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Antworte auf:  Mittlere Entfernung eines Punktes zu einer Kugeloberfläche von flar2
Forum:  Stochastik und Statistik, moderiert von: Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel

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Themenübersicht
flar2
Junior
Dabei seit: 07.05.2013
Mitteilungen: 15
Herkunft:
 Beitrag No.17, eingetragen 2018-02-23 20:21    [Diesen Beitrag zitieren]

Die Lösung von DrStupid ist identisch mit meiner Lösung.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]


DrStupid
Senior
Dabei seit: 07.03.2011
Mitteilungen: 443
Herkunft:
 Beitrag No.16, eingetragen 2018-02-23 19:38    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)
2018-02-23 19:14 - StrgAltEntf in Beitrag No. 13 schreibt:
2018-02-23 16:58 - TomTom314 in Beitrag No. 7 schreibt:
den Ansatz
\[E(r)=\frac{1}{4\pi K^2}\int_{\partial B}||x-(r,0,0)||dx\] von flare2 halte ich schon für richtig.

Ja, ich auch. Aber er passt nicht zur Frage wink

Das kommt darauf an, wie man die Frage interpretiert. Was genau gedeutet denn, dass "alle Entfernungen gleich wahrscheinlich sind". Sind damit alle möglichen unterschiedlichen Entfernungen gemeint oder alle möglichen Entfernungen zu unterschiedlichen Punkten der Kugeloberfläche (unabhängig davon, ob sie sich voneinander unterscheiden)? Die Formulierung ist nicht eindeutig. Ich gehe davon aus, dass letzteres gemeint ist.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]
\(\endgroup\)

flar2
Junior
Dabei seit: 07.05.2013
Mitteilungen: 15
Herkunft:
 Beitrag No.15, eingetragen 2018-02-23 19:37    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich meinte StrgAltEntf und DerEinfaeltige ;)


flar2
Junior
Dabei seit: 07.05.2013
Mitteilungen: 15
Herkunft:
 Beitrag No.14, eingetragen 2018-02-23 19:35    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen,

vielen Dank Euch allen für die rege Beteiligung. Das hilft mir wirklich weiter. Manchmal hat man sich so in eine Sache rein gebissen, dass man vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr sieht.

Mein erster Gedanke war der von StrgAltEntf und DrStupid. Dann dachte ich mir, dasselbe müsste doch heraus kommen, wenn man über alle möglichen Entfernungen mittelt. Wenn alle Entfernungen gleich wahrscheinlich sind, dann liefert die Rechnung von Wladimir_1989 die gesuchte Bestätigung für den Fall, dass der Punkt ausserhalb der Kugel liegt? Als konstante Dichte habe ich allerdings 1/Oberfläche verwendet und dann über alle Oberflächenelemente integriert (2D Integral). Die Fallunterscheidung erhalte ich wegen dem Betrag. Stillschweigend habe ich dabei vermutlich meine ursprüngliche Problemstellung verändert zu dem, was DrStupid bemerkt, nämlich dass alle Punkte mit demselben Gewicht in die Mittelung einfliessen. Seine Rechnung werde ich auch noch nachvollziehen, um zu lernen.

Sind meine Gedanken jetzt soweit korrekt?

Viele Grüsse



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 4271
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.13, eingetragen 2018-02-23 19:14    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)
2018-02-23 16:58 - TomTom314 in Beitrag No. 7 schreibt:
den Ansatz
\[E(r)=\frac{1}{4\pi K^2}\int_{\partial B}||x-(r,0,0)||dx\] von flare2 halte ich schon für richtig.

Ja, ich auch. Aber er passt nicht zur Frage wink
\(\endgroup\)

DrStupid
Senior
Dabei seit: 07.03.2011
Mitteilungen: 443
Herkunft:
 Beitrag No.12, eingetragen 2018-02-23 18:36    [Diesen Beitrag zitieren]

PS: Bei dieser Rechnung bin ich davon ausgegangen, dass nicht alle Entfernungen gleichverteilt sind, sondern dass die Entfernungen zu allen Punkten auf der Oberfläche der Kugel mit gleichen Gewicht in den Mittelwert eingehen.


DrStupid
Senior
Dabei seit: 07.03.2011
Mitteilungen: 443
Herkunft:
 Beitrag No.11, eingetragen 2018-02-23 18:28    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)
2018-02-23 17:43 - TomTom314 in Beitrag No. 9 schreibt:
Soweit ich die Aufgabe verstanden habe, sind K und r fest vorgegeben und gesucht ist der mittlere Abstand d(x,r) mit |x|=K. Dann sollte doch irgendwo ein Integral über die Kugeloberfläche auftauchen.

Ja, so ist es. Wenn r der Abstand zwischen Q und X ist, dann ist
\[
\sqrt {\left( {K \cdot \cos \theta  - r} \right)^2  + \left( {K \cdot \sin \theta } \right)^2 }
\] der Abstand zwischen Q und einem Kreis mit dem Radius
\[
2 \cdot \pi  \cdot K^2  \cdot \sin \theta
\] auf der Oberfläche der Kugel. Der gesuchte mittlere Abstand ist das Integral dieser Abstande über die Oberfläche, dividiert durch die Oberfläche der Kugel. Mit
\[
k: = \frac{r}{K}
\] ergibt das
\[
d = \frac{K}{2} \cdot \int\limits_0^\pi  {\sqrt {1 - 2 \cdot k \cdot \cos \theta  + k^2 } }  \cdot \sin \theta  \cdot d\theta  = K \cdot \frac{{\left| {k + 1} \right|^3  - \left| {k - 1} \right|^3 }}{{6 \cdot k}}
\]




[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
\(\endgroup\)

DerEinfaeltige
Senior
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 1641
Herkunft:
 Beitrag No.10, eingetragen 2018-02-23 18:16    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)
StrgAltEntf hat die Lösung für das formulierte Problem ja bereits gegeben. Entweder die Gleichverteilung der Entfernungen ist ein Fehler in der Problemstellung oder es ist genauso trivial.

Wenn ich keinen groben Denkfehler habe, ergibt sich sogar kurz und schmerzlos $E(d)=\max(r,K)$.


Bevor ihr über Dichten integriert, solltet ihr mMn. erst einmal genau definieren, was ihr darunter versteht.
\(\endgroup\)

TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 896
Herkunft:
 Beitrag No.9, eingetragen 2018-02-23 17:43    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)
Hallo Wladimir,

bei Statistik befinde ich mich gerade auf unbekanntem Terrain. Soweit ich die Aufgabe verstanden habe, sind K und r fest vorgegeben und gesucht ist der mittlere Abstand d(x,r) mit |x|=K. Dann sollte doch irgendwo ein Integral über die Kugeloberfläche auftauchen. Dieses kann ich einfach bei Deiner Lösung einfach nicht sehen.

Bei Dir ist \(\rho(s)\) konstant. Müßte da nicht noch beachtet werden, dass es sich um eine Kugeloberfläche handelt?

*Wenn meine Einwände/Fragen vom Thema abweichen gerne auch eine Antwort über PM.
\(\endgroup\)

wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1103
Herkunft: Freiburg
 Beitrag No.8, eingetragen 2018-02-23 17:10    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)
Hallo TomTom314,

ich glaube das Problem ist hier, dass dieses Integral nicht der Definition des Erwartungswertes entspricht. Der Erwartungswert einer Größe \(s\) mit der Verteilungsdichte \(\rho(s)\) verteilt in einem Intervall I ist doch \(E(s)=\int_Is\rho(s)\text{d}s\). Hier wäre \(s=\sqrt{r^2+K^2-2rK\cos(\theta)}\), \(\rho(s)=\frac{1}{2K}\) und \(I=\left[r-K,r+K\right]\). Wir können direkt über s integrieren und erhalten \(E(s)=\frac{1}{2K}\int_{r-K}^{r+K}s\text{d}s=\frac{1}{4K}\left((r+K)^2-(r-K)^2\right)=r\). Man könnte natürlich auch über  \(s=\sqrt{r^2+K^2-2rK\cos(\theta)}\) zu \(\theta\) übergehen und erhält \(E(s)=\frac{1}{2K}\int_0^{\pi}rK\sin(\theta)\text{d}\theta=r\).

Hoffentlich habe ich keinen Denkfehler.

lg Wladimir
\(\endgroup\)

TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 896
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2018-02-23 16:58    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)
Hallo StrgAltEntf & Wladimir,

den Ansatz
\[E(r)=\frac{1}{4\pi K^2}\int_{\partial B}||x-(r,0,0)||dx\] von flare2 halte ich schon für richtig. Diesen kann ich mit euren beiden letzen Antworten aber nicht in Verbindung bringen. Die Dreiecksungleich \(||2x||\leq ||x-(r,0,0)||+||-x-(r,0,0)||\) zeigt schon, dass \(E(r)>E(0)=K\) für \(r\neq 0\) gilt.
\(\endgroup\)

StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 4271
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.6, eingetragen 2018-02-23 16:17    [Diesen Beitrag zitieren]

2018-02-22 17:04 - flar2 im Themenstart schreibt:
ich interessiere mich für den Mittelwert bzw den Erwartungswert dieser Entfernungen, wenn alle Entfernungen gleich wahrscheinlich sind

Hallo flar2,

meinst du das wirklich so? Falls ja: Berechne die größt- und kleinstmögliche Entfernung max bzw. min. Der EW ist dann (min + max)/2.


wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1103
Herkunft: Freiburg
 Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-23 14:30    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,
das Ergebnis sieht falsch aus. Der mittlere Abstand sollte einfach r sein. Kannst du bitte deine Rechnung hier posten.

lg Wladimir


TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 896
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2018-02-23 13:24    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo flar2,

wenn Du zwei Punkte (a,b), (-a,-b) und einen weiteren (x,0) auf der x-Achse nimmst, ist die Summe der Abstände für x=0 minimal. Daher sollte auch der mittlere Abstand für r=0 das Minimum annehmen.

Rein subjektiv hätte ich für r<K und r>K keine verschiedenen Formeln erwartet - zumindest machen mich die unterschiedlichen Potenzen von r stutzig.


flar2
Junior
Dabei seit: 07.05.2013
Mitteilungen: 15
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-23 12:21    [Diesen Beitrag zitieren]

Mein Ergebnis macht mich aber schon wieder stutzig. Kann ich innerhalb der Kugel eine grössere mittlere Entfernung als den Kugelradius erwarten? Ich habe die Entfernung von Q und Oberflächenpunkt X über alle Oberflächenelemente integriert und gemittelt. Ist diese Vorgehensweise richtig?


flar2
Junior
Dabei seit: 07.05.2013
Mitteilungen: 15
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-23 12:04    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Wladimir,

vielen Dank für Deine Hilfe. Ich erhalte jetzt den Mittelwert

K + r^2/(3K) für r < K

und

r + K^2/(3r) für r > K

Für r = K sind beide Ausdrücke gleich.


wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1103
Herkunft: Freiburg
 Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-22 17:30    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)
Hallo flar2,

Wegen der Symmetrie, können den Mittelpunkt der Kugel in den Ursprung legen und den Punkt \(Q\) auf die z-Achse. Damit haben wir \(Q=(0,0,r)\). Nun können  wir jeden Punkt auf der Kugeloberfläche in Kugelkoordinaten schreiben. Also \(X=(K\sin(\theta)\cos(\phi),K\sin(\theta)\sin(\phi),K\cos(\theta))\). Versuche nun den Abstand zwischen Q und X als Funktion von \(\theta\) zu schreiben.


lg Wladimir
\(\endgroup\)

flar2
Junior
Dabei seit: 07.05.2013
Mitteilungen: 15
Herkunft:
 Themenstart: 2018-02-22 17:04    [Diesen Beitrag zitieren]

Sehr geehrte Teilnehmer,

Bei der Lösung folgender Frage brauche ich Hilfe: Ich habe eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius K. Desweiteren habe ich einen festen Punkt Q innerhalb oder ausserhalb der Kugel. Der Abstand von Q zu M sei mit r gegeben. Jetzt hat der Punkt Q zu jedem Punkt X der Kugeloberfläche eine Entfernung und ich interessiere mich für den Mittelwert bzw den Erwartungswert dieser Entfernungen, wenn alle Entfernungen gleich wahrscheinlich sind. Für eine Antwort oder einen Lösungsansatz wäre ich sehr dankbar.

Viele Grüsse,

Ralf


 
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