Forum:  Strukturen und Algebra
Thema: Logik - Sprache der reellen Zahlen
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Red_
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Themenstart: 2021-04-22 14:14

Hallo,
in unserer VL und einem Buch steht, dass die Struktur der reellen Zahlen folgende ist $(\IR, 0, 1, +, -, \cdot, <)$. Müsste hier aber nicht noch die Operation $^{-1}$ hinzu?
Bei Gruppen schreibt man nämlich $(G,e,\circ, ^{-1})$.

Ich denke mir, dass man das nicht hinzunimmt, weil es keine $n$-stellige Operation auf $\IR$ ist, sondern nur auf $\IR\setminus\lbrace 0\rbrace$.
Aber wenn man auf $^{-1}$ verzichtet, warum verzichtet man nicht auf $-$?
In beiden Axiomen sagt man ja nur, dass ein Inverses existiert. Dann sagt man, man schreibt es als $-a$ bzw. $a^{-1}$. Ich finde es komisch, dass das eine hinzugenommen wird in der Sprache, aber das andere nicht.



Triceratops
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-22 15:45

Es läuft auf dasselbe hinaus, weil man ja $a^{-1}$ definieren kann als das eindeutig bestimmte (!) Element mit $a \cdot a^{-1} = 1$. Aber ja, konsequenter wäre es, auch die (partiell definierte) Verknüpfung  $(-)^{-1}$ mitaufzunehmen.

PS: Die meisten Texte sehen $(-)^{-1}$ nicht als Teil der Sprache einer Gruppe an, sondern formulieren das als eine Eigenschaft.


Red_
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-22 15:56

Danke, aber mir ist dann nicht ersichtlich, wofür man $(G,e,\circ, ^{-1})$ hat. Man kann ja auch einfach nur $(G,e,\circ)$ schreiben für die Sprache der Gruppen; oder $(\IR, 0, 1, +, \cdot, <)$ ohne das Minus.

Ich sehe gerade in einem anderen Skript, dass es genau so gemacht wird.
Die Sprache von bestimmten Objekten ist also nicht für jeden Mathematiker gleich (etwa wie: $\IN$ mit oder ohne 0), stimmt's?

Und was ist der genaue Sinn $(G,e,\circ, ^{-1})$ zu betrachten, statt $(G,e,\circ)$? Um sich Schreibarbeit zu sparen?  


Triceratops
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-22 16:44

2021-04-22 15:56 - Red_ in Beitrag No. 2 schreibt:
Und was ist der genaue Sinn $(G,e,\circ, ^{-1})$ zu betrachten, statt $(G,e,\circ)$?

Siehe LinkKonzepte der Gruppentheorie (Abschnitt 6, ab "Außerdem gehört hier die Inversenabbildung ..."). In Anbetracht deiner vorigen Threads dürfte dich auch Abschnitt 5 interessieren.

Zu den reellen Zahlen: Es sind auch $0$ und $1$ durch $+$ und $\cdot$ eindeutig bestimmt, und auch die Anordnung ist bestimmt durch $x \leq y \iff \exists z (y = x + z^2)$. Insofern ist die Sprache der reellen Zahlen reduzierbar auf $(\IR,+,\cdot)$. Wegen der Formel $x \cdot y = \frac{1}{2} ((x+y)^2-x^2-y^2)$ (Stichwort: quadratische Formen) könnte man sogar $\cdot$ weiter auf die unäre Operation $(-)^2$ reduzieren.


cofeworit
Junior
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Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-23 02:09

2021-04-22 15:56 - Red_ in Beitrag No. 2 schreibt:
Und was ist der genaue Sinn $(G,e,\circ, ^{-1})$ zu betrachten, statt $(G,e,\circ)$?

Ein Vorteil davon, $e$, $\circ$ und $^{-1}$ in der Sprache zu haben, ist, dass sich die Gruppenaxiome dann alle als allquantifizierte Gleichungen formulieren lassen. Man muss also keine Existenzquantoren verwenden. Insbesondere in der universellen Algebra ist das sehr natürlich. Dort werden allquantifizierte Gleichungen Identitäten genannt und die Klassen aller Modelle einer Menge von Identitäten Varietäten (und die universelle Algebra ist gerade das Studium von Identitäten und Varietäten). Jede Varietät ist (zusammen mit den Homomorphismen als Morphismen) eine algebraische Kategorie.




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Druckdatum: 2021-06-22 04:26