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Antworte auf:  fibonacci von suu
Forum:  Zahlentheorie, moderiert von: Wauzi

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Erledigt J


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suu
Junior
Dabei seit: 22.10.2002
Mitteilungen: 9
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2002-10-23 23:06    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke Fabi!
ich hab nochmal ein paar aufgaben gefunden, von denen mich die lösung interessiert, aber leider selbst keine Lösung finde. allerdings hab ich die nocheinmal extra gestellt da ich nicht wusste wie man die aneinander hängt.
wenn u lust hast würd ich mich sehr freuen, wenn du mir auch noch bei den anderen aufgaben behilflich sein kannst. ich denk es würden auch kleine denkhilfen helfen, hoff ich.

gruß suu


Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4504
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2002-10-23 08:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi!

zu 1.:

Behauptung: ggt(fn, fn+1) = 1.

Beweis:

Die Behauptung ist richtig für n = 1 (f1 = 1, f2=1).

Es gelte nun ggT(fn, fn+1) = 1.

Es ist zu zeigen: ggT(fn+1, fn+2) = 1.

Es ist ggT(fn+1, fn+2) = ggT(fn+1, fn+1+fn).

Angenommen, das hätte einen ggT > 1. Dann wäre fn+1 und fn+1+fn durch a teilbar. Daraus folgt aber, dass fn durch n teilbar ist. Dies ist aber nicht möglich, da dann auch ggT(fn+1, fn) = a wäre.

Also ist auch ggT(fn+1, fn+2) = 1. qed

2. Schau mal bei dieser Aufgabe.

Anleitung für die dritte Aufgabe: Ebenfalls per vollständiger Induktion. Die Behauptung gelte für alle f2k mit k < n+1.  Nun musst du zeigen, dass sie auch für n+1 gilt. Dazu setzt du mit der entsprechenden Gleichung für n+1 an. In dieser Gleichung kommt f2n+2 vor.

Das lässt sich umformen zu: f2n+1+f2n = f2n-1+2f2n

Es gilt fn = fn+1-fn-1, also kann man den oberen Term umformen zu:

f2n-f2n-2+2f2n.

Und darauf kannst du jetzt die Induktionsvoraussetzung anwenden, indem du die enstsprechenden Ausdrücke für f2n und f2n-2 einsetzt und schaust, ob die entstehende Gleichung wahr ist.

Gruß

Fabi





[ Nachricht wurde editiert von Fabi am 2002-10-23 08:42 ]

[ Nachricht wurde editiert von Fabi am 2002-10-23 08:55 ]


suu
Junior
Dabei seit: 22.10.2002
Mitteilungen: 9
Herkunft:
 Themenstart: 2002-10-22 22:30    [Diesen Beitrag zitieren]

bezeichnet fn, n>1, die Folge der FIBONACCI- Zahlen, so beweise man:

-   fn und fn+1 sind stets teilerfremd

-   es ist fn genau dann gerade, wenn n durch 3 teilbar ist

-  f2n = fn ( fn+1 +fn-1 ) für n>1

Leider funktionieren die mathematischen Zeichen bei mir nicht. Ich hoff ihr versteht trotzdem, d.h. die Zahlen / Buchstaben nach dem f sind unten geschrieben.

vielen dank schonmal im voraus!!


 
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