Die Mathe-Redaktion - 15.12.2018 22:14 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt1 im Schwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 413 Gäste und 23 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 

Antworte auf:  Exaktheit von zwei Funktoren von Saki17
Forum:  Kategorientheorie, moderiert von: Buri Gockel

[Zur Forum-Gliederung] [Wie man Fragen beantwortet]

  Alle registrierten Mitglieder können Mitteilungen schreiben.
Benutzername:
Passwort:
Nachricht-Icon:                     
                    
                  
Nachricht:


 

Erledigt J


Eingabehilfen (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-Bereich] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-Bereich] [Quelltext [num.]][?]
 Zeige Vorschau      Schreibe im fedgeoFormeleditor oder mit Latex.

Wähle Smilies für Deine Nachricht: :-) :-( :-D ;-) :-0 8-) :-? :-P :-|
Optionen: Deaktiviere HTML in dieser Nachricht
Deaktiviere MATHML in dieser Nachricht. Wenn Dein Text $-Zeichen enthält, die nicht LaTeX-Formeln begrenzen.
Deaktiviere Smilies in dieser Nachricht
Zeige die Signatur (Kann in 'Mein Profil' editiert werden.)
    [Abbrechen]
 
Beachte bitte die [Forumregeln]


Themenübersicht
Saki17
Aktiv
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 545
Herkunft: Fernost
 Beitrag No.10, eingetragen 2018-05-25 15:49    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)
Ich wollte meinen wenn $A=Fr(A)\oplus Tor(A)$, kann $Tor(A)=0$ sein (wo die Gruppe frei ist). Hätte es als Torsionsanteil nennen sollten.
\(\endgroup\)

Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3648
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.9, eingetragen 2018-05-25 13:38    [Diesen Beitrag zitieren]

Auch dann verstehe ich die Aussage nicht.


kurtg
Senior
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1180
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2018-05-25 12:49    [Diesen Beitrag zitieren]

Er meint vielleicht eine nichttriviale.


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3648
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.7, eingetragen 2018-05-25 11:57    [Diesen Beitrag zitieren]

Das verstehe ich nicht. Jede abelsche Gruppe hat eine Torsionsuntergruppe.


Saki17
Aktiv
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 545
Herkunft: Fernost
 Beitrag No.6, eingetragen 2018-05-25 10:09    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)
Danke!

Mein Fehler für die Behauptung von $T$ ist "symmetrisch" zu dem für $F$: Ich habe schlicht vergessen dass eine e.e. abelsche Gruppe gar keine Torsionsuntergruppe haben kann.
\(\endgroup\)

Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3648
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-24 23:26    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)
Der Funktor $T$ ist linksexakt (einfach nachrechnen), aber nicht rechtsexakt, weil er keine Epimorphismen erhält (betrachte den natürlichen Epimorphismus $\IZ \to \IZ/2\IZ$ etwa).

Der Funktor $F$ ist weder links- noch rechtsexakt, weil er z.B. die exakte Sequenz $0 \to \IZ \xrightarrow{2} \IZ \to \IZ/2\IZ \to 0$ auf die Sequenz $0 \to \IZ \xrightarrow{2} \IZ \to 0 \to 0$ abbildet, die in der Mitte nicht exakt ist.

PS: Die behauptete Exaktheit in Beitrag 2 ist also falsch.
\(\endgroup\)

Saki17
Aktiv
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 545
Herkunft: Fernost
 Beitrag No.4, eingetragen 2018-05-24 18:47    [Diesen Beitrag zitieren]

Ja, ich habe angenommen dass die Gruppen immer freien Anteil hat, was natürlich nicht der Fall ist.


TomTom314
Aktiv
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 905
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-24 18:30    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)
So in etwa, nur dass die Einschränkung $F(f): Fr(A)\to Fr(B)$ nicht funktioniert. razz Schau Dir mal \(0\to\IZ\stackrel{\cdot n}{\to}\IZ\to\IZ/n\IZ\to 0\) an.

Beim Übergang zum allgemeinen Fall würde ich auf (Ko)limes tippen - kenne mich damit aber überhaupt nicht aus.
\(\endgroup\)

Saki17
Aktiv
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 545
Herkunft: Fernost
 Beitrag No.2, eingetragen 2018-05-24 18:03    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)
Hallo TomTom314,

danke für deinen Vorschlag.

Wenn meine Rechnung auf Schmierzettel stimmt, sollten die beiden Funktoren auf der Kategorie der endlich erzeugten abelschen Gruppen exakt sein. (Jede e.e. abelsche Gruppen kann man in ihren freien und Torsionsanteil zerlegen. Schreibe etwa $A=Fr(A)\oplus Tor(A)$ für e.e. abelsche Gruppen $A$ und sei $f:A\to B$ ein Morphismus in der Unterkategorie, dann ist $T(f):Tor(A)\to Tor(B),~ F(f): Fr(A)\to Fr(B)$, und die Exaktheit ist im Fall nicht schwer zu sehen. So war meine Überlegung gewesen.)

Die "endlich erzeugt"-Bedingung könnte dabei vielleicht notwendig sein, daher, um die Exaktheit zu testen/widerlegen, müsste ich mir nicht-e.e. abelschen Gruppen anschauen...
\(\endgroup\)

TomTom314
Aktiv
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 905
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-24 10:47    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Saki17,

in erster Näherung würde ich mir endlich erzeugte abelsche Gruppen anschauen. Damit erhältst Du wahrscheinlich eine solide Vermutung über rechts-/linksexakt.


Saki17
Aktiv
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 545
Herkunft: Fernost
 Themenstart: 2018-05-24 09:31    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)
Hallo,

ich bräuchte einige Denkimpuls für die folgende Aufgabe.

Sei $T:\mathsf{Ab}\to \mathsf{Ab}$ der Funktor, der jedem abelschen Gruppe ihre Torsionsuntergruppe zuordnet. (sowie $T(f):=f|_{T(A)}$ für den Morphismen)
Und sei $F: \mathsf{Ab}\to \mathsf{Ab}$ der Funktor definiert durch $F(A):=A/T(A)$.

Nun soll ich Aussagen über die (rechte/linke) Exaktheit der beiden Funktoren machen. (Ich stehe wirklich auf dem Schlauch.)
\(\endgroup\)

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]