Forum:  Algebraische Geometrie
Thema: Isomorphismus von lokalen Ringen impliziert ein-elementige Faser
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Kezer
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Themenstart: 2021-06-22 11:00
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Hi, es folgt ein Beweisschritt in Lius Buch zur algebraischen Geometrie, S.151. (Es ist im Kapitel zu Zariskis Hauptsatz.) Ich gebe alle Voraussetzungen an, die gegeben sind, sicher braucht man nicht alle für den Schritt, den ich hier zitiere. Sei $f:X \to Y$ ein eigentlicher, birationaler Morphismus zwischen integralen Schemata $X,Y$ mit $Y$ normal und lokal Noethersch. Wenn für $y \in Y$ gilt $\dim{\mathcal{O}_{Y,y}} = 1$ und $\OO_{Y,y} \xrightarrow{\ \sim \ } \OO_{X,x}$, dann gilt $f^{-1}(\{y \}) = \{x \}$. Wie folgt das? Liu verweist auf den Reduced-to-Separated Satz, also dass Morphismen von reduzierten Schemata nach separierten Schemata bereits durch dichte offene Räume bestimmt sind. Aber ich sehe nicht, wo hier der Zusammenhang ist. [Vermutlich braucht man nur wenige der Bedingungen. Alle Voraussetzungen sind zunächst dafür da, um den $\OO$-Zusammenhang (also $\OO_Y \xrightarrow{\ \sim \ } f_* \OO_X$) zu zeigen und anschließend ein Resultat bzgl. des $\OO$-Zusammenhangs zu verwenden.]\(\endgroup\)

Kezer
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Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-24 17:34
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Ich müsste es noch ganz genau nachprüfen, aber ich denke da $Y$ lokal Noethersch ist und auch $X$ lokal Noethersch ist (da $f$ vom endlichen Typ ist), kann man aus dem Isomorphismus $\OO_{Y,y} \xrightarrow{\ \sim \ } \OO_{X,x}$ einen Isomorphismus von offenen Umgebungen um $x,y$ schließen. Damit folgt zumindest schon mal, dass $x$ isoliert in der Faser $f^{-1}(y)$ ist. Das ist immerhin genau das, was man in dem Beweis benötigt.\(\endgroup\)

Saki17
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Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-29 11:53
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\) \quoteon(2021-06-24 17:34 - Kezer in Beitrag No. 1) Ich müsste es noch ganz genau nachprüfen, aber ich denke da $Y$ lokal Noethersch ist und auch $X$ lokal Noethersch ist (da $f$ vom endlichen Typ ist), kann man aus dem Isomorphismus $\OO_{Y,y} \xrightarrow{\ \sim \ } \OO_{X,x}$ einen Isomorphismus von offenen Umgebungen um $x,y$ schließen. \quoteoff Ja, das ist ein "spreading out" Argument. Die genaue Aussage findest du in Lius Exercise 3.2.4. Vgl. auch QPoints, Thm.3.2.1. ist nicht zielführend.\(\endgroup\)

KarlRuprecht
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-01 23:23
Hi, hatte vor ein Paar Jahren dieselbe Denkblockade an dieser Stelle. Das lässt sich mit dem Bewertungskriterium für eigentliche Morphismen 3.3.26 auf S 117 lösen. Es besagt, dass die kanonische Abbildung $X(O_K) \to X(K)$, für jeden Bewertungsring $O_K$ mit Struktur eines $Y$-Schemas, eine Bijektion ist. Inb ist jeder Lift von $X(K)$ zu $X(O_K)$ eindeutig! Nun wähle $O_K= O_{X,y} \cong O_{X,x}$. Dann $Frac(O_K)= K(X)=K(Y)$ und der Lift von natürlichem $Spec(K(X)) \to X$ zu $Spec(O_K) \to X$ ist eindeutig. Punkt $y$ kann als das eindeutige max Ideal von $O_K$ gedeutet werden, dessen Bild unter obigen Abb gerade $x$ ist. Wegen Eindeutigekeit kann es kein $x' \neq x$ in $X_y$ geben, da wir dann zwei verschiedene Lifts zu $Spec(K(X)) \to X$ hätten, denn $O_{X,x'} \cong O_{X,y} \cong O_{X,x}$, Widerspruch zur Eindeutigkeit.

Kezer
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-04 17:31
Das sieht gut aus, danke!



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Druckdatum: 2021-09-28 06:27