wir diese Gleichung nach $x$, so ergibt sich
\[
\frac{1}{2}\dot{x}^2 = \frac{1}{3}(x^3 + C)
\] wobei $C = \frac{1}{2}y_0^2 - \frac{1}{3}x_0^3$ ist.

Darf man hier einfach so nach $x$ integrieren; $x$ hängt doch von $t$ ab (d.h. ist dies verträglich mit der Kettenregel)? Wie sehen die Integralgrenzen hier aus?


Integrieren wir nochmals, erhalten wir
\[
t = \int_{x_0}^x \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}(u^3 + C)}} \mathrm{d}u
\] wobei wir angenommen haben, dass $\dot{x}(0)=y_0 > 0$ ist, um die positive Wurzel von $\dot{x}^2$ wählen zu können und auch um sicherzustellen, dass das Integral in der unteren Grenze konvergiert.

Was wurde integriert und wonach? Ich sehe nicht, wie man auf diese Formel für $t$ kommt...


Da das Integral auch für $x \to \infty$ konvergiert, folgt, dass $x(t)$ nur für $t \in [0;T)$ definiert ist, mit
\[
T = \int_{x_0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}(u^3 + C)}} \mathrm{d}u < \infty
\] Somit ist $F$ unvollständig. QED.

----------------------------------------------------------------

Ich danke für Klarstellungen (auch vielleicht trivial erscheinender Details).

Gruss Phoensie🙃
\(\endgroup\)

sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 500
Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-17 17:07

Hallo Phoensie,

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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)2021-04-17 14:31 - Phoensie im Themenstart schreibt:

Darf man hier einfach so nach $x$ integrieren; $x$ hängt doch von $t$ ab (d.h. ist dies verträglich mit der Kettenregel)? Wie sehen die Integralgrenzen hier aus?


\(\endgroup\)

Aus \(\ddot{x}(t)=x(t)^2\) folgt \(\ddot{x}(t)\dot{x}(t)=x(t)^2\dot{x}(t)\). Nach der Kettenregel bedeutet das \(\frac{d}{dt}\frac{1}{2}\dot{x}(t)^2=\frac{d}{dt}\frac{1}{3}x(t)^3\), dies integrierst Du von \(0\) bis \(t\) und verwendest \(x(0)=x_0\) und \(\dot{x}(0)=y(0)=y_0\). Mit dem von Dir angegebenen \(C\) müsste sich dann aber \(\frac{1}{2}\dot{x}(t)^2=\frac{1}{3}x(t)^3+C\) ergeben (ohne die Klammer).


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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)2021-04-17 14:31 - Phoensie im Themenstart schreibt:

Was wurde integriert und wonach? Ich sehe nicht, wie man auf diese Formel für $t$ kommt...


\(\endgroup\)

Aus der vorigen Formel folgt \(\dot{x}(t)=\sqrt{\frac{2}{3}x(t)^3+2C}\). Dann wurde wahrscheinlich TDV benutzt, das muss ich mir nochmal im Detail anschauen:
de.wikipedia.org/wiki/Trennung_der_Ver%C3%A4nderlichen#Der_Satz


Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 435
Wohnort: Muri AG, Schweiz
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-17 22:03

sonnenschein96,

Ich danke dir für die ausführliche Erläuterung meiner ersten Frage; da ist nun alles sonnenklar.😄

Für die zweite Frage denke ich, dass dein Gedanke mit Trennung der Variablen in die richtige Richtung geht (hab's mir auf Papier durchskizziert und scheint plusminus aufzugehen).

Ich wünsche einen schönen Abend.
LG Phoensie😉


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 500
Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-17 22:42

Ich denke man könnte in etwa so argumentieren:

Es sei \(V\) das maximale Existenzintervall und \(T:=\sup V\). Wegen \(\dot{y}(t)=x(t)^2\geq0\) ist \(\dot{x}=y\) motonon wachsend, womit \(\dot{x}(t)\geq y_0>0\) für alle \(t\in[0,T)\). Dies erklärt, warum wir für jedes \(t\in[0,T)\) die positive Wurzel wählen konnten.

Es sei \(U:=(-(3C)^{\frac{1}{3}},\infty)\) und \(\Phi(x):=\int_{x_0}^x\frac{du}{\sqrt{\frac{2}{3}u^3+2C}}\). Es gilt \(g\equiv1\) womit \(h(t)=t\) ist. Da \(x\) monoton wachsend ist (\(\dot{x}(t)>0\) für alle \(t\in[0,T)\)), gilt \(x(t)\in U\) für alle \(t\in[0,T)\).

Nach TDV gilt nun \(x=\Phi^{-1}\circ h\) bzw. \(t=h(t)=\Phi(x(t))=\int_{x_0}^{x(t)}\frac{du}{\sqrt{\frac{2}{3}u^3+2C}}\) für alle \(t\in[0,T)\).  Wegen \(\int_{x_0}^{\infty}\frac{du}{\sqrt{\frac{2}{3}u^3+2C}}<\infty\) ist \(T<\infty\). Aus der Theorie des maximalen Existenzintervalls folgt \(\lim_{t\to T}x(t)=\infty\), womit \(T=\int_{x_0}^{\infty}\frac{du}{\sqrt{\frac{2}{3}u^3+2C}}\) ist.




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Druckdatum: 2021-06-23 23:46