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Antworte auf:  Satz von Picard-Lindelöf von SabrinaMathe
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Erledigt J


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Themenübersicht
SabrinaMathe
Aktiv
Dabei seit: 28.10.2018
Mitteilungen: 146
Herkunft:
 Beitrag No.14, eingetragen 2018-11-11 18:58    [Diesen Beitrag zitieren]

Erledigt:)


SabrinaMathe
Aktiv
Dabei seit: 28.10.2018
Mitteilungen: 146
Herkunft:
 Beitrag No.13, eingetragen 2018-11-11 18:57    [Diesen Beitrag zitieren]

Es ist klar geworden. Vielen Dank für euere Mühen:)


xiao_shi_tou_
Senior
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 860
Herkunft: Grothendieck Universum
 Beitrag No.12, eingetragen 2018-11-09 17:48    [Diesen Beitrag zitieren]
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\newcommand{\scal}[2]{\sc{#1}{\!#2}} \newcommand{\ov}[2]{\begin{matrix}#1 \\ #2\end{matrix}} \)
Das geht doch schon aus dem Themenstart hervor.
Das sind stetige Funktionen auf einem abgeschlossenen Intervall mit Werten in \(\mathbb{R}\).
\(\endgroup\)

SabrinaMathe
Aktiv
Dabei seit: 28.10.2018
Mitteilungen: 146
Herkunft:
 Beitrag No.11, eingetragen 2018-11-08 10:01    [Diesen Beitrag zitieren]

Aber in welchem Raum liegen die?
In R können sie ja nicht sein?


xiao_shi_tou_
Senior
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 860
Herkunft: Grothendieck Universum
 Beitrag No.10, eingetragen 2018-11-07 20:28    [Diesen Beitrag zitieren]

Das sind doch stetige Funktionen.
Deshalb stehen sie in der Norm.


SabrinaMathe
Aktiv
Dabei seit: 28.10.2018
Mitteilungen: 146
Herkunft:
 Beitrag No.9, eingetragen 2018-11-07 12:03    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,
ja ich habe den Artikel gelesen. Warum stehen ||y-z|| in der Norm . Wo liegen y und z?


xiao_shi_tou_
Senior
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 860
Herkunft: Grothendieck Universum
 Beitrag No.8, eingetragen 2018-11-07 09:50    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\Et}{\acute{E}t} \DeclareMathOperator{\et}{\acute{e}t} \DeclareMathOperator{\etale}{\acute{e}tale} \DeclareMathOperator{\Gl}{GL} \DeclareMathOperator{\PGL}{PGL} \DeclareMathOperator{\PSL}{PSL} \DeclareMathOperator{\SL}{SL} \DeclareMathOperator{\equi}{equi} \DeclareMathOperator{\Hecke}{Hecke} \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\Jac}{Jac} \DeclareMathOperator{\GL}{GL} \DeclareMathOperator{\HF}{HF} \DeclareMathOperator{\HS}{HS} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\trdeg}{trdeg} \DeclareMathOperator{\mod}{mod} \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\log}{log} \DeclareMathOperator{\Log}{Log} \DeclareMathOperator{\Nm}{Nm} \DeclareMathOperator{\Con}{Con} \DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator{\Ob}{Ob} \DeclareMathOperator{\Emb}{Emb} \DeclareMathOperator{\Tr}{Tr} \DeclareMathOperator{\Sym}{Sym} \DeclareMathOperator{\scale}{scale} \DeclareMathOperator{\Sper}{Sper} 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\newcommand{\scal}[2]{\sc{#1}{\!#2}} \newcommand{\ov}[2]{\begin{matrix}#1 \\ #2\end{matrix}} \)
Die Bilder wurden bei der Abschaetzung nach oben durch das Supremum ersetzt.
Nach dem Motto: \(|x|\leq sup\{|x|\}\). Deshalb hast du rechts die Norm und links den Absolutbetrag.
Hast du den Wikipedia-Artikel angeschaut? Da steht alles.
\(\endgroup\)

SabrinaMathe
Aktiv
Dabei seit: 28.10.2018
Mitteilungen: 146
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2018-11-07 09:05    [Diesen Beitrag zitieren]

Ach ja. Es geht ja um eine Differentialgleichung und nicht um ein System.

Aber warum steht dann \(||y-z||_s \)in der Norm.
Wo liegen die Bilder?


xiao_shi_tou_
Senior
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 860
Herkunft: Grothendieck Universum
 Beitrag No.6, eingetragen 2018-11-07 08:47    [Diesen Beitrag zitieren]

2018-11-07 08:35 - SabrinaMathe in Beitrag No. 5 schreibt:
Das verstehe ich auch egtl ganz ok :)
Man kann die gewichtete Norm nehmen, da die Normen im euklischen Raum äuqivalent sind oder?

Mir ging es eher darum, warum | Ty(x)-Tz(x)schreibt.

|Ty(x)-T(z)(x)| müssen dann doch in R liegen, was doch nicht der Fall ist?

Verstehst du worauf ich hinaus will?

Hi
Warum sollte das nicht der Fall sein?


SabrinaMathe
Aktiv
Dabei seit: 28.10.2018
Mitteilungen: 146
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-07 08:35    [Diesen Beitrag zitieren]

Das verstehe ich auch egtl ganz ok :)
Man kann die gewichtete Norm nehmen, da die Normen im euklischen Raum äuqivalent sind oder?

Mir ging es eher darum, warum | Ty(x)-Tz(x)schreibt.

|Ty(x)-T(z)(x)| müssen dann doch in R liegen, was doch nicht der Fall ist?

Verstehst du worauf ich hinaus will?


Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8517
Herkunft: Dortmund, Old Europe
 Beitrag No.4, eingetragen 2018-11-07 08:20    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Wenn man den Satz beweisen will, hat man (mindestens) zwei Möglichkeiten.

Man möchte ja haben, dass der Integraloperator eine Kontraktion definiert, um den Banachschen Fixpunktsatz anwenden zu können.

Die "Standardmöglichkeit" ist es, das Intervall so klein zu machen, dass das Produkt aus Intervalllänge und Lipschitzkonstante <math>L</math> kleiner als 1 ist, und dann solche lokalen Existenzintervalle zusammenzustückeln.

Wenn man eine globale Lipschitzkonstante hat, kann man den Trick mit der Norm nehmen, die durch Gewichtung der sup-Norm mit einer Exponentialfunktion entsteht, und erhält Existenz und Eindeutigkeit in einem Schritt für ein beliebig langes Intervall.

Wally
\(\endgroup\)

SabrinaMathe
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 Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-06 23:34    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,
ja Wally hat recht.
Ich habe bei Wiki gesehen, dass sie nur ||.|| verwenden.
Die Norm ist so komisch mit dem e- Teil, da uns noch ein Werkzeug fehlt, um das mit der Supremumsnorm zu machen( laut Vorlesung).

Es ging mir letztlich egtl nur um die Frage, warum der Betrag bei Ty(x)-Tz(x) geschrieben wird und nicht die allgemeine  Norm.
Bei Wiki ist es ja auch so?

|Ty(x)-T(z)(x)| müssen dann doch in\(\mathbb R\) liegen, was doch nicht der Fall ist?


Wally
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 Beitrag No.2, eingetragen 2018-11-06 23:25    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, Sabrina,

ohne den Originaltext zu sehen kann ich nur raten:

Es ist gemeint \(|Ty(x)-Tz(x)|\), weil auf der rechten Seite auch noch ein \(x\) vorkommt, und erste später wird bei Bedarf das Supremum genommen.

Wally

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)

xiao_shi_tou_
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 Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-06 23:24    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\Et}{\acute{E}t} \DeclareMathOperator{\et}{\acute{e}t} \DeclareMathOperator{\etale}{\acute{e}tale} \DeclareMathOperator{\Gl}{GL} \DeclareMathOperator{\PGL}{PGL} \DeclareMathOperator{\PSL}{PSL} \DeclareMathOperator{\SL}{SL} \DeclareMathOperator{\equi}{equi} \DeclareMathOperator{\Hecke}{Hecke} \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\Jac}{Jac} \DeclareMathOperator{\GL}{GL} \DeclareMathOperator{\HF}{HF} \DeclareMathOperator{\HS}{HS} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\trdeg}{trdeg} \DeclareMathOperator{\mod}{mod} \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\log}{log} \DeclareMathOperator{\Log}{Log} \DeclareMathOperator{\Nm}{Nm} \DeclareMathOperator{\Con}{Con} \DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator{\Ob}{Ob} \DeclareMathOperator{\Emb}{Emb} \DeclareMathOperator{\Tr}{Tr} \DeclareMathOperator{\Sym}{Sym} \DeclareMathOperator{\scale}{scale} \DeclareMathOperator{\Sper}{Sper} 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2018-11-06 21:13 - SabrinaMathe im Themenstart schreibt:

Jetzt werden Abschätzungen gemacht:
|Ty-Tz|<....warum wird hier der Betrag verwendet?
Muss es nicht die allgemeine Norm sein?
Man erhält dann  \(|Ty-Tz|...... \leq L ||y-z||_s \frac{1}{s} e^{sx}
\)
L ist die Lipschitzkonstante.

Hi.
Das stimmt so nicht.
Du hast beim Beweis der Lipschitz-Stetigkeit auf der Linken Seite nicht
\(|Ty-Tz|\), aber \(|Ty(x)-Tz(x)|\) stehen und die Abschaetzung gilt fuer alle \(x\).

Das heisst, du hast:
\(\forall x\colon |Ty(x)-Tz(x)|e^{-sx} \leq L \left\lVert y-z\right\rVert_s  
\).

(\(\frac{1}{s}\) ist konstant und wird in \(L\) reingezogen nehme ich an. )

Das heisst \(L \left\lVert y-z \right\rVert_s\) ist eine obere Schranke von \(\{|Ty(x)-Tz(x)|e^{-sx}\colon x\in [x_0,x_0+a]\}\).

Da das Supremum die kleinste Obere Schranke ist folgt:
\(\left\lVert Ty-Tz\right\rVert \leq L \left\lVert y-z\right\rVert_s  
\)

Was ist das fuer eine Norm?
Warum hat man den Faktor \(e^{-sx}\)? Ich kenne den Beweis normalerweise mit der Supremumsnorm. Dient der Faktor der Abschaetzung?
Kannst du mal die Abschaetzung hier reinschreiben?

Hast du ausserdem den Wikipedia Artikel hier schon gelesen/gesehen?
\(\endgroup\)

SabrinaMathe
Aktiv
Dabei seit: 28.10.2018
Mitteilungen: 146
Herkunft:
 Themenstart: 2018-11-06 21:13    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,
es geht um Satz von Picard - Lindelöff in der globalen Version.
Jedoch will ich nicht so auf den Beweis eingehen, sondern  auf den Formalismus.

Man hat ja ein AWP der Form: \(y'(x) = f(x,y)\) mit \(y(x_0)=y_0\)
mit \(x \in[x_0,x_0+a]\)

Dieses kann man äquivalent in eine Integralgleichung umschreiben: \((y(x)=y(x_0) + \int_{x_0}^x f(t,y(t)) dt\)
Darauf wendet man dann den Banachschen Fixpunktsatz, die Integralgleichung ist von der Form y=Ty.

Man rüstet dann den Raum der stetigen Funktionen auf \([x_0,x_0+a]\), mit der Norm \(||y||_s:=max_{x \in[x_0,x_0+a] }|y(x)|e^{-sx}\) aus und erhält einen Banachraum.
Jetzt werden Abschätzungen gemacht:
|Ty-Tz|<....warum wird hier der Betrag verwendet?
Muss es nicht die allgemeine Norm sein?
Man erhält dann  \(|Ty-Tz|...... \leq L ||y-z||_s \frac{1}{s} e^{sx}
\)
L ist die Lipschitzkonstante.
Dann multipliziert man mit dem e- Term und erhält dann auf der linken Seite \(|Ty-Tz| e^{-sx}\) und kann zur Norm übergehen:
\(||Ty-Tz||_s\)
So wurde das erklärt.
Den letzten Schritt verstehe ich ja, denn die Norm ist ja so definiert. Warum fängt man auf der linken Seite mit dem Betrag bei |Ty-Tz| an. Das Bild von T liegt doch nicht in R?


 
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