Forum:  Determinanten
Thema: Determinantenfunktion, Bosch Lineare Algebra
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Talvin
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Themenstart: 2021-04-17 20:50

Hallo zusammen!

Im Bosch gibt es ja leider nur zu wenigen Aufgaben eine Lösung, deswegen wollte ich mal nachfragen, ob ich mir bei der folgenden Aufgabe das Richtige gedacht habe (Bosch Lineare Algebra, 4.2 Aufgabe 1):


Es seien V ein n-dimensionaler. K-VR, $U \subset V$ ein r-dim. linearer Unterraum und $x_{r+1},...,x_n$ ein fest gegebenes System von Vektoren in V.
Für eine Determinantenfunktion $\Delta: V^n \rightarrow K$ zeige man, dass sich durch

$$\Delta_U(a_1,...,a_r) := \Delta(a_1,...,a_r,x_{r+1},...,x_n)$$
eine Determinantenfunktion $\Delta:U^r \rightarrow K$ definieren lässt.
Wann ist $\Delta_U$ nicht-trivial?



Was ich habe:
1) Zu zeigen ist, dass $\Delta_U$ eine alternierende, multilineare Abbildung ist.

Multilinearität und die alternierende Eigenschaft von $\Delta_U$ ergeben sich durch einfaches Nachrechnen aus den entspr. Eigenschaften von $\Delta$. Z.B.:

$\Delta_U(a_1,...,a_{i-1},\alpha a_i + \alpha 'a_i',a_{i+1},...,a_r) \\
=\Delta(-"-,x_{x+1},...,x_n) \\
=\alpha * \Delta(a_1,...,a_i,...a_r,x_{r+1},...,x_n) \\
+\alpha' * \Delta(a_1,...,a_i',...,a_r,x_{r+1},...,x_n)\\
=\alpha * \Delta_U(...) + \alpha' * \Delta_U(...)  $


2) Wann ist $\Delta_U$ nicht-trivial?

$\Delta_U$ ist genau dann nicht-trivial, wenn für jede Basis $X = (x_1,....,x_r)$ von U $\Delta_U(x_1,...,x_r) \neq 0$, also $\Delta(x_1,...,x_r,x_{r+1},...,x_n) \neq 0$ gilt.
Dann müssen die $x_i$ aber linear unabhängig sein, also eine Basis von V bilden. Daraus folgt, dass die $x_{r+1},...,x_n$ als Basiserweiterung einer Basis von U zu einer Basis von V gewählt sein müssen.
Edit: Es sollte auch $\Delta$ nicht-trivial sein.


Vor allem bei der zweiten Teilaufgabe bin ich mir nicht so sicher, wäre super, wenn ihr mir ein Feedback geben könntet!

Viele Grüße,
Tim


StefanVogel
Senior
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-18 08:04

Hallo Talvin,
Basiserweiterung denke ich auch, dass das die entscheidende Bedingung ist.

Viele Grüße,
  Stefan




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Druckdatum: 2021-06-15 23:17