Antworte auf:  Grenzwert sin x / x von Dark_Querulant
Forum:  Grenzwerte, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Themenübersicht
Epsilon_groesser_0
Neu
Dabei seit: 28.02.2021
Mitteilungen: 1
 Beitrag No.21, eingetragen 2021-02-28 23:33    [Diesen Beitrag zitieren]

nun kannst du leicht deine beiden problemchen lösen:

lim(x->0,sin(x)/x)=lim(x->0,(x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...)/x)
=lim(x->0,1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+...)=1


fed-Code einblenden


Ich weiß, dass das "ein wenig" Nekroposting ist, aber müsste man in dem Beweis nicht vorher zeigen, dass man die Limiten vertauschen darf? Immerhin unterstellen wir:


fed-Code einblenden

ident sind.


Gockel
Senior
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25545
Wohnort: Jena

 Beitrag No.20, eingetragen 2004-02-05 15:15    [Diesen Beitrag zitieren]

Meinte ich doch. :-D


Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4572
 Beitrag No.19, eingetragen 2004-02-05 14:44    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi!

Wie man es jetzt definiert, ist im Endeffekt egal.

In meinem Analysis-Buch steht auch als Definition:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Mit ein wenig Mühe leitet man daraus die Formel her, die arthur als Definition genommen hat. Daraus ergibt sich dann auch die geometrische Interpretation.

Dieser Weg ist bequemer, aber sicher nicht der historische.  Historisch wurden sin und cos geometrisch eingeführt, später die Potenzreihenentwicklung, dann konnte Euler durch Vergleich der Potenzreihen seine Gleichung beweisen.

Gruß
Fabi


Gockel
Senior
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25545
Wohnort: Jena

 Beitrag No.18, eingetragen 2004-02-05 14:31    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich dachte immer, es wäre umgekehrt: Die Potenzreihen von e^x, sin und cos werden entwickelt und daraus hat er die Identität und alles andere abgeleitet.
Schließlich kann man die Reihen von cos und sin ja auch ohne die Exponential-Definition gewinnen.


arthur
Senior
Dabei seit: 04.11.2003
Mitteilungen: 2510
Wohnort: Berlin

 Beitrag No.17, eingetragen 2004-02-05 14:27    [Diesen Beitrag zitieren]

hi DQ!

es handelt sich um 2 definitionen! diese sind nicht zu beweisen.
alles was aus diesen defintionen folgt, ist zu beweisen, z.b. die eulersche identität, die potenzreihenentwicklung usw.
genau das haben wir gemacht...
die definitionen musst du einfach so hinnehmen.

gruß arthur


Gockel
Senior
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25545
Wohnort: Jena

 Beitrag No.16, eingetragen 2004-02-05 14:13    [Diesen Beitrag zitieren]

Wenn du die Reihe von e^ix entwickelst, wirst du feststellen, dass die Identität dabei herauskommt. Dazu musst du beachten, dass i^2=-1 ist und du musst die Reihenglieder geschickt umstellen.
Bei mathworld ist das sehr spartanisch angerissen, dafür aber mit einer schönen alternativen Methode über ein Integral bewiesen.


Dark_Querulant
Aktiv
Dabei seit: 17.06.2002
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 Beitrag No.15, eingetragen 2004-02-05 13:14    [Diesen Beitrag zitieren]

hm...

Also der Beweis leuchtet mir schon ein, nur haben wir nicht:

/fedsin(x):=1/2i*(e^ix-e^(-ix))

Mit der eulerschen Identität bewiesen?
Man kann doch nicht aus einer Aussage 'A', die nicht bewiesen ist, eine Aussage 'B' beweisen und anschließend aus der Aussage 'B', die ja total auf 'A' aufbaut, 'A' beweisen...

also entweder braucht man einen beweis für:
/fedsin(x):=1/2i*(e^ix-e^(-ix))
ohne die eulersche Identität oder einen für die eulersche Identität ohne:
/fedsin(x):=1/2i*(e^ix-e^(-ix))
oder sehe ich das falsch?`

Gruß
DQ


arthur
Senior
Dabei seit: 04.11.2003
Mitteilungen: 2510
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 Beitrag No.14, eingetragen 2004-02-04 20:13    [Diesen Beitrag zitieren]

fed-Code einblenden


Dark_Querulant
Aktiv
Dabei seit: 17.06.2002
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 Beitrag No.13, eingetragen 2004-02-04 19:54    [Diesen Beitrag zitieren]

Das mit dem Sinus hat geklappt :D

nur leider fehlt jetzt noch die Eulersche Identität ...


arthur
Senior
Dabei seit: 04.11.2003
Mitteilungen: 2510
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 Beitrag No.12, eingetragen 2004-02-04 19:01    [Diesen Beitrag zitieren]

fed-Code einblenden


Gockel
Senior
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25545
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 Beitrag No.11, eingetragen 2004-02-04 18:43    [Diesen Beitrag zitieren]

fed-Code einblenden

[ Nachricht wurde editiert von Gockel am 2004-02-05 14:00 ]


Dark_Querulant
Aktiv
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 Beitrag No.10, eingetragen 2004-02-04 18:35    [Diesen Beitrag zitieren]

Es sind keine Hausaufgaben...
Es ist Freizeitmathe.
Also macht es nichts, dass ihr komplexe Zahlen und die Taylorreihen in euren Erklärungen gebraucht.

Gruß
DQ


Gockel
Senior
Dabei seit: 22.12.2003
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 Beitrag No.9, eingetragen 2004-02-04 18:30    [Diesen Beitrag zitieren]

Schlimm ists dann nur, wenn er sagt: "Kannst du das denn beweisen?". Die Entwicklung in eine Potenzreihe ist gar nicht so einfach ohne komplexe Zahlen und Eulersche Identität (die man in der 10ten wohl eher nicht kennt)


Dark_Querulant
Aktiv
Dabei seit: 17.06.2002
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Wohnort: Flensburg

 Beitrag No.8, eingetragen 2004-02-04 18:30    [Diesen Beitrag zitieren]

Bei der eulerschen Identität komme ich nicht weiter:
fed-Code einblenden
wenn das Stimmen sollte, müsste:

fed-Code einblenden

sein. Was ja auch stimmt, nur leider ist es das was ich beweisen will...

Das Einsetzen von
fed-Code einblenden
will mir auch nicht ganz gelingen.

Die Taylorreihe, ja, die kenn ich flüchtig...
Habe mal versucht mich damit auseinanderzusetzen. Das hat nicht so gut geklappt, da das einzige was ich gefunden habe, irgendwelche Skripte der TU-Berlin waren.

[ Nachricht wurde editiert von Dark_Querulant am 2004-02-04 18:32 ]


arthur
Senior
Dabei seit: 04.11.2003
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 Beitrag No.7, eingetragen 2004-02-04 18:25    [Diesen Beitrag zitieren]

hui,...10.klasse. nagut, dann ist meine lösung wohl nicht die art von lösung, die euer lehrer sehen will. aber macht ja nix. er guckt bestimmt nicht schlecht, wenn du ihm den sinus als potenzreihe vor die nase setzt...  ;-)

gruß arthur


Dark_Querulant
Aktiv
Dabei seit: 17.06.2002
Mitteilungen: 245
Wohnort: Flensburg

 Beitrag No.6, eingetragen 2004-02-04 17:51    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich bin Schüler ...
10. Klasse.


arthur
Senior
Dabei seit: 04.11.2003
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 Beitrag No.5, eingetragen 2004-02-04 17:46    [Diesen Beitrag zitieren]

fed-Code einblenden


Gockel
Senior
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25545
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 Beitrag No.4, eingetragen 2004-02-04 17:26    [Diesen Beitrag zitieren]

Ja es gibt Beweise dafür. Das eine sind die sogenannte Taylorreihen, die du dir selbst in diese Form entwickeln könntest.
Es andere folgt aus der Eulerschen Identität
fed-Code einblenden
Die wiederrum mit Hilfe der Reihenentwicklung bewiesen werden kann.


Dark_Querulant
Aktiv
Dabei seit: 17.06.2002
Mitteilungen: 245
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 Beitrag No.3, eingetragen 2004-02-04 17:22    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke!
Ich finde beide Beweise wirklich gut, doch leider habe ich noch ein paar Fragen:

ich gehe jetzt mal davon aus, dass:
fed-Code einblenden

die Grenzwerte von:
fed-Code einblenden
sind?!

Gibt es einen Beweis dafür?
und gibt es einen Beweis für:

fed-Code einblenden

Arthur sagt, dass es Definitionen sind, aber gibt es einen Beweis, zwischen dem Zusammenhang der geometrischen Deutung und der exakten Definition?

Vielen Dank im Voraus!

Gruß
DQ


arthur
Senior
Dabei seit: 04.11.2003
Mitteilungen: 2510
Wohnort: Berlin

 Beitrag No.2, eingetragen 2004-02-03 22:51    [Diesen Beitrag zitieren]

fed-Code einblenden

-----------------
Mathematik ist nicht rechnen, Mathematik ist nachdenken. Nachdenken, um sich das Rechnen zu ersparen.


SchuBi
Senior
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
Wohnort: NRW

 Beitrag No.1, eingetragen 2004-02-03 21:54    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo, Dark_Querulant!
Es gibt eine schöne Herleitung von Friedrich Laher in Ableitungen Trigonometrie.

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Wenn Null besonders groß ist, ist es beinahe so groß wie ein bißchen Eins. Tadeln ist leicht, deshalb tun es so viele; mit Verstand loben ist schwer, darum versuchen es so wenige. (A. Feuerbach) The 3 c’s of life: you must make a choice to take a chance or your life will never change.

[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 2004-02-03 21:55 ]


Dark_Querulant
Aktiv
Dabei seit: 17.06.2002
Mitteilungen: 245
Wohnort: Flensburg

 Themenstart: 2004-02-03 21:49    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo!

Kann mir jemand helfen?
Ich versuche gerade zu beweisen, dass das Differential von sin x, cos x ist. Aber leider komme ich nicht weiter.
Mir fehlt der Grenzwert von:
fed-Code einblenden

Ich habe mal was mit:
fed-Code einblenden

oder so ähnlich gesehen.
Das habe ich allerdings nicht ganz verstanden...
Bin für jede Hilfe dankbar...


natürlich auch für eine Alternative

Gruß
DQ


 
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