Forum:  Lineare DGL 2. Ordnung
Thema: Warum wurde hier so eingesetzt?
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simplicity
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Themenstart: 2021-06-19 09:19
Hallo! Ich soll diese DLG in Form einer Potenzreihe lösen und und die Näherungslösung für den 6ten Grad finden. \(y''+3xy'+3y=0\) Und jetzt habe ich nun die 1te und 2te Ableitung gemacht,mit dem Potenzansatz. \(\sum_{k=0}^{\infty} a_k * x^k\) Die ersten 2 Abiletungen sollte so aussehen. \(y' =\sum_{k=1}^{\infty} a_k * k*x^{k-1}\) \(y'' =\sum_{k=2}^{\infty} a_k * k*(k-1) x^{k-2}\) Und jetzt der teil der mir nicht klar ist.Also wenn ich ja das jetzt einsetze wurde ich es so machen \(\sum_{k=2}^{\infty} a_k * k*(k-1) x^{k-2} + 3\sum_{k=1}^{\infty} a_k * k*x^{k-1} + 3\sum_{k=0}^{\infty} a_k * x^k\) Aber in den Lösungen ist der 2te term (also y') so eingesetzt. \(3\sum_{k=1}^{\infty} a_k * x^k\) Ich habe keine Ahnung warum das so ist.Warum wurde hier das x hoch k-1 ausgelassen,bzw das -1.Und was mir noch kommisch ist.Bei der indexverschiebung die folgt (das man bei 0 anfangt) ist es bei ersten term wie erwartet,man zieht eine 2 ab beim summen zeichen aber man addiert innerhalb der summe überall eine 2 dazu.Dann sieht das so aus \(\sum_{k=0}^{\infty} a_k * (k+2)*(k+1) x^{k}\) Aber bei den 2ten tertm (y') mann hat bei der summe eins abgezogen aber innerhalb der summe hat sich nichts verandert. es ist genau gleich geblieben ausser das man jetzt bei 0 anfangt. \(\sum_{k=0}^{\infty} a_k*k*x^k\). Diese 2 schritte verstehe ich wirklich nicht,und wurde mich um ein bisschen einsicht freuen. Mfg simplicity

Math_user
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-19 10:14
Guten Morgen simplicity Also einen Schritt weiter bringt dir sicherlich folgende Bemerkung: Wir haben ja $3xy'$. Wenn wir nun den Potenzansatz einfügen, dann haben wir ja unteranderem $x*x^{k-1}=x^k$. Somit ist die Frage geklärt mit der Potenz aber ich sehe auch noch nicht weshalb dass $k$ verschwindet als Vorfaktor... Liebe Grüsse Math_user

simplicity
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-19 16:47
Hallo, Also das mit 3xy' helft auf jeden fall weiter.Allerdings muss ich mich entschuldingen da mir ein fehler in LaTeX passiert ist.Ich versuche jetzt die Aufgabe bzw. die schritte richtig abzuschreiben \(\sum_{k=2}^{\infty} k(k-1) a_k x^{k-2} +3\sum_{k=1}^{\infty}ka_kx^k+3\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k\) so sieht es aus vor indexverschibung.Und so nach indexverschiebeung \(\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1) a_k x^{k} +3\sum_{k=0}^{\infty}ka_kx^k+3\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k\) Was ich hier nicht verstehe,ist bei den 2ten term (3xy') bei der indexverschiebung innerhalb der summe ist nichts verandert,obwohl bei der summe 1 abgezogen ist.Warum? Mfg simplicity

Kuestenkind
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-19 16:58
Huhu simplicity, was kommt denn raus, wenn du \(k=0\) in die Summe einsetzt? Gruß, Küstenkind

simplicity
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-19 17:16
Hallo, also ich bin mir nicht sicher welche summe du meinst.Ich ratte mal es ist die summe die ich nicht verstehe,also die mittlere.Wenn ich ja k = 0 einsetze sollte es so aussehen. \(3(0*a_k*x^0) = 0\) Oder? Mfg simplicity

Kuestenkind
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Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-19 17:21
Ja. Gruß, Küstenkind

simplicity
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-19 17:25
Hallo, Aber wie beantwortet das meine Frage? Ich verstehe immer noch nicht warum ich hier den Index bei der Summe vershieben kann und innerhalb der summe kad k unverandert bleibt.Konntest du bitte erklaren? Mfg simplicity

Kuestenkind
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Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-19 17:29
Rechne doch mal aus: \(\displaystyle \sum_{k=0}^3 k\) \(\displaystyle \sum_{k=1}^3 k\) Fällt dir was auf? Gruß, Küstenkind

simplicity
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-19 17:45
Hallo, Es kommt das selbe raus.Also kann ich ja sagen das es "egal" ist ob ich bei 0 oder 1 starte,da der erste term 0 ist,also kann ich es ja weglassen? Mfg simplicity

Kuestenkind
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Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-20 10:53
Huhu simplicity, oder, in die andere Richtung gesehen (wie bei deiner Summe): Wenn man Null zu einer Summe addiert, ändert sich der Summenwert nicht. \(\displaystyle \sum_{k=1}^3 k=1+2+3=6=6+0=0+1+2+3=\sum_{k=0}^3 k\) Gruß, Küstenkind

simplicity
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Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-20 13:51
Hallo, Perfekt danke! Mfg simplicity



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Druckdatum: 2021-09-17 23:41