Forum:  Numerik & Optimierung
Thema: Zeigen der Optimalitätsbedingung 2. Ordnung
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Noahhh
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Dabei seit: 18.06.2021
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Themenstart: 2021-06-18 16:51
Guten Tag Ich sitz seit ner Weile bei folgender Aufgabe fest: Es sei f : R^n → R zweimal differenzierbar. Beweisen Sie die folgende notwendige Optimalitätsbedingung zweiter Ordnung: Ist x∗ ∈ R^n ein Minimierer von f und ist D^2 f stetig in x∗, so gilt: D^2 f(x∗)(v, v) ≥ 0 für alle v ∈ R^n. Wir behandeln gerade das Thema Taylorformel also werde ich diese vermutlich zum Lösen brauchen. Ich freue mich über jede Hilfe

semasch
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-19 01:24
Moin Noahhh, für $v = 0$ ist die Ungleichung trivialerweise erfüllt, also kannst du dich auf $v \neq 0$ beschränken. Die Taylorformel ist für den vorliegenden Fall eines zweimal differenzierbaren $f$ z.B. mit der Lagrangedarstellung des Restglieds \[f(x^*+h) = f(x^*) + df(x^*)(h) + \frac{1}{2} d^2f(x^*+\theta h)(h,h)\] mit $h \in \mathbb{R}^n$ für ein (i.A. von $h$ abhängiges) $\theta \in [0,1]$. Da $x^*$ ein lokales Minimum von $f$ ist, gibt es ein $\epsilon > 0$, so dass für alle $h \in \mathbb{R}^n$ mit $\|h\| \le \epsilon$ die Beziehung $f(x^*) \le f(x^*+h)$ gilt. Überlege dir (bzw. erinnere dich), was daraus für $df(x^*)$ folgt. Setze dann $h = \epsilon \frac{v}{\|v\|}$, verwende die Taylorformel von oben und letztlich die Stetigkeit von $x \mapsto d^2f(x)$ an der Stelle $x = x^*$. LG, semasch

zippy
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Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-19 07:40
\quoteon(2021-06-19 01:24 - semasch in Beitrag No. 1) und letztlich die Stetigkeit von $x \mapsto d^2f(x)$ an der Stelle $x = x^*$. \quoteoff Im Startbeitrag wird $f$ war nur als zweimal differenzierbar, nicht als zweimal stetig differenzierbar vorausgesetzt.

semasch
Senior
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-19 07:56
Moin zippy, \quoteon(2021-06-18 16:51 - Noahhh im Themenstart) Ich sitz seit ner Weile bei folgender Aufgabe fest: Es sei f : R^n → R zweimal differenzierbar. Beweisen Sie die folgende notwendige Optimalitätsbedingung zweiter Ordnung: Ist x∗ ∈ R^n ein Minimierer von f und ist D^2 f stetig in x∗, so gilt: D^2 f(x∗)(v, v) ≥ 0 für alle v ∈ R^n. \quoteoff Habs beim ersten Mal auch überlesen, aber die benötigte Voraussetzung, dass $d^2f$ im Punkt $x = x^*$ stetig ist, scheint mir schon gegeben zu sein.🙂 LG, semasch

zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
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Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-19 08:18
\quoteon(2021-06-19 07:56 - semasch in Beitrag No. 3) Habs beim ersten Mal auch überlesen, aber die benötigte Voraussetzung, dass $d^2f$ im Punkt $x = x^*$ stetig ist, scheint mir schon gegeben zu sein.🙂 \quoteoff Ja, du hast völlig Recht.



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Druckdatum: 2021-09-25 02:47