Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Erwartungswert zweier Zufallsvariablen bestimmen
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julian2000P
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Themenstart: 2021-04-19 10:29

Hallo zusammen,

ich betrachte eine $\sigma$-Algebra $\mathcal{G}$. Sei $Y$ $\mathcal{G}$-mb. und $X$ sei von $G$ unabhängig. Außerdem ist noch eine beschränkte, messbare Funktion $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ gegeben. Ich soll nun zeigen, dass
\[
\mathbb{E}[f(X,Y)] = g(X) \text{ , f.s}
\] gilt, wobei $g = x \mapsto \mathbb{E}[f(x,Y)]$, also man setzt ein fixes $x \in \mathbb{R}$ ein, und nimmt den Erwartungswert bezüglich $Y$.

Habe schon einiges versucht, u.a. weiß ich ja dass $P^{(X,Y)}(A \times B) = P^X(A)P^Y(B)$, weil ja auch $X$ und $Y$ unabhängig sind. Habe schon versucht dann eventuell Fubini anzuwenden, jedoch ohne Erfolg.
Thematisch sind wir gerade bei der bedingten Erwartung, kann ich damit eventuell argumentieren?

Wäre über einen kleinen Hinweis bzw. Ansatz sehr dankbar.

Grüße


AnnaKath
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-19 11:48

Huhu Julian,

wenn Du Dich mit bedingten Erwartungen beschäftigst, so ist Dir sicher deren Faktorisierung bekannt. Genau das machst Du hier auch.

Formal kannst Du alles Dir zu bedingten Erwartungen Bekannte ausnutzen, wenn Du etwa mit $g(X) = \mathbb{E}[g(X)|X]$ startest.

lg, AK


julian2000P
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Dabei seit: 25.10.2020
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19 17:02

Hallo AnnaKath,

zunächst einmal vielen Dank für deine Antwort.

Ich weiß dass die bedingte Erwartung $\mathbb{E}[g(X)|X]$ eine $\sigma(X)$-mb. Funktion ist. Unser Faktorisierungslemma aus der VO sagt grundsätzlich nur dass ich die bedingte Erwartung also als eine Funktion von $X$ darstellen kann.

Ich bin mir allerdings nicht sicher ob du das mit Faktorisierung gemeint hast. Kannst du das eventuell noch etwas genauer erklären was Faktorisierung in Bezug auf die bedingte Erwartung bedeutet. Ein Link zu einer Erklärung wäre auch super, habe zwar selbst schon ein bisschen recherchiert, bin allerdings nicht fündig geworden?

Grüße


AnnaKath
Senior
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-19 18:47

Huhu Julian,

vermutlich ist meine Suchmaschine glücklicher, jedenfalls ergibt mein erster Treffer bei der Suche nach "Bedingte Erwartung Faktorisierung" dies hier... Jedenfalls ist schon der entsprechende Part gemeint.

Was ist in dieser Aufgabe überhaupt zu tun? Du hast eine Zufallsvariable $f(X,Y)$ gegeben und möchtest deren Erwartungswert $\mathbb{E}^Y$ bezüglich $Y$ bestimmen. Das hast Du geschrieben. Vielleicht wäre es ein guter erster Schritt einmal aufzuschreiben, was das denn überhaupt bedeutet. Was ist der Erwartungswert "bezüglich Y"?
Sobald Du das einmal richtig dastehen hast, kannst Du das ein wenig mit den bekannten Eigenschaften der bed. Erw. umformen und erhältst dann eine Konstellation, in der die Behauptung der Aufgabe schlicht die Faktorisierung ist.

lg, AK


julian2000P
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19 20:46

Hallo AnnaKath,

danke nochmals für deine Antwort. Mir ist die Sache nun denke ich schon klarer, dann werde ich mal versuchen damit an die Sache heranzugehen.

Grüße


julian2000P
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-21 16:12

Hallo nochmal,

ich glaube die Lösung nun gefunden zu haben. Damit kann ich das Thema abhaken.
Dann nochmals vielen Dank für deine Hilfe AnnaKath!

Grüße




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Druckdatum: 2021-06-22 03:44