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Thema: Erwartungswert Impuls
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Ejacoolaction
Junior
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 10
Themenstart: 2021-04-22 12:05

Hallo liebe Wissenschaftsfans,

momentan muss ich
fed-Code einblenden
rechnen und ich habe gar keine Ahnung, wie das funktioniert.
Bei <x> konnte ich noch die Exponentialfunktionen zusammen ziehen und den Betrag mit dem Integralsatz von 0 bis fed-Code einblenden laufen lassen, aber hier?
Ich bitte euch um einen Ansatz oder den ersten Schritt.

Mit freundlichen Grüßen
Ejacoolaction


Spock
Senior
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 8196
Wohnort: Schi'Kahr/Vulkan
Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-23 08:15

Hallo,

Du solltest vielleicht zunächst die Aufgabenstellung im Originalwortlaut aufschreiben, und die Größen benennen, die Du verwendest. was da bei Dir als Integral steht, ergibt nicht soviel Sinn
fed-Code einblenden

Also: Bitte zunächst die Aufgabenstellung Wort für Wort, :-)

Grüße
Juergen


Ejacoolaction
Junior
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 10
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-25 18:36

Moin Spock, danke, dass du dich meines Problems annimmst.

Ich soll für die eindimensionale Wellenfunktion fed-Code einblenden den Impulserwartungswert ausrechnen, weiss aber nicht, wie ich hierbei differenzieren soll. Kannst du mir da einen Tipp geben?


oakley09
Aktiv
Dabei seit: 20.02.2020
Mitteilungen: 40
Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-25 22:19
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\:}{\hspace{0.7pt}}\)
Hallo,

ich würde das so machen. Der Übersichtlichkeit halber seien die Integrale, bei denen keine Grenzen geschrieben sind, immer von $-1/\gamma$ bis $1/\gamma$. Es gilt:
$$ \begin{align}
    \langle p \rangle \ &= \ \int \d x \, \psi^*(x) \, \hat{p} \, \psi(x) \\[6pt]
    &= \ \int \d x \, \psi^*(x) \, \frac{\hbar}{\mathrm{i}} \frac{\partial}{\partial x} \, \psi(x) \\[6pt]
    &= \ \frac{\hbar}{\mathrm{i}} \int \d x \ e^{-\gamma |x| + \mathrm{i}\:\gamma\:x} \, \frac{\partial}{\partial x} \left[ e^{-\gamma |x| - \mathrm{i}\:\gamma\:x} \right] \ .
\end{align}
$$ Die Ableitung im Integral berechnen wir mit der Kettenregel und verwenden dabei $\frac{\partial}{\partial x} |x| = \frac{x}{|x|}$. Es folgt:
$$ \begin{align}
    \langle p \rangle \ &= \ \frac{\hbar}{\mathrm{i}} \int \d x \ e^{-\gamma |x| + \mathrm{i}\:\gamma\:x} \, \left( -\gamma \: \frac{x}{|x|} - \mathrm{i}\:\gamma \right) e^{-\gamma |x| - \mathrm{i}\:\gamma\:x} \\[6pt]
    &= \ -\frac{\gamma\:\hbar}{\mathrm{i}} \int \d x \ e^{-\gamma |x| + \mathrm{i}\:\gamma\:x} \, \left(\frac{x}{|x|} + \mathrm{i} \right) e^{-\gamma |x| - \mathrm{i}\:\gamma\:x} \ .
\end{align}
$$ Jetzt können wir die Exponentialfunktionen im Integral miteinander verrechnen. $e^{-\mathrm{i}\:\gamma\:x}$ kürzt sich mit $e^{+\mathrm{i}\:\gamma\:x}$, und den Rest können wir zu $e^{-2\gamma|x|}$ vereinfachen. Es gilt also:
$$ \begin{align}
\langle p \rangle \ &= \ -\frac{\gamma\:\hbar}{\mathrm{i}} \int \d x \ e^{-2\gamma|x|} \, \left(\frac{x}{|x|} + \mathrm{i} \right) \\[6pt]
&= \ -\frac{\gamma\:\hbar}{\mathrm{i}} \int_{-\frac{1}{\gamma}}^\frac{1}{\gamma} \d x \, \left( \frac{x}{|x|} \, e^{-2\gamma |x|} \, + \, \mathrm{i} \, e^{-2\gamma |x|} \right) \ .
\end{align}
$$ Das Integral über den ersten Summanden verschwindet, da der Integrand eine ungerade Funktion ist und wir über ein symmetrisches Intervall $[-\frac{1}{\gamma},\frac{1}{\gamma}]$ integrieren ($\frac{x}{|x|}$ ist ungerade, $e^{-2\gamma |x|}$ ist gerade, das Produkt einer ungeraden und einer geraden Funktion ist ungerade). Das Integral über den zweiten Summanden können wir vereinfachen, da es sich um ein Integral von einer geraden Funktion über ein symmetrisches Intervall handelt. Es bleibt also noch:
$$ \begin{align}
\langle p \rangle \ &= \ -2\gamma\:\hbar \int_0^\frac{1}{\gamma} e^{-2\gamma\:x} \; \d x \ ,
\end{align}
$$ wobei wir $|x|=x$ geschrieben haben, da wir nur über positive $x$ integrieren. Dieses Integral lässt sich nun einfach lösen:
$$ \begin{align}
\langle p \rangle \ &= \ -2\gamma\:\hbar \left[ \frac{1}{-2\gamma} \, e^{-2\gamma\:x} \right]_0^\frac{1}{\gamma} \ = \ \hbar \left( \frac{1}{e^2} - 1 \right) \ .
\end{align}
$$ Ich hoffe, das war verständlich, sonst kannst du gerne nachfragen.

LG
oakley

\(\endgroup\)

Ejacoolaction
Junior
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 10
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-01 16:50

Danke euch beiden! Ich habe grundlegened was falsch gemacht und hätte nur von -unendlich bis unendlich integrieren sollen, dann wäre ich fertig gewesen.




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Druckdatum: 2021-06-16 00:55