Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Ableitung eines Erwartungswertes
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Sven12345
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Dabei seit: 21.04.2021
Mitteilungen: 3
Themenstart: 2021-04-21 11:07

Hallo zusammen,

ich versuche mich gerade (aus Interesse) durch die Maßtheorie zu kämpfen, um die "korrekte" Herleitung des Lebesgue-Integral vollständig zu verstehen. Dabei ist mir jedoch ein Problem aus der Stochastik begegnet.

Sei $X$ eine reellwertige Zufallsvariable mit $X \ge 0$.

Nun steht in dem Buch, dass

$\frac{d}{dz} \mathbb{E}[\max \{X - z, 0\}] = P(X \ge z)$

ist. Wieso ist das der Fall? Ich habe mir folgendes überlegt:

$\mathbb{E}[\max \{X - z, 0\}] = \mathbb{E}[(X -z)\cdot 1_{X \ge z} + 0 \cdot 1_{X<z}] $

Sorry, ich weiß nicht wie man in Latex die Indikatorfunktion benutzt. Demzufolge ist durch die Linearität von $\mathbb{E}$

$\mathbb{E}[(X -z)\cdot 1_{X \ge z} + 0 \cdot 1_{X<z}] =
\int \limits_{z}^{\infty} (x - z)f(x) dx + \int \limits_{-\infty}^{z} 0\cdot f(x) dx = \int \limits_{z}^{\infty} (x - z)f(x) dx $

wobei $f$ die Dichtefunktion des Wahrscheinlichkeitsmaßes $P$.

Kann man die Ableitung mit dem Integral tauschen? Wenn ja, unter welchen Voraussetzungen? Falls das überhaupt ginge, dann hätte ich immer noch
$\int \limits_{z}^{\infty} \frac{x}{dx} (x\cdot f(x)) = \int \limits_{z}^{\infty} f(x) + f'(x)x$
was auch nicht
$P(X  \ge z) = \int \limits_{z}^{\infty} f(x) dx$
entspricht.

Beste Grüße


Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-21 13:23

Hallo Sven12345 und willkommen!

Wenn du \(\int_z^{\infty} (x-z)f(x) \, dx \) nach \(z\) ableitest, musst du zunächst beachten, dass die Variable \(z\) an zwei unterschiedlichen Stellen vorkommt. Dann musst du die mehrdimensionale Kettenregel anwenden. Dazu setze etwa \(g:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), \(h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\), \(g(a,b)= \int_a^{\infty} (x-b)f(x) \, dx \) und \(h(t)=(t,t)\). Dann ist \(\int_z^{\infty} (x-z)f(x) \, dx = g(h(z))\) und du kannst die Kettenregel anwenden.

Du musst in der Tat dennoch an einer Stelle begründen, warum du eine Ableitung in ein Integral ziehen darfst. Dazu schaue etwa hier de.wikiversity.org/wiki/Parameterabh%C3%A4ngiges_Integral/Ma%C3%9Fraum_und_reelles_Intervall/Differenzierbarkeit/Fakt

PS: Als Ergebnis sollte wohl \(-P(X \geq z)\) rauskommen. Das macht ja auch Sinn, denn offenbar ist die Abbildung \(z \mapsto \mathbb{E}[\max\{X-z,0\}]\) monoton fallend


Sven12345
Neu
Dabei seit: 21.04.2021
Mitteilungen: 3
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-21 14:28

Unter der Annahme dass ich die Ableitung in das Integral reinziehen darf habe ich es mal ausgerechnet. Du hast vollkommen recht ein Minus bleibt übrig und man erhält

$\int \limits_{z}^{\infty} -f(x) dx = - P(X \ge z)$

Ja, die Begründung mit der Montonie ist echt gut, da habe ich gar nicht drüber nachgedacht, aber dadurch muss natürlich die Ableitung negativ sein.

Dein Link mit der Erklärung warum die Ableitung hineingezogen werden darf, überschlägt mich aktuell noch sehr mit Begrifflichkeiten, die ich zwar schon mal gehört habe und teilweise verstehe, aber der komplette Zusammenhang bzw. Verständnis fehlt. Werde ich später mal nachlesen müssen.

Nach der Kettenregel muss ja $g$ auch abgeleitet wird. Partiell, einmal nach $a$ und $b$. Falls ich obiges verstanden habe, dann ist der Fall der partiellen Ableitung nach $b$ klar. Aber der andere ist weiterhin unklar. Wie leitet man eine Integralgrenze ab?


Kampfpudel
Senior
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-22 00:37

2021-04-21 14:28 - Sven12345 in Beitrag No. 2 schreibt:
Aber der andere ist weiterhin unklar. Wie leitet man eine Integralgrenze ab?

Das regelt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Grob gesagt, wenn \(F(x)= \int_a^x f(t) \, dt\), dann ist \(\frac{d}{dx} F(x) = f(x)\).

Ist die abzuleitende Variable die obere Grenze, ist die Ableitung einfach der Integrand mit eingesetzter Variable. Ist die Variable die untere Grenze (wie in unserem Fall), musst du wegen \(\int_a^x f(t) \, dt = - \int_x^a f(t) \, dt\) noch zusätzlich ein Minus spendieren.





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Druckdatum: 2021-06-22 03:51