Forum:  Numerik & Optimierung
Thema: Bestapproximation
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mathematikerlein
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Dabei seit: 23.06.2020
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Themenstart: 2021-04-23 09:13

Guten Morgen,

zu folgenden beiden stetigen Funktionen $f_1, f_2 \in C[-1,1]$ sollten wir jeweils die Bestapproximation bezüglich der Supremumsnorm aus $\pi_1[-1,1]$ (also Polynome auf $[-1,1]$ mit Maximalgrad 1) ermitteln:
$f_1(x) = -2x^2+1$
$f_2(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
2x+1 & -1 \leq x \leq 0 \\
-2x^2+1 & 0<x\leq 1 \\
\end{array}
\right. $.

Bei beiden Funktionen bin ich jeweils auf die Nullfunktion als eindeutige Bestapproximation gekommen, sprich Bestapproximation $q_1\equiv 0$ zu $f_1$ und $q_2\equiv 0$ zu $f_2$. Weiters habe ich berechnet, dass die eindeutige Bestapproximation zur Funktion $f:= f_1-f_2$ aber nicht die Nullfunktion $q:= q_1-q_2$ ist (dies müsste $p(x) = \frac{1}{4}$ sein).
Ist das korrekt so ? 🙂

Schönen Freitag und guten Start ins Wochenende






Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-23 14:17

Ja, das sollte passen.


mathematikerlein
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Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 81
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-23 18:33

Lieber Kitaktus,

Danke dir für deine schnelle Antwort! 🙂🙂


mathematikerlein
Aktiv
Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 81
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-24 21:26

Hi !

Zu diesen Themen hat sich eine neue Frage ergeben bei mir. Bei einer Aufgabe wird eine "Folge von Bestapproximationen" erwähnt - der Prof. hat das aber nicht definiert in der Vorlesung bzw. was dazu gesagt. Er hat nur mal was vom Remez-Algorithmus angedeutet. Hat das damit zu tun ? Bzw. was ist denn die genaue Definition einer solchen Folge von Bestapproximationen ?

Danke schon mal und liebe Grüße 😃


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
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Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-25 02:48

Ja, da gibt es einen Zusammenhang:
Der Remez-Algorithmus ermittelt eine Folge von Polynomen (mit gegebenem Maximalgrad), die gegen die Bestapproximation einer gegebenen Funktion konvergieren.


mathematikerlein
Aktiv
Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 81
Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-25 15:23

Lieber Kitaktus,

Danke dir erneut für deine Antwort. Welche Eigenschaften hat denn diese Folge von Bestapproximationen genau ? 🙂

Grüße


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6856
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Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-25 18:01

Ich weiß nicht, ob die Bezeichnung "Folge von Bestapproximationen" so ganz passend ist.
Es ist eine Folge von Approximationen, die gegen die Bestapproximation konvergiert. Und falls das aus den Stichworten "Algorithmus" und "ermittelt" nicht hervorging: Es gibt einen konstruktiven Weg, von einem Folgeglied zum nächsten zu kommen. Denn aus der reinen Existenz einer Bestapproximation leitet sich ja nicht ab, wie man diese finden (konstruieren) kann.


mathematikerlein
Aktiv
Dabei seit: 23.06.2020
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Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-28 14:33

Hi Kitaktus,

Danke dir erneut für deine Antwort. Die Bezeichnung "Folge von Bestapproximationen" hat unser Prof. gewählt! 😄

Grüße




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Druckdatum: 2021-06-22 03:43