Forum:  Topologie
Thema: Stetigkeit Definition
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Sven12345
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Dabei seit: 21.04.2021
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Themenstart: 2021-04-21 21:43

Hey,

warum wird bei sämtlichen Definitionen wie bspw. stetiger oder messbarer Funktionen immer mit Urbildern gearbeitet?

1. Definition stetige Abbildung

Seien $(X,T_X)$ und $(Y,T_Y)$ zwei topologische Räume, dann ist

$f: X \to Y$ genau dann stetig, falls $f^{-1}(O_Y) \in T_X$ f. a. $O_Y \in T_Y$

oder

2. Definition messbare Abbildung

Seien $(X_1,\mathcal{A}_1)$ und $(X_2,\mathcal{A}_2)$ zwei Messräume, dan ist

$f: X_1 \to X_2$ genau dann messbar, falls $f^{-1}(A_2) \in \mathcal{A}_1$ f. a. $A_2 \in \mathcal{A}_2$.

Könnte man das ganze Konstrukt nicht einfach auch mit dem Bild anstelle des Urbilds benutzen? Wie ist man (historisch) darauf gekommen?

In dieser Definition würde es also kein Problem darstellen, wenn eine offene Menge (messbare Menge) nicht auf eine offene Menge (messbare Menge) abgebildet wird.

Intuitiv hätte ich mir unter einer stetigen (messbaren) Funktion, aber eine Funktion vorgestellt, die jede offene (messbare) Menge auf eine offene (messbare) Menge abbildet. Also die Eigenschaft bleibt erhalten bzgl. Funktionsabbildung.

Beste Grüße


StrgAltEntf
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-21 22:03

Hallo Sven12345,

2021-04-21 21:43 - Sven12345 im Themenstart schreibt:
Intuitiv hätte ich mir unter einer stetigen (messbaren) Funktion, aber eine Funktion vorgestellt, die jede offene (messbare) Menge auf eine offene (messbare) Menge abbildet. Also die Eigenschaft bleibt erhalten bzgl. Funktionsabbildung.

Betrachte doch mal Funktionen \(\IR\rightarrow\IR\) mit der "üblichen" \(\varepsilon-\delta\)-Stetigkeitsdefinition und offene Mengen \(M\subseteq\IR\) mit der "üblichen" Definition von "offen". Ist dann wirklich \(f[M]\) für eine stetige Funktion f und eine offene Menge M immer offen?


Triceratops
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Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-21 22:55

Siehe math.stackexchange.com/questions/4107473/using-inverse-image-for-morphism-definitions




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Druckdatum: 2021-06-15 23:50