Die Mathe-Redaktion - 22.01.2020 04:18 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAward-Abstimmung ab 1.1.
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 610 Gäste und 1 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 

Antworte auf:  Zyklische Gruppe von ichbinteich
Forum:  Gruppen, moderiert von: Buri Gockel

[Zur Forum-Gliederung] [Wie man Fragen beantwortet]

  Alle registrierten Mitglieder können Mitteilungen schreiben.
Benutzername:
Passwort:
Nachricht-Icon:                     
                    
                  
Nachricht:


 
 


Eingabehilfen (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-Bereich] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-Bereich][show-Bereich] [Quelltext [num.]][?]
 Zeige Vorschau      Schreibe im fedgeoFormeleditor oder mit Latex.

Wähle Smilies für Deine Nachricht: :-) :-( :-D ;-) :-0 8-) :-? :-P :-|
Optionen: Deaktiviere HTML in dieser Nachricht
Deaktiviere MATHML in dieser Nachricht. Wenn Dein Text $-Zeichen enthält, die nicht LaTeX-Formeln begrenzen.
Deaktiviere Smilies in dieser Nachricht
Zeige die Signatur (Kann in 'Mein Profil' editiert werden.)
    [Abbrechen]
 
Beachte bitte die [Forumregeln]


Themenübersicht
Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.16, eingetragen 2018-10-17 18:16    [Diesen Beitrag zitieren]

Mit bekannten Sätzen über zyklische Gruppen ist der Beweis der Endlichkeit dann recht einfach:


Zum einen ist jede unendliche zyklische Gruppe isomorph zu $\mathbb{Z}$, und zum anderen ist jede echte Untergruppe von $\mathbb{Z}$ von der Form $n\mathbb{Z}$  mit $n>1$. Dies sind bekannte Aussagen über zyklische Gruppen. Nun nehme man an, das G aus der Aufgabe sei unendlich. Dann ist G isomorph zu $\mathbb{Z}$, und jede echte Untergruppe von G isomorph zu einem $n\mathbb{Z}$ mit $n>1$. Es gilt also $U\cong m\mathbb{Z}$ mit $m>1$ passend. Für jede Primzahl p mit $p \nmid m$ gilt nun $p\mathbb{Z}\not\subset m\mathbb{Z}$, wobei $p\mathbb{Z}$ eine echte Untergruppe von $\mathbb{Z}$ ist. Wegen der Isomorphie existiert also eine echte Untergruppe von G die keine Untergruppe von U ist, was der Voraussetzung in der Aufgabe widerspricht, dass jede echte Untergruppe von G eine Untergruppe von U ist.


Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.15, eingetragen 2018-10-17 14:48    [Diesen Beitrag zitieren]

2018-10-17 11:49 - ligning in Beitrag No. 13 schreibt:
Für eine vollständige Lösung müsste man noch begründen, dass die Ordnung von G endlich ist.

Ja, hast Recht, habe einfach angenommen, dass es sich um eine endliche Gruppe handelt.


wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1261
Herkunft: Freiburg
 Beitrag No.14, eingetragen 2018-10-17 13:08    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo ichbinteich,

falls du noch nicht in die komplette Lösung von np_comlete geschaut hast, hier noch eine  anschauliche Erklärung zu \(\text{ord}(H)=\text{ord}(G)/p_1\). Wir wissen, dass die von \(g^{p_1}\)  erzeugte Untergruppe (nennen wir sie \(H_1\)) echt ist und damit in H liegt. Damit gilt \(\text{ord}(H_1)=\text{ord}(G)/p_1|\text{ord}(H)|\text{ord}(G)\) Da \(p_1\) eine Primzahl ist, gibt es einfach keine natürliche Zahl, die zwischen \(\text{ord}(G)\) und \(\text{ord}(G)/p_1\) passt, die Ordnung von G teilt, von der Ordnung von \(H_1\) geteilt wird und dabei echt größer als die Ordnung von \(H_1\) ist.


lg Wladimir


ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2877
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.13, eingetragen 2018-10-17 11:49    [Diesen Beitrag zitieren]

Für eine vollständige Lösung müsste man noch begründen, dass die Ordnung von G endlich ist.


Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.12, eingetragen 2018-10-17 09:15    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich habe mir dazu folgende vollständige Lösung überlegt. Also nur den versteckten Bereich anschauen, wenn du an einer vollständigen Lösung interessiert bist:


Wir wissen, dass G zyklisch ist, also $G=\langle g \rangle$ für $g \in G$ passend. Sei nun $n:=|\,U|$, dann gilt nach dem Satz von Lagrange $|G|=n\cdot m$ mit $m \in \mathbb{N}$ passend. Es gilt dann $U=\langle g^m\rangle$. Für alle $s\in \mathbb{N}$ mit $s\mid m$ gilt nun $U':=\langle g^\frac{m}{s}\rangle < G$ mit $|\,U'|=s\cdot n$. Für jeden von 1 verschiedenen Teiler s von m ist nun U eine echte Untergruppe von U' und somit nach Voraussetzung $U'=G$. Also $m\cdot n= s\cdot n$ und somit $s=m$ für jeden von 1 verschiedenen Teiler von m. Also ist m eine Primzahl.

Sei nun $U'':=\langle g^\frac{n}{k}\rangle$ mit irgendeinem von n verschiedenen Teiler k von n. Dann ist U'' eine echte Untergruppe von G, und somit nach Voraussetzung sogar eine Untergruppe von U. Also $\langle g^\frac{n}{k}\rangle < \langle g^m\rangle$. Das heißt, dass zu einem fest gewählten k mit obiger Eigenschaft für alle $a\in \mathbb{N}$ mit $a\leq km$ ein $b\in \mathbb{N}$ mit $b\leq n$ existiert, so dass $a\cdot \frac{n}{k}=b\cdot m$ gilt. Also existiert auch für $a=1$ solch ein b, und es folgt $m \mid \frac{n}{k}$ für einen beliebigen von n verschiedenen Teiler k von n. Jeder echte Teiler von n ist also durch die Primzahl m teilbar, und somit n eine Potenz von m. Also ist $m\cdot n$ eine Primzahlpotenz.



ichbinteich
Junior
Dabei seit: 16.10.2018
Mitteilungen: 7
Herkunft:
 Beitrag No.11, eingetragen 2018-10-17 00:06    [Diesen Beitrag zitieren]

Der Schluss, dass $ord(H)=ord(G)/p_1$ ist mir noch nicht ganz klar.

Wenn dem so ist, würde sich am Ende ja p1=p2 ergeben. Folglich wäre es ja in der Tat eine Primpotenz. Bitte einmal auf die Sprünge helfen  smile


wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1261
Herkunft: Freiburg
 Beitrag No.10, eingetragen 2018-10-16 21:55    [Diesen Beitrag zitieren]

2018-10-16 21:45 - ichbinteich in Beitrag No. 9 schreibt:

$g^{p_1}$ ist doch Erzeuger einer Untergruppe H der Ordnung \(ord(H)=p_1\) oder?

nicht ganz, du bist aber auf dem richtigen Weg. \(g^{p_1}\) erzeugt eine Untegruppe der Ordnung \(\text{ord}(G)/p_1\). Das ist in der Tat bereits die Ordnung von H (Warum?). Wiederhole dies nun mit \(p_2\).

Wladimir


ichbinteich
Junior
Dabei seit: 16.10.2018
Mitteilungen: 7
Herkunft:
 Beitrag No.9, eingetragen 2018-10-16 21:45    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo wladimir,

Vielen Dank für deine Antwort.

$g^{p_1}$ ist doch Erzeuger einer Untergruppe H der Ordnung \(ord(H)=p_1\) oder?


wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1261
Herkunft: Freiburg
 Beitrag No.8, eingetragen 2018-10-16 21:24    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo ichbinteich,

sei \(n=\text{ord}(G)\). Betrachte die Primzahlzerlegung von n. Angenommen es gibt zwei verschiedene Primfaktoren \(p_1, p_2\). Sei g ein Erzeuger von G. Kannst du etwas über \(g^{p_1}\) sagen?


lg Wladimir


ichbinteich
Junior
Dabei seit: 16.10.2018
Mitteilungen: 7
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2018-10-16 21:04    [Diesen Beitrag zitieren]

Außerdem teilt die Ordnung jeder Untergruppe ja die Ordnung der Gruppe selbst. Das hilft sicher auch weiter


ichbinteich
Junior
Dabei seit: 16.10.2018
Mitteilungen: 7
Herkunft:
 Beitrag No.6, eingetragen 2018-10-16 20:32    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich weiß dass die Untergruppen Z/n quasi die Teiler von n sind. (also Z/k mit k|n)
Aber wie hilft mir das hier?


Eraserhead
Aktiv
Dabei seit: 15.12.2012
Mitteilungen: 1065
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2018-10-16 19:46    [Diesen Beitrag zitieren]

Denke über die zyklischen Gruppen nach. Die habt ihr vermutlich vollständig klassifiziert.


ichbinteich
Junior
Dabei seit: 16.10.2018
Mitteilungen: 7
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2018-10-16 19:21    [Diesen Beitrag zitieren]

Kannst du mir noch bei einem Ansatz für Teil 2 der Aufgabe helfen?


ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2877
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.3, eingetragen 2018-10-16 19:01    [Diesen Beitrag zitieren]

Genau.


ichbinteich
Junior
Dabei seit: 16.10.2018
Mitteilungen: 7
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2018-10-16 19:00    [Diesen Beitrag zitieren]

Ahh, guter Tipp.

Ist folgender Gedanke richtig?

Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten für die von g ∈ G\H erzeugte Untergruppe. Einserseits dass diese G entspricht und andererseits das diese eine Untergruppe von G ist. Letzteres ist aber durch die Bedingung dass U die größte Untergruppe ist, also dass alle anderen Untergruppen in ihr enthalten sind, ausgeschlossen.
Folglich muss gelten dass dieses g auch die ganze Gruppe G erzeugt, was der Def. einer zyklischen Gruppe entspricht.
Stimmt das so?






ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2877
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-16 18:25    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

betrachte die von einem $g\in G\setminus H$ erzeugte Untergruppe.


[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Gruppen' von ligning]


ichbinteich
Junior
Dabei seit: 16.10.2018
Mitteilungen: 7
Herkunft:
 Themenstart: 2018-10-16 18:15    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe
Es sei G eine Gruppe. Angenommen G besitzt eine echte Untergruppe H, die jede
andere echte Untergruppe von G enthält. Zeigen Sie, dass G dann zyklisch ist und
die Ordnung von G eine Primpotenz.

Hallo zusammen,

ich bräuchte bitte einmal dringend Hilfe bei der oben angegeben Aufgabe. Habe da heute und gestern schon die ein oder andere Minute dran gesessen und bekomme einfach nicht den nötigen Geistesblitz. mad  Und zwar habe ich mir bereits folgendes überlegt:

Die Tatsache, dass es eine größte echte Teilgruppe heißt ja, dass U\G≠∅ ist. Wieso sagt mir das aber nun, dass ∃g∈G sodass g die gesamte Gruppe erzeugt? (Definition einer zyklischen Gruppe)

Zum zweiten Teil habe ich bisher noch keinen richtigen Zugang gefunden.  confused

Vielen Dank im Voraus!!  smile


 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]