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Antworte auf:  Grenzwert einer unendlichen Summe geschlossen darstellbar? von Marbin
Forum:  Folgen und Reihen, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Themenübersicht
Marbin
Aktiv
Dabei seit: 31.12.2011
Mitteilungen: 125
Herkunft: Shanghai, China
 Beitrag No.4, eingetragen 2018-01-21 13:45    [Diesen Beitrag zitieren]

Stimme ich dir voll und ganz zu. Nur "irgendetwas" sagt mir, dass hier eine geschlossene Form existiert.


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4118
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-21 13:34    [Diesen Beitrag zitieren]

In meinen Augen ist das jetzt eigentlich nur eine "Verschlimmbesserung".  biggrin

Ich denke, es geht hier mehr um ein menschliches, als ein mathematisches Problem, nämlich um die Schwierigkeit sich damit abzufinden, dass es für die überwältigende Mehrheit von Summen eben keine geschlossene Formel gibt, und alle Gegenbeispiele immer nur Ausnahmen sind, welche ebendiese Regel bestätigen.


Marbin
Aktiv
Dabei seit: 31.12.2011
Mitteilungen: 125
Herkunft: Shanghai, China
 Beitrag No.2, eingetragen 2018-01-21 12:39    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)
Ich habe mal angefangen, die Summe anders hinzuschreiben. Für nichtganze reelle \(x\) gilt: \(\left \lceil x \right \rceil=\frac{1}{2}+x+\frac{\tan^{-1}\left ( \frac{1}{\tan \left ( \pi \cdot x \right )} \right )}{\pi}\). Somit

\[\sum_{i=0}^{\infty}\frac{3^{i}}{2^{\left \lceil i\cdot \frac{\ln (3)}{\ln (2)} \right \rceil +i+1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}\cdot \sum_{i=0}^{\infty}\frac{3^{i}}{2^{i\cdot \frac{\ln (6)}{\ln (2)}+\frac{\tan^{-1}\left ( \cot \left ( i\cdot \pi\cdot \frac{\ln (3)}{\ln (2)}  \right )  \right )}{\pi}}}\]
\(\endgroup\)

weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4118
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-21 11:43    [Diesen Beitrag zitieren]

2018-01-21 09:01 - Marbin im Themenstart schreibt:
Lässt sich dieser Grenzwert geschlossen darstellen? Hat jemand eine Vermutung?

Aufgrund der ceiling-Funktion im Exponenten halte ich es für sehr unwahrscheinlich, dass es dafür eine geschlossene Formel gibt, jedenfalls liefert auch der sonst recht gute Konstantenrechner von Plouffe et al. hier kein Ergebnis.


Marbin
Aktiv
Dabei seit: 31.12.2011
Mitteilungen: 125
Herkunft: Shanghai, China
 Themenstart: 2018-01-21 09:01    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)
Vor einiger Zeit habe ich zur Modellierung des Collatz-Problems folgende Summe aufgestellt:

\[\sum_{i=0}^{\infty}\frac{3^{i}}{2^{\left \lceil i\cdot \frac{\ln (3)}{\ln (2)} \right \rceil +i+1}}\]
Mittels Majorantenkriterium kann man zeigen, dass die Summe konvergiert. Ich habe den Grenzwert näherungsweise berechnet:

\[\sum_{i=0}^{\infty}\frac{3^{i}}{2^{\left \lceil i\cdot \frac{\ln (3)}{\ln (2)} \right \rceil +i+1}}\approx 0,8557070119027572467386381827927740887351264803844154144\]
Lässt sich dieser Grenzwert geschlossen darstellen? Hat jemand eine Vermutung?
\(\endgroup\)

 
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