Forum:  Zahlentheorie
Thema: Eulers Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen
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OliverFuchs
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Themenstart: 2021-04-21 16:18
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Hallo,
Wieder komme ich mit einem Beispiel aus den Übungen Zahlentheorie
der Uni Wien unter L. Summerer.

Beispiel 14.2
Erkläre die folgenden Gleichungen und zeige damit indirekt, dass
es unendlich viele Primzahlen gibt: (Beweis von Euler)
$$ \prod_{p\in\PP}(1 − 1/p)^{−1}
=\prod_{p\in\PP}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^k}
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}
$$
Ich möchte hier nur die Beweis Idee durchgehen und dann auf
die Schwierigkeit eingehen die ich habe. Es wurde gesagt,
dass der Beweis von  Euklid für die Unendlichkeit der
Primzahlen nur verwendet, dass jede natürliche Zahl zumindest
einen Primteiler hat. Mehr nicht.

Dieser Beweis von Euler verwendet nun, angeblich die eindeutige
Primfaktorzerlegung, die wir ohne der Tatsache dass es unendlich viel
Primzahlen gibt, herleiten konnten.

Um das erste = Zeichen zu verstehn braucht man die Summenformel
der geometirischen Reihe. Das ist, dass die Reihe
 $\sum_{i=0}^{\infty}q^i$ für $q\in\RR,\vert q\vert <1$ konvergiert
und zwar gilt $\sum_{i=0}^{\infty}q^i=\frac{1}{1-q}$. Da immer $p>1$
gilt ist $\vert\frac{1}{p}\vert<1$. Also kann man
$(1-1/p)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^k}$ setzen.

Nun schließt L.Summerer indirekt. Wenn es nur endlich viele
Primzahlen gibt, so ist das Produkt $\prod_{p\in\PP}(1-1/p)^{-1}$ ein
endliches Produkt endlicher Zahlen, also selber eine endliche
Zahl.

Jetzt kommt der erste Punkt wo ich unsicher bin.
Ich kann folgendes anschreiben. Wenn ich endliche viele
Primzahlen habe, dann kann ich sie der Größe nach ordnen.
Dann ist die PFZ eindeutig. Also sagen wir die Primazahlen
wären $p_1<p_2<\cdots<p_s$, also $\PP=\{p_1,p_2,\cdots,p_s\}$.
Dann schreibe ich.

$$ \prod_{p\in\PP}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^k}=
\prod_{j=1}^{s}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{p_j^k}\\
=\lim_{n\to\infty}\prod_{j=1}^{s}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{p_j^k}\\
=\lim_{n\to\infty}\sum_{(\tau_1,\cdots,\tau_s)\in\{0,\cdots,n\}^s}
\frac{1}{p_1^{\tau_1}\cdot\cdots\cdot p_s^{\tau_s}}
$$ Die erste Frage die ich habe betrifft das letzt = Zeichen ich
habe das Produkt mehr inutiv ausmultipliziert. Ohne Beweis. Habe
ich das richtig gemacht?

Nun kommt der Schluss den ich L. Summerer unterstelle.
Die eindeutige Primfaktorzerlegung sagt mir, wenn $\PP=
\{p_1,\cdots,p_s\}$ mit $p_1<p_2<\cdots p_s$ ist, das ich jeder
natürlichen Zahl $n$ auf eindeutige Weise einen Vektor
$(\gamma_1,\cdots,\gamma_n)$ $\gamma_i\in\NN$
zuordnen kann, sodass $n=p_1^{\gamma_1}\cdot\cdots\cdot p_s^{\gamma_s}$
Man kann je eine Abbildung immer in zwei Richtungen lesen
Ordne ich jedem $n\in\NN$ den Vektor zu, dann liefert die
Eindeutigkeit die Wohldefiniertheit der Abbildung.
Ordne ich jedme Vektor, über die Formel der PFZ, eine natürliche
Zahl zu, dann leifert die Eindeutigkeit die Injektivität der Abbildung.
Jetzt kann ich etwas nachplappern das ich nicht verstehe.
Da habe ich einen Knopf.
Wenn ich über die PFZ jedem $n$ so genau einen Vektor zuordnen kann
und jeder Vektor, wieder über die Formel der PFZ genau eine
natürliche Zahl gibt, dann muss ich wohl eine 1-1 Abbildung zwischen
den Vektoren und den natürlichen Zahlen haben.

Das kann ich sagen aber nicht sehen und auch nicht glauben.
Ich müsst ja genau genomme eine Bijektion herstellen.
Gehen kann es natürlich weil ein beliebig lange Vektor einer rationalen
Zahl mit endlicher Dezimalbruchentwicklung entspricht und $\QQ$ ist
mit $\NN$ gleich mächtig also gibt es eine Bijektion. Nur hinschreiben
kann ich sie nicht.

Das wissen setzt aber L. Summerer voraus, wenn er weiter schließt.

Damit entspricht
$$ \prod_{i=1}^{s}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^k}=\sum_{i=0}^{\infty}
\frac{1}{n}
$$ Nun haben wir zuerst gesagt, dass links eine endliche Zahl
steht aber die harmonsiche Reihe rechts divergiert, was den Widerspruch
liefert.

Und für alle die noch nicht ganz verwirrt sind noch etwas zur
Verwirrung wo ich auch den Knopf nicht sehe.


Wenn ich die Zahlen $1<k<m=p_1^n\cdot\cdots\cdot p_s^n$
alle durch PFZ's beschreiben will wo die Exponenten kleiner als $n$
sind werde ich scheitern.
Beispiel
$p_1=2,P_2=3,p_3=5,n=3$. Dann ist $m=2^3\cdot 3^3\cdot 5^3=27000$
aber $2^4=16$.
Also gibt es eine natürliche Zahl, nämlich $r=16$
mit $0<16<m$ die aber keine PFZ der Form
$p_1^{\tau_1}\cdot\cdots\cdot p_s^{\tau_s}$ mit $0\leq \tau_i\leq n$
hat.
Wenn ich also
$\prod_{i=1}^{s}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{p^k}=
\sum_{(\tau_1,\cdots,\tau_s)\in\{1,2,\cdots,n\}^s}
\frac{1}{p_1^{\tau_1}\cdot\cdots\cdot p_s^{\tau_s}}$ betrachte,
so werden damit nicht alle natürlichen Zahlen bis $m$ abgedeckt.
Diese Abdeckung hat Löcher. Der Teilbereich
$0<r<R=p_1^n<m$ hat keine Löcher. Das sollte reichen aber wie.
Hier habe ich einen andern Blick auf die Situation geworfen
wo ich die Injektivität nicht so leicht sehen kann. Wo liegt
da der Knick in der Optik?

lg Oliver🙂
\(\endgroup\)

Sismet
Senior
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-21 21:15
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
Hey,
ich fang mal an:
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$$ \prod_{p\in\PP}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^k}=
\prod_{j=1}^{s}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{p_j^k}\\
=\lim_{n\to\infty}\prod_{j=1}^{s}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{p_j^k}\\
=\lim_{n\to\infty}\sum_{(\tau_1,\cdots,\tau_s)\in\{0,\cdots,n\}^s}
\frac{1}{p_1^{\tau_1}\cdot\cdots\cdot p_s^{\tau_s}}
$$ Die erste Frage die ich habe betrifft das letzt = Zeichen ich
habe das Produkt mehr inutiv ausmultipliziert. Ohne Beweis. Habe
ich das richtig gemacht?
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)

Ja das ist alles richtig gerechnet.

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\(\begingroup\)\(\newcommand{\al}{\alpha} \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\bs}{\backslash} \newcommand{\ga}{\gamma} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\ep}{\varepsilon} \newcommand{\ze}{\zeta} \newcommand{\et}{\eta} \newcommand{\io}{\iota} \newcommand{\ka}{\kappa} \newcommand{\la}{\lambda} \newcommand{\rh}{\rho} \newcommand{\si}{\sigma} \newcommand{\ta}{\tau} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\ch}{\chi} \newcommand{\ps}{\psi} \newcommand{\om}{\omega} \newcommand{\Ga}{\Gamma} \newcommand{\De}{\Delta} \newcommand{\Th}{\Theta} \newcommand{\La}{\Lambda} \newcommand{\Si}{\Sigma} \newcommand{\Ph}{\Phi} \newcommand{\Ps}{\Psi} \newcommand{\Om}{\Omega} % --- Blackbord Boldface --- \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\ZZ}{\mathbb Z} \newcommand{\QQ}{\mathbb Q} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\CC}{\mathbb C} \newcommand{\HH}{\mathbb H} \newcommand{\DD}{\mathbb D} \newcommand{\TT}{\mathbb T} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\oo}{{\infty}} \newcommand{\PP}{\mathbb P} \newcommand{\BB}{\mathbb B} \newcommand{\MM}{\mathbb M} \newcommand{\alt}{\operatorname{alt}}  \newcommand{\dom}{\operatorname{Dom}}  \newcommand{\ceil}{\operatorname{ceil}}  \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}  \newcommand{\ev}{\operatorname{ev}}  \newcommand{\floor}{\operatorname{floor}}  \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}}  \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}}  \newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}}  \newcommand{\im}{\operatorname{Im}}  \newcommand{\id}{\operatorname{id}}  \newcommand{\incl}{\operatorname{incl}} \newcommand{\kgV}{\operatorname{kgV}} \newcommand{\li}{\operatorname{li}}  \renewcommand{\mod}{\operatorname{mod\;}}  \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}  \newcommand{\ptp}{\operatorname{ptp}}  \newcommand{\rang}{\operatorname{rang}}  \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}  \newcommand{\sym}{\operatorname{sym}}  \newcommand{\trg}{\operatorname{Trg}}  \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}  \newcommand{\card}{\operatorname{card}}  \newcommand{\nand}{ \mathop {\bar \wedge}} %NAND  \newcommand{\SL}{\operatorname{SL}} \renewcommand{\>}{\Rightarrow}  \newcommand{\<}{\Leftarrow}  \newcommand{\gdw}{\Leftrightarrow} \newtheorem{Theorem}{Theorem}[section]  \newtheorem*{Theorem*}{Theorem}  \newtheorem*{BemerkungOF*}{BemOF}  \newtheorem{Folgerung}{Folgerung}[section]  \newtheorem*{Folgerung*}{Folgerung}  \newtheorem{Zusammenfassung}{Zusammenfassung}[section]  \newtheorem*{Zusammenfassung*}{Zusammenfassung}  \newcommand{\bthe}{\begin{Theorem}}  \newcommand{\ethe}{\end{Theorem}}  \newcommand{\bauf}{\begin{Aufgabe}}  \newcommand{\eauf}{\end{Aufgabe}}  \newcommand{\bbsp}{\begin{Beispiel}}  \newcommand{\ebsp}{\end{Beispiel}}  \newcommand{\bbsps}{\begin{Beispiel*}}  \newcommand{\ebsps}{\end{Beispiel*}}  \newcommand{\bbem}{\begin{Bemerkung}}  \newcommand{\ebem}{\end{Bemerkung}}  \newcommand{\bbems}{\begin{Bemerkung*}}  \newcommand{\ebems}{\end{Bemerkung*}}  \newcommand{\bbw}{\begin{Beweis}}  \newcommand{\ebw}{\end{Beweis}}  \newcommand{\bdefi}{\begin{Definition}}  \newcommand{\edefi}{\end{Definition}}  \newcommand{\bdefis}{\begin{Definition*}}  \newcommand{\edefis}{\end{Definition*}}  \newcommand{\bfolg}{\begin{Folgerung}}  \newcommand{\efolg}{\end{Folgerung}}  \newcommand{\bfolgs}{\begin{Folgerung*}}  \newcommand{\efolgs}{\end{Folgerung*}}  \newcommand{\bkor}{\begin{Korollar}}  \newcommand{\ekor}{\end{Korollar}}  \newcommand{\bkors}{\begin{Korollar*}}  \newcommand{\ekors}{\end{Korollar*}}  \newcommand{\blem}{\begin{Lemma}}  \newcommand{\elem}{\end{Lemma}}  \newcommand{\bhlem}{\begin{Hilfslemma}}  \newcommand{\ehlem}{\end{Hilfslemma}}  \newcommand{\blems}{\begin{Lemma*}}  \newcommand{\elems}{\end{Lemma*}}  \newcommand{\bhlems}{\begin{Hilfslemma*}}  \newcommand{\ehlems}{\end{Hilfslemma*}}  \newcommand{\bsatz}{\begin{Satz}}  \newcommand{\esatz}{\end{Satz}}  \newcommand{\bsatzs}{\begin{Satz*}}  \newcommand{\esatzs}{\end{Satz*}}  \newcommand{\bprops}{\begin{Proposition*}}  \newcommand{\eprops}{\end{Proposition*}}  \newcommand{\bprop}{\begin{Proposition}}  \newcommand{\eprop}{\end{Proposition}}  \newcommand{\bthes}{\begin{Theorem*}}  \newcommand{\ethes}{\end{Theorem*}}  \newcommand{\bbeof}{\begin{BemerkungOF*}}  \newcommand{\ebeof}{\end{BemerkungOF*}}  \newcommand{\bzus}{\begin{Zusammenfassung}}  \newcommand{\ezus}{\end{Zusammenfassung}} \newcommand{\bzuss}{\begin{Zusammenfassung*}}  \newcommand{\ezuss}{\end{Zusammenfassung*}}  \newcommand{\ub}{\underbrace}  \newcommand{\us}{\underset}  \newcommand{\ul}{\underline}  \newcommand{\ol}{\overline}  \newcommand{\os}{\overset}  \newcommand{\sst}{\scriptstyle}  \newcommand{\st}{\scriptsize}  \newcommand{\blsq}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}}  \newcommand{\idt}{.\;\;}  \newcommand{\idtt}{.\;\;\;\;} \)2021-04-21 16:18 - OliverFuchs im Themenstart schreibt:
Das kann ich sagen aber nicht sehen und auch nicht glauben.
Ich müsst ja genau genomme eine Bijektion herstellen.
Gehen kann es natürlich weil ein beliebig lange Vektor einer rationalen
Zahl mit endlicher Dezimalbruchentwicklung entspricht und $\QQ$ ist
mit $\NN$ gleich mächtig also gibt es eine Bijektion. Nur hinschreiben
kann ich sie nicht.
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)

Angenommen ich hab nur endlich viele Primzahlen $\mathbb{P}=\{p_1,\dots,p_s\}$ Dann sagt die Eindeutige Primfaktorzerlegung nichts anderes, als:
$$\phi:\IN\rightarrow\IN_0^{s}\\
n=p_1^{n_1}\cdot \dotsc \cdot p_s^{n_s}\mapsto(n_1,\dots,n_s)$$ ist eine bijektive Abbildung. Das ist genau die, die du hier suchst.
Was du hier mit $\IQ$ und Dezimalbruchentwicklung machst versteh ich nicht ganz.

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\al}{\alpha} \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\bs}{\backslash} \newcommand{\ga}{\gamma} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\ep}{\varepsilon} \newcommand{\ze}{\zeta} \newcommand{\et}{\eta} \newcommand{\io}{\iota} \newcommand{\ka}{\kappa} \newcommand{\la}{\lambda} \newcommand{\rh}{\rho} \newcommand{\si}{\sigma} \newcommand{\ta}{\tau} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\ch}{\chi} \newcommand{\ps}{\psi} \newcommand{\om}{\omega} \newcommand{\Ga}{\Gamma} \newcommand{\De}{\Delta} \newcommand{\Th}{\Theta} \newcommand{\La}{\Lambda} \newcommand{\Si}{\Sigma} \newcommand{\Ph}{\Phi} \newcommand{\Ps}{\Psi} \newcommand{\Om}{\Omega} % --- Blackbord Boldface --- \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\ZZ}{\mathbb Z} \newcommand{\QQ}{\mathbb Q} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\CC}{\mathbb C} \newcommand{\HH}{\mathbb H} \newcommand{\DD}{\mathbb D} \newcommand{\TT}{\mathbb T} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\oo}{{\infty}} \newcommand{\PP}{\mathbb P} \newcommand{\BB}{\mathbb B} \newcommand{\MM}{\mathbb M} \newcommand{\alt}{\operatorname{alt}}  \newcommand{\dom}{\operatorname{Dom}}  \newcommand{\ceil}{\operatorname{ceil}}  \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}  \newcommand{\ev}{\operatorname{ev}}  \newcommand{\floor}{\operatorname{floor}}  \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}}  \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}}  \newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}}  \newcommand{\im}{\operatorname{Im}}  \newcommand{\id}{\operatorname{id}}  \newcommand{\incl}{\operatorname{incl}} \newcommand{\kgV}{\operatorname{kgV}} \newcommand{\li}{\operatorname{li}}  \renewcommand{\mod}{\operatorname{mod\;}}  \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}  \newcommand{\ptp}{\operatorname{ptp}}  \newcommand{\rang}{\operatorname{rang}}  \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}  \newcommand{\sym}{\operatorname{sym}}  \newcommand{\trg}{\operatorname{Trg}}  \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}  \newcommand{\card}{\operatorname{card}}  \newcommand{\nand}{ \mathop {\bar \wedge}} %NAND  \newcommand{\SL}{\operatorname{SL}} \renewcommand{\>}{\Rightarrow}  \newcommand{\<}{\Leftarrow}  \newcommand{\gdw}{\Leftrightarrow} \newtheorem{Theorem}{Theorem}[section]  \newtheorem*{Theorem*}{Theorem}  \newtheorem*{BemerkungOF*}{BemOF}  \newtheorem{Folgerung}{Folgerung}[section]  \newtheorem*{Folgerung*}{Folgerung}  \newtheorem{Zusammenfassung}{Zusammenfassung}[section]  \newtheorem*{Zusammenfassung*}{Zusammenfassung}  \newcommand{\bthe}{\begin{Theorem}}  \newcommand{\ethe}{\end{Theorem}}  \newcommand{\bauf}{\begin{Aufgabe}}  \newcommand{\eauf}{\end{Aufgabe}}  \newcommand{\bbsp}{\begin{Beispiel}}  \newcommand{\ebsp}{\end{Beispiel}}  \newcommand{\bbsps}{\begin{Beispiel*}}  \newcommand{\ebsps}{\end{Beispiel*}}  \newcommand{\bbem}{\begin{Bemerkung}}  \newcommand{\ebem}{\end{Bemerkung}}  \newcommand{\bbems}{\begin{Bemerkung*}}  \newcommand{\ebems}{\end{Bemerkung*}}  \newcommand{\bbw}{\begin{Beweis}}  \newcommand{\ebw}{\end{Beweis}}  \newcommand{\bdefi}{\begin{Definition}}  \newcommand{\edefi}{\end{Definition}}  \newcommand{\bdefis}{\begin{Definition*}}  \newcommand{\edefis}{\end{Definition*}}  \newcommand{\bfolg}{\begin{Folgerung}}  \newcommand{\efolg}{\end{Folgerung}}  \newcommand{\bfolgs}{\begin{Folgerung*}}  \newcommand{\efolgs}{\end{Folgerung*}}  \newcommand{\bkor}{\begin{Korollar}}  \newcommand{\ekor}{\end{Korollar}}  \newcommand{\bkors}{\begin{Korollar*}}  \newcommand{\ekors}{\end{Korollar*}}  \newcommand{\blem}{\begin{Lemma}}  \newcommand{\elem}{\end{Lemma}}  \newcommand{\bhlem}{\begin{Hilfslemma}}  \newcommand{\ehlem}{\end{Hilfslemma}}  \newcommand{\blems}{\begin{Lemma*}}  \newcommand{\elems}{\end{Lemma*}}  \newcommand{\bhlems}{\begin{Hilfslemma*}}  \newcommand{\ehlems}{\end{Hilfslemma*}}  \newcommand{\bsatz}{\begin{Satz}}  \newcommand{\esatz}{\end{Satz}}  \newcommand{\bsatzs}{\begin{Satz*}}  \newcommand{\esatzs}{\end{Satz*}}  \newcommand{\bprops}{\begin{Proposition*}}  \newcommand{\eprops}{\end{Proposition*}}  \newcommand{\bprop}{\begin{Proposition}}  \newcommand{\eprop}{\end{Proposition}}  \newcommand{\bthes}{\begin{Theorem*}}  \newcommand{\ethes}{\end{Theorem*}}  \newcommand{\bbeof}{\begin{BemerkungOF*}}  \newcommand{\ebeof}{\end{BemerkungOF*}}  \newcommand{\bzus}{\begin{Zusammenfassung}}  \newcommand{\ezus}{\end{Zusammenfassung}} \newcommand{\bzuss}{\begin{Zusammenfassung*}}  \newcommand{\ezuss}{\end{Zusammenfassung*}}  \newcommand{\ub}{\underbrace}  \newcommand{\us}{\underset}  \newcommand{\ul}{\underline}  \newcommand{\ol}{\overline}  \newcommand{\os}{\overset}  \newcommand{\sst}{\scriptstyle}  \newcommand{\st}{\scriptsize}  \newcommand{\blsq}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}}  \newcommand{\idt}{.\;\;}  \newcommand{\idtt}{.\;\;\;\;} \)2021-04-21 16:18 - OliverFuchs im Themenstart schreibt:
Und für alle die noch nicht ganz verwirrt sind noch etwas zur
Verwirrung wo ich auch den Knopf nicht sehe.


Wenn ich die Zahlen $1<k<m=p_1^n\cdot\cdots\cdot p_s^n$
alle durch PFZ's beschreiben will wo die Exponenten kleiner als $n$
sind werde ich scheitern.
Beispiel
$p_1=2,P_2=3,p_3=5,n=3$. Dann ist $m=2^3\cdot 3^3\cdot 5^3=27000$
aber $2^4=16$.
Also gibt es eine natürliche Zahl, nämlich $r=16$
mit $0<16<m$ die aber keine PFZ der Form
$p_1^{\tau_1}\cdot\cdots\cdot p_s^{\tau_s}$ mit $0\leq \tau_i\leq n$
hat.
Wenn ich also
$\prod_{i=1}^{s}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{p^k}=
\sum_{(\tau_1,\cdots,\tau_s)\in\{1,2,\cdots,n\}^s}
\frac{1}{p_1^{\tau_1}\cdot\cdots\cdot p_s^{\tau_s}}$ betrachte,
so werden damit nicht alle natürlichen Zahlen bis $m$ abgedeckt.
Diese Abdeckung hat Löcher. Der Teilbereich
$0<r<R=p_1^n<m$ hat keine Löcher. Das sollte reichen aber wie.
Hier habe ich einen andern Blick auf die Situation geworfen
wo ich die Injektivität nicht so leicht sehen kann. Wo liegt
da der Knick in der Optik?
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
Auch hier versteh ich nicht was du meinst. Für was sollte was reichen?

Grüße
Sismet
\(\endgroup\)

Wauzi
Senior
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Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-21 23:14

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OliverFuchs
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-22 06:17
\(\begingroup\)\(\newcommand{\al}{\alpha} \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\bs}{\backslash} \newcommand{\ga}{\gamma} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\ep}{\varepsilon} \newcommand{\ze}{\zeta} \newcommand{\et}{\eta} \newcommand{\io}{\iota} \newcommand{\ka}{\kappa} \newcommand{\la}{\lambda} \newcommand{\rh}{\rho} \newcommand{\si}{\sigma} \newcommand{\ta}{\tau} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\ch}{\chi} \newcommand{\ps}{\psi} \newcommand{\om}{\omega} \newcommand{\Ga}{\Gamma} \newcommand{\De}{\Delta} \newcommand{\Th}{\Theta} \newcommand{\La}{\Lambda} \newcommand{\Si}{\Sigma} \newcommand{\Ph}{\Phi} \newcommand{\Ps}{\Psi} \newcommand{\Om}{\Omega} % --- Blackbord Boldface --- \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\ZZ}{\mathbb Z} \newcommand{\QQ}{\mathbb Q} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\CC}{\mathbb C} \newcommand{\HH}{\mathbb H} \newcommand{\DD}{\mathbb D} \newcommand{\TT}{\mathbb T} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\oo}{{\infty}} \newcommand{\PP}{\mathbb P} \newcommand{\BB}{\mathbb B} \newcommand{\MM}{\mathbb M} \newcommand{\alt}{\operatorname{alt}}  \newcommand{\dom}{\operatorname{Dom}}  \newcommand{\ceil}{\operatorname{ceil}}  \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}  \newcommand{\ev}{\operatorname{ev}}  \newcommand{\floor}{\operatorname{floor}}  \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}}  \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}}  \newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}}  \newcommand{\im}{\operatorname{Im}}  \newcommand{\id}{\operatorname{id}}  \newcommand{\incl}{\operatorname{incl}} \newcommand{\kgV}{\operatorname{kgV}} \newcommand{\li}{\operatorname{li}}  \renewcommand{\mod}{\operatorname{mod\;}}  \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}  \newcommand{\ptp}{\operatorname{ptp}}  \newcommand{\rang}{\operatorname{rang}}  \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}  \newcommand{\sym}{\operatorname{sym}}  \newcommand{\trg}{\operatorname{Trg}}  \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}  \newcommand{\card}{\operatorname{card}}  \newcommand{\nand}{ \mathop {\bar \wedge}} %NAND  \newcommand{\SL}{\operatorname{SL}} \renewcommand{\>}{\Rightarrow}  \newcommand{\<}{\Leftarrow}  \newcommand{\gdw}{\Leftrightarrow} \newtheorem{Theorem}{Theorem}[section]  \newtheorem*{Theorem*}{Theorem}  \newtheorem*{BemerkungOF*}{BemOF}  \newtheorem{Folgerung}{Folgerung}[section]  \newtheorem*{Folgerung*}{Folgerung}  \newtheorem{Zusammenfassung}{Zusammenfassung}[section]  \newtheorem*{Zusammenfassung*}{Zusammenfassung}  \newcommand{\bthe}{\begin{Theorem}}  \newcommand{\ethe}{\end{Theorem}}  \newcommand{\bauf}{\begin{Aufgabe}}  \newcommand{\eauf}{\end{Aufgabe}}  \newcommand{\bbsp}{\begin{Beispiel}}  \newcommand{\ebsp}{\end{Beispiel}}  \newcommand{\bbsps}{\begin{Beispiel*}}  \newcommand{\ebsps}{\end{Beispiel*}}  \newcommand{\bbem}{\begin{Bemerkung}}  \newcommand{\ebem}{\end{Bemerkung}}  \newcommand{\bbems}{\begin{Bemerkung*}}  \newcommand{\ebems}{\end{Bemerkung*}}  \newcommand{\bbw}{\begin{Beweis}}  \newcommand{\ebw}{\end{Beweis}}  \newcommand{\bdefi}{\begin{Definition}}  \newcommand{\edefi}{\end{Definition}}  \newcommand{\bdefis}{\begin{Definition*}}  \newcommand{\edefis}{\end{Definition*}}  \newcommand{\bfolg}{\begin{Folgerung}}  \newcommand{\efolg}{\end{Folgerung}}  \newcommand{\bfolgs}{\begin{Folgerung*}}  \newcommand{\efolgs}{\end{Folgerung*}}  \newcommand{\bkor}{\begin{Korollar}}  \newcommand{\ekor}{\end{Korollar}}  \newcommand{\bkors}{\begin{Korollar*}}  \newcommand{\ekors}{\end{Korollar*}}  \newcommand{\blem}{\begin{Lemma}}  \newcommand{\elem}{\end{Lemma}}  \newcommand{\bhlem}{\begin{Hilfslemma}}  \newcommand{\ehlem}{\end{Hilfslemma}}  \newcommand{\blems}{\begin{Lemma*}}  \newcommand{\elems}{\end{Lemma*}}  \newcommand{\bhlems}{\begin{Hilfslemma*}}  \newcommand{\ehlems}{\end{Hilfslemma*}}  \newcommand{\bsatz}{\begin{Satz}}  \newcommand{\esatz}{\end{Satz}}  \newcommand{\bsatzs}{\begin{Satz*}}  \newcommand{\esatzs}{\end{Satz*}}  \newcommand{\bprops}{\begin{Proposition*}}  \newcommand{\eprops}{\end{Proposition*}}  \newcommand{\bprop}{\begin{Proposition}}  \newcommand{\eprop}{\end{Proposition}}  \newcommand{\bthes}{\begin{Theorem*}}  \newcommand{\ethes}{\end{Theorem*}}  \newcommand{\bbeof}{\begin{BemerkungOF*}}  \newcommand{\ebeof}{\end{BemerkungOF*}}  \newcommand{\bzus}{\begin{Zusammenfassung}}  \newcommand{\ezus}{\end{Zusammenfassung}} \newcommand{\bzuss}{\begin{Zusammenfassung*}}  \newcommand{\ezuss}{\end{Zusammenfassung*}}  \newcommand{\ub}{\underbrace}  \newcommand{\us}{\underset}  \newcommand{\ul}{\underline}  \newcommand{\ol}{\overline}  \newcommand{\os}{\overset}  \newcommand{\sst}{\scriptstyle}  \newcommand{\st}{\scriptsize}  \newcommand{\blsq}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}}  \newcommand{\idt}{.\;\;}  \newcommand{\idtt}{.\;\;\;\;} \)
Lieber Sismet,
Danke für die Antwort.
Ich war ja lange weg vom Schuß. So bin ich froh, dass ich
die Summe richtig berechnet habe.

Die Abbidlung $\Phi:\NN\to (\NN_0)^s,n=p_1^{n_1}\cdot\cdots\cdot p_s^{n_s}
\mapsto (n_1,\cdots,n_s)$ ist eine gute Idee. Die hat mir gefeht. Jetzt sehe ich mir die Bijektivität dieser Abbildung an. Das es für jede
natürliche Zahl $n$ so einen Vektor $(n_1,\cdots,n_s)$ gibt ist der
Existenz teil der PFZ. Damit ist die Abbildung wohl defniert.
Für die Injektivität muss aus $(n_1,\cdots,n_s)=(n_1',\cdots,n_s)$
$n=n'$ folgen. Das folgt einfach aus den Rechengesetzen in $\NN$.
Schwieriger tut ich mir schon bei der Surjektivität. Das würde ich
so argumentieren. Wenn ich eine beliebigen Vektor $(n_1,\cdots,n_s)$
gegeben habe, so liefert die Formel der PFZ eine natürliche Zahl
$n=p_1^{n_1}\cdot\cdots\cdot p_s^{n_s}$. Diese hat nun Ihrer seites
Wieder eine PFZ. Da aber die PFZ eindeutig ist, liefert sie wieder
den selben Vektor $(n_1,\cdots,n_s)$. Daher ist dieser Vektor
das Bild von $n$ unter $\Phi$. HIER GEHT DEI EINDEUTIGKEIT DER PFZ EIN !!!
Und nicht wie ich angenommen hätte bei der Injektivität. Das ist
mir schon bei meinen Überlegungen aufgefallen.

Dieses Argument geht durch wenn man annimmt, dass man nur endliche
viele Primzahlen hat. Wie sieht es aber mit einer 1-1 Abbildung
aus wenn ich unedlich viele Primzahlen habe. Ich glaube da stammt
meine Verwirrung und meine Idee mit $\QQ$ her.
Dann habe ich keine fixe Vektrolänge, aber auch keine unendlichen
Vektoren. Jeder Eintrag kann in einer Vektorkomponente,
kann eine natürliche Zahl sein. Der erste Gedanke diese Struktur
zu beschreiben könnnte $\NN_0^{\aleph_0}$ sein. Das wäre aber nicht
richtig, da das unedliche lagen Vekroten wären und
wenn ich das Intervall $[0,1]\subset\RR$ betrachte so kann man die
ja über die Dezimalburchentwicklung als $\{0,\cdots,9\}^{\aleph_0}$
Das ist aber schon überabzählbar also erst recht $(\NN_0)^{\aleph_0}$.
So kann es also nicht gehen. Ich kann aber in $(\NN_0)^{\aleph_0}$
die Teilmenge der Vektoren nehmen, wo nur endliche viele
Einträge ungleich Null sind. Wenn ich nun statt $\NN_0$ $\{0,1,2,
\cdots,9\}$ nehme und wieder die Dezimalbruchentwicklung her nehme.
Dann hätte ich hier die rationalen Zahlen in $[0,1]$ mit
einer edlichen Dezimalbruchentwicklung. Damit könnte man diese
Menge als Teilmenge von $\QQ$ schreiben und $\QQ$ ist abzählbar.
Das ist etwas weit hergeholt. Vorallem den Übergang von
$\{0,1,2,\cdots,9\}$ zu $\NN_0$ in jeder Komponente stelle ich mir
nicht so leicht vor. Außerdem ist das für mich noch kein Beweis
also keine Konkrete Angabe einer Bijektion von der PFZ-Vektoren nach
$\NN$.

Die Überlegung ob ich die Abbildung $\Phi:\NN\to (\NN)^{\aleph_0},
n=p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}\mapsto (n_1,\cdots,n_k,0,0\cdots)$
auch hier verwenden kann, habe ich noch nicht angestellt. Ich nehme zwar an dass es geht aber gerechnet habe ich es noch nicht.

Danke für die Hilfe
lg Oliver🙂
\(\endgroup\)

Sismet
Senior
Dabei seit: 22.03.2021
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Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-22 21:20
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Hey,
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\al}{\alpha} \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\bs}{\backslash} \newcommand{\ga}{\gamma} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\ep}{\varepsilon} \newcommand{\ze}{\zeta} \newcommand{\et}{\eta} \newcommand{\io}{\iota} \newcommand{\ka}{\kappa} \newcommand{\la}{\lambda} \newcommand{\rh}{\rho} \newcommand{\si}{\sigma} \newcommand{\ta}{\tau} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\ch}{\chi} \newcommand{\ps}{\psi} \newcommand{\om}{\omega} \newcommand{\Ga}{\Gamma} \newcommand{\De}{\Delta} \newcommand{\Th}{\Theta} \newcommand{\La}{\Lambda} \newcommand{\Si}{\Sigma} \newcommand{\Ph}{\Phi} \newcommand{\Ps}{\Psi} \newcommand{\Om}{\Omega} % --- Blackbord Boldface --- \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\ZZ}{\mathbb Z} \newcommand{\QQ}{\mathbb Q} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\CC}{\mathbb C} \newcommand{\HH}{\mathbb H} \newcommand{\DD}{\mathbb D} \newcommand{\TT}{\mathbb T} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\oo}{{\infty}} \newcommand{\PP}{\mathbb P} \newcommand{\BB}{\mathbb B} \newcommand{\MM}{\mathbb M} \newcommand{\alt}{\operatorname{alt}}  \newcommand{\dom}{\operatorname{Dom}}  \newcommand{\ceil}{\operatorname{ceil}}  \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}  \newcommand{\ev}{\operatorname{ev}}  \newcommand{\floor}{\operatorname{floor}}  \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}}  \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}}  \newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}}  \newcommand{\im}{\operatorname{Im}}  \newcommand{\id}{\operatorname{id}}  \newcommand{\incl}{\operatorname{incl}} \newcommand{\kgV}{\operatorname{kgV}} \newcommand{\li}{\operatorname{li}}  \renewcommand{\mod}{\operatorname{mod\;}}  \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}  \newcommand{\ptp}{\operatorname{ptp}}  \newcommand{\rang}{\operatorname{rang}}  \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}  \newcommand{\sym}{\operatorname{sym}}  \newcommand{\trg}{\operatorname{Trg}}  \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}  \newcommand{\card}{\operatorname{card}}  \newcommand{\nand}{ \mathop {\bar \wedge}} %NAND  \newcommand{\SL}{\operatorname{SL}} \renewcommand{\>}{\Rightarrow}  \newcommand{\<}{\Leftarrow}  \newcommand{\gdw}{\Leftrightarrow} \newtheorem{Theorem}{Theorem}[section]  \newtheorem*{Theorem*}{Theorem}  \newtheorem*{BemerkungOF*}{BemOF}  \newtheorem{Folgerung}{Folgerung}[section]  \newtheorem*{Folgerung*}{Folgerung}  \newtheorem{Zusammenfassung}{Zusammenfassung}[section]  \newtheorem*{Zusammenfassung*}{Zusammenfassung}  \newcommand{\bthe}{\begin{Theorem}}  \newcommand{\ethe}{\end{Theorem}}  \newcommand{\bauf}{\begin{Aufgabe}}  \newcommand{\eauf}{\end{Aufgabe}}  \newcommand{\bbsp}{\begin{Beispiel}}  \newcommand{\ebsp}{\end{Beispiel}}  \newcommand{\bbsps}{\begin{Beispiel*}}  \newcommand{\ebsps}{\end{Beispiel*}}  \newcommand{\bbem}{\begin{Bemerkung}}  \newcommand{\ebem}{\end{Bemerkung}}  \newcommand{\bbems}{\begin{Bemerkung*}}  \newcommand{\ebems}{\end{Bemerkung*}}  \newcommand{\bbw}{\begin{Beweis}}  \newcommand{\ebw}{\end{Beweis}}  \newcommand{\bdefi}{\begin{Definition}}  \newcommand{\edefi}{\end{Definition}}  \newcommand{\bdefis}{\begin{Definition*}}  \newcommand{\edefis}{\end{Definition*}}  \newcommand{\bfolg}{\begin{Folgerung}}  \newcommand{\efolg}{\end{Folgerung}}  \newcommand{\bfolgs}{\begin{Folgerung*}}  \newcommand{\efolgs}{\end{Folgerung*}}  \newcommand{\bkor}{\begin{Korollar}}  \newcommand{\ekor}{\end{Korollar}}  \newcommand{\bkors}{\begin{Korollar*}}  \newcommand{\ekors}{\end{Korollar*}}  \newcommand{\blem}{\begin{Lemma}}  \newcommand{\elem}{\end{Lemma}}  \newcommand{\bhlem}{\begin{Hilfslemma}}  \newcommand{\ehlem}{\end{Hilfslemma}}  \newcommand{\blems}{\begin{Lemma*}}  \newcommand{\elems}{\end{Lemma*}}  \newcommand{\bhlems}{\begin{Hilfslemma*}}  \newcommand{\ehlems}{\end{Hilfslemma*}}  \newcommand{\bsatz}{\begin{Satz}}  \newcommand{\esatz}{\end{Satz}}  \newcommand{\bsatzs}{\begin{Satz*}}  \newcommand{\esatzs}{\end{Satz*}}  \newcommand{\bprops}{\begin{Proposition*}}  \newcommand{\eprops}{\end{Proposition*}}  \newcommand{\bprop}{\begin{Proposition}}  \newcommand{\eprop}{\end{Proposition}}  \newcommand{\bthes}{\begin{Theorem*}}  \newcommand{\ethes}{\end{Theorem*}}  \newcommand{\bbeof}{\begin{BemerkungOF*}}  \newcommand{\ebeof}{\end{BemerkungOF*}}  \newcommand{\bzus}{\begin{Zusammenfassung}}  \newcommand{\ezus}{\end{Zusammenfassung}} \newcommand{\bzuss}{\begin{Zusammenfassung*}}  \newcommand{\ezuss}{\end{Zusammenfassung*}}  \newcommand{\ub}{\underbrace}  \newcommand{\us}{\underset}  \newcommand{\ul}{\underline}  \newcommand{\ol}{\overline}  \newcommand{\os}{\overset}  \newcommand{\sst}{\scriptstyle}  \newcommand{\st}{\scriptsize}  \newcommand{\blsq}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}}  \newcommand{\idt}{.\;\;}  \newcommand{\idtt}{.\;\;\;\;} \)2021-04-22 06:17 - OliverFuchs in Beitrag No. 3 schreibt:
Wie sieht es aber mit einer 1-1 Abbildung
aus wenn ich unedlich viele Primzahlen habe.
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Deine Idee mit:
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Die Überlegung ob ich die Abbildung $\Phi:\NN\to (\NN)^{\aleph_0},
n=p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}\mapsto (n_1,\cdots,n_k,0,0\cdots)$
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
Ist gut. Betrachte $c_{00}$ den Vektorraum der abbrechenden Folgen und schneide diesen mit $\IN_0^{\IN}$. Das ist also die Menge $M$ aller Folgen mit Folgengliedern aus $\IN_0$, welche nach endlich vielen Folgengliedern nur noch 0len als Folgenglieder hat. Wenn du jetzt die Primzahlen ihrer Größe nach ordnest, dann sagt die eindeutige Primfaktorzerlegung dass:
$$\IN\rightarrow M\\
n=p_1^{s_1}\cdot\dotsc\cdot p_k^{s_k}\mapsto \left(s_1,\dots,s_k,0,\dots\right)$$ eine Abbildung ist. Wobei die Wohldefiniertheit aus der Exististenz und der Eindeutigkeit der PFZ kommt. Per Konstruktion ist die Abbildung auch Bijektiv.
(Damit hat man nebenbei nen netten Beweis für die Abzählbarkeit von $M$ gefunden.)

Deine Überlegung mit $\IQ$ geht auch.

Grüße
Sismet
\(\endgroup\)

OliverFuchs
Aktiv
Dabei seit: 25.03.2020
Mitteilungen: 100
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-23 15:41
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Lieber Wauzi,
Da bist Du mir scheinbar wieder weit voraus.
Ich gehe mal meine Probleme schrittweise an.

1)
Wenn ich die linke Seite er Gleichung her nehme, und annehme,
dass es nur endliche viele Primzahlen gibt, dann Argumentiert L.Summerer,
der Prof. von der Vorlesung so.
Die Summe $\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{p^k}$ ist wegen $p>^1\>
\vert \frac{1}{p}\vert <1$ eine geometrische Reihe mit dem Grenzwert
$(1-1/p)^{-1}$. Die konvergiert also für jedes $p$ und gibt einen
endlichen Grenzwert. Damit habe ich links das endliche Produkt endlicher
Zahlen und somit wieder eine endliche Zahl stehen. Links habe ich also
Konvergenz.

2) Da habe ich einen Knopf.
Wenn ich $\NN_p$ die Menge der natürlichen Zahlen ist, die keinen
Primfaktor ausserhalb von $\PP$ besitzen, aber $\PP$ sind ja alle Primzahlen, dann gilt eben wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung
$\NN_p=\NN$. Jede natürliche Zahl hat eben nur Primfaktoren in $\PP$.
Das ist die Aussage das $\PP$ die Menge aller Primzahlne ist. Ausserhalb
von $\PP$ gibt es dann keine Primzahlen.
Ich sehe das so. Dein Argument, dass $\sum_{n\in\NN_p}1/n$
endliche ist, wenn $\PP$ endliche ist, ist genau die Aussage die wir
beweisen wollen und die dürfen wir nicht hineinstecken.

Wo ist da mein Knopf?

lg Oliver 🙂
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Wauzi
Senior
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Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-23 21:50

Hallo,
das einzig Schwierige ist zu zeigen, daß
fed-Code einblenden
Wie Du schon geschrieben hast, wird auf der rechten Seite über alle natürlichen Zahlen summiert, da ja links alle(!) Primzahlen (nach Annahme deren Endlichkeit) stehen. Und damit kann es keine weiteren natürlichen Zahlen geben.
Damit steht rechts die harmonische Reihe und aus deren Divergenz folgt, daß links keine Zahl stehen kann, was im Widerspruch zur angenommenen Endlichkeit der Primzahlen steht.

Daß ich etwas ausführlicher auf die oben angegebene Gleichung eingegangen bin, liegt daran, daß man diesen Zusammenhang auch für alle Primzahlen herstellen kann, wenn man nur bei den p und den n einen Exponenten dazugibt, dessen Realteil größer als 1 ist. Z.B wird dieser Zusammenhang bei der Untersuchung des Primzahlsatzes verwendet, ist also nicht ganz unwichtig...
Gruß Wauzi


OliverFuchs
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Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-24 11:05

Hallo,
Danke lieber Wauzi, ich glaube ich habe es jetzt verstanden.
lg Oliver🙂




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Druckdatum: 2021-08-03 00:53