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Antworte auf:  Rechnen mit Landau-O von Timon
Forum:  Grenzwerte, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Erledigt J


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Themenübersicht
Timon
Junior
Dabei seit: 11.08.2016
Mitteilungen: 10
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2018-08-10 12:37    [Diesen Beitrag zitieren]

Vielen Dank, ich habe die Argumentation jetzt verstanden.

Der Tipp war sehr hilfreich und hat mich letzten Endes auf den richtigen Weg gebracht!

Grüße


darkhelmet
Senior
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2506
Herkunft: Bayern
 Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-09 21:01    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)
Hi,

ich vermute mal das hinter den $O(1)$ auch jeweils eine analytische Funktion in $p$ steckt.

Für mich sieht das so aus, als wäre gemeint, dass
$$p\mapsto v(p) \frac{\alpha p^{\alpha -1} + \ldots}{p^\alpha + \ldots}$$ eine analytische Funktion in einer Umgebung von 0 ist. Dann ist $v'(0)\alpha$ der nullte Koeffizient der Potenzreihe in 0 und der Rest der Reiheneintwicklung lässt sich mit $O(p)$ zusammenfassen.

Die Frage ist nur, wie die Funktion für negatives $p$ definiert sein soll, bzw. wieso die Funktion über die 0 hinaus analytisch fortgesetzt werden kann. Wenn du die Funktionen hinter den $O(1)$ kennst, ist dir das vielleicht ohnehin klar.
\(\endgroup\)

Timon
Junior
Dabei seit: 11.08.2016
Mitteilungen: 10
Herkunft:
 Themenstart: 2018-08-09 10:10    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)
Hi zusammen!

Ich habe mich beim Versuch eine Rechnung nachzuvollziehen aufgehangen und würde mich über Ratschläge freuen!

Und zwar geht es um folgendes:

Sei \(\alpha \in (-1,0), \; v(\cdot)\) eine analytische Funktion in einer Umgebung von \([0,1]\), mit \(v(0)=0, \; v'(0) > 0\).

Dann kann man folgenden Limes betrachten, wobei das O, das Landau-O symbolisieren soll,

\[\lim_\limits{p \to 0}v(p) \frac{\alpha p^{\alpha -1} + O(1)}{p^\alpha + O(1)} =
\lim_\limits{p \to 0}v(p) \frac{\alpha p^{\alpha -1} }{p^\alpha } = \lim_\limits{p \to 0}v(p) \alpha p^{-1} \overset{\text{l'Hospital}}{=}v'(0) \alpha\]
Die Rechnung ist soweit in Ordnung, nun wird aber folgende Aussage getroffen, und zwar
\[v(p) \frac{\alpha p^{\alpha -1} + O(1)}{p^\alpha + O(1)} = v'(0)\alpha + O(p)\] für \(p \to 0\). Mir ist jetzt nicht klar, wie man auf das \(O(p)\) kommen soll. Insofern man das untere $O(1)$ weglässt, kann man das in einer kurzen Rechnung nachvollziehen. Mehr bekomme ich aber leider nicht raus.

Ich würde mich freuen, wenn mir da wer weiterhelfen könnte!

Grüße,

Timon
\(\endgroup\)

 
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