Forum:  Lebesgue-Integral
Thema: Integrationstheorie - Limes von Nullmengenfolgen
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Timethie
Junior
Dabei seit: 26.01.2021
Mitteilungen: 17
Themenstart: 2021-05-10 00:02
Hallöle, ich habe die folgende Aufgabe: ---------------------------------------- Es seien $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ ein Maßraum, $f \in \mathcal{L}_1(\mu)$ eine integrierbare Abbildung (d.h. $\int |f| \cdot\text{d}\mu < \infty$) und $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ eine Folge von Mengen in $\mathcal{A}$, sodass $\lim_{n \rightarrow \infty} \mu(A_n) = 0$ gilt. Man überlege ob dann auch $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{A_n} f \cdot \text{d}\mu = 0$$ gilt und begründe seine Antwort. ---------------------------------------- Ich komme hier leider nicht weiter. Meine Intuition sagt mir, dass die Aussage stimmen müsste, weil $S := \{x \in \bigcup_{n \mathbb{N}} A_n : |f(x)| = \infty \}$ eine Nichtnullmenge sein sollte. Deshalb weil die Funktionswerte von $f$ beliebig hoch werden müssen um das sinken des Maßes der Mengen $A_n$ auszugleichen (man verzeihe mir die grobe Formulierung). Ich weiß allerdings nicht, wie ich das sauber begründe. Ich habe versucht über eine Konstruktion einer Folge $(\tilde{A}_k)_{k \in \mathbb{N}}$ aus disjunkten Mengen zu argumentieren (die aber immernoch die Bedingungen an $A$ erfüllen), da dann $$\int_{\bigcup A_n} |f| \text{d}\mu = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left( \int_{\tilde{A}_k} |f| \cdot \text{d}\mu \right)$$ gilt. Ich habe auch versucht über Abschätzungen zu arbeiten, aber ich komme da einfach nicht weiter, bzw. mir fehlen Zwischenschritte. Es würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.

nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 625
Wohnort: Köln
Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-10 00:34
Die Aussage stimmt. Mein erster Gedanke wäre: Definiere eine Folge durch $f_n=f\cdot\chi_{A_n}$ und verwende den Satz von der majorisierten Konvergenz. Ansonsten könntest du auch das (signierte) Maß $$ \mu'(A)=\int_A f \ \mathrm d \mu $$ betrachten und $\mu' \ll \mu$ ($\mu'$ ist absolut stetig bezüglich $\mu$) zeigen. Da $f$ $\mu$-integrierbar ist, ist $\mu'$ sogar endlich. Damit gibt es für jedes $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$, sodass für alle $A\in \mathcal A$ mit $\mu(A)<\delta$ gilt, dass $|\mu'(A)|<\varepsilon$. Da $\mu(A_n)\to 0$ gibt es ein $N\in \mathbb N$ derart, dass für alle $n\geq N$ gilt $\mu(A_n)<\delta$. Folglich haben wir damit für $n\geq N$, dass $|\mu'(A_n)|<\varepsilon$, was zu zeigen war. Letzteres setzt natürlich ein paar Resultate voraus. LG Nico



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Druckdatum: 2021-08-05 23:15