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Antworte auf:  Rechengesetze natürlicher Zahlen über Induktion von X3nion
Forum:  Induktion, moderiert von: mire2 StrgAltEntf

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Themenübersicht
X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 536
Herkunft:
 Beitrag No.21, eingetragen 2018-11-10 18:05    [Diesen Beitrag zitieren]

Die Distributivität habe ich selber hinbekommen.
Vielen Dank für eure Hilfe!

Viele Grüße,
X3nion


tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1569
Herkunft:
 Beitrag No.20, eingetragen 2018-11-10 14:17    [Diesen Beitrag zitieren]

Passt.


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 536
Herkunft:
 Beitrag No.19, eingetragen 2018-11-10 14:14    [Diesen Beitrag zitieren]

Ahh es ist $(n \cdot m + m) + N(n) = (n \cdot m + n) + (m + 1) = n \cdot N(m) + N(m)$,
unter Benutzung des Assoziativgesetzes und Kommutativgesetzes der Addition
Passt das? smile


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 536
Herkunft:
 Beitrag No.18, eingetragen 2018-11-10 13:56    [Diesen Beitrag zitieren]

Dann habe ich $N(n) \cdot N(m) = N(n) \cdot m + N(n) = (n \cdot m + m) + N(n)$

Ich will ja auf $N(n) \cdot N(m) = n \cdot N(m) + N(m)$ kommen.

Wie schreite ich nun weiter fort?


Viele Grüße,
X3nion


tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1569
Herkunft:
 Beitrag No.17, eingetragen 2018-11-10 12:12    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Verwende die Definition von $\cdot$.
\(\endgroup\)

X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 536
Herkunft:
 Beitrag No.16, eingetragen 2018-11-10 11:53    [Diesen Beitrag zitieren]

Hmm okay dann ist zu zeigen, dass $N(n) \cdot N(m) = n \cdot N(m) + N(m)$

Wie forme ich dann $N(n) \cdot N(m) = N(n) \cdot (m+1)$ so um, dass ich die Induktionsvoraussetzung benutzen kann?


Viele Grüße,
X3nion


tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1569
Herkunft:
 Beitrag No.15, eingetragen 2018-11-10 11:44    [Diesen Beitrag zitieren]

Du machst die Induktionsbeweise übrigens nicht richtig. Im Schritt musst du nicht zeigen P(n) => P(n+1), sondern P(n) => P(N(n)).


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 536
Herkunft:
 Beitrag No.14, eingetragen 2018-11-10 11:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Okay dann versuche ich das mal.

Es ist zu zeigen, dass für alle m,n $\in \IN$ gilt:

$N(n) \cdot m = n \cdot m + m$

Zeige dies über vollständige Induktion nach m.

Induktionsanfang m = 1:

Es ist $N(n) \cdot 1 = (n+1) \cdot 1 = (n+1)$ und $n \cdot 1 + 1 = n + 1$.


Induktionsschritt m => m + 1

Zu zeigen:

$N(n) \cdot (m+1) = n \cdot (m+1) + (m+1)$

Hier komme ich nun nicht mehr weiter. Wie kann ich $N(n) \cdot (m+1)$ unter Verwendung der Definition, Assoziativität sowie Kommutativität der Addition (wie von tactac beschrieben) so umformen, dass ich die Induktionsvoraussetzung $N(n) \cdot m = n \cdot m + m$ benutzen kann?


Viele Grüße,
X3nion


tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1569
Herkunft:
 Beitrag No.13, eingetragen 2018-11-10 00:40    [Diesen Beitrag zitieren]

Ja, indirekt. Der Beweis, den ich habe, benutzt die Definitionen, Induktion, und die Assoziativität sowie Kommutativität der Addition.


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 536
Herkunft:
 Beitrag No.12, eingetragen 2018-11-10 00:31    [Diesen Beitrag zitieren]

Okay und 8) lässt sich allein anhand der Definitionen beweisen?


tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1569
Herkunft:
 Beitrag No.11, eingetragen 2018-11-09 23:23    [Diesen Beitrag zitieren]

Beweise vor dem, was ich als 9. bezeichnet habe, erstmal 8. Das ist dann in deinem angefangenen Beweis direkt benutzbar.


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 536
Herkunft:
 Beitrag No.10, eingetragen 2018-11-09 23:06    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke dir für deine Antwort tactac!

Hm aber Physics meinte, ich würde es direkt bekommen, wenn ich anders vorgehen würde.
Wie würde das aussehen? Er meinte ja, das Timing von Induktionsvoraussetzung und Definition von Multiplikation wäre falsch.


Viele Grüße,
X3nion


tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1569
Herkunft:
 Beitrag No.9, eingetragen 2018-11-09 22:27    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Folgende Reihenfolge funktioniert auf jeden Fall (wobei man für späteres u.U. früheres benutzen muss).

1) $+$ ist assozitativ
2) $1 + n = N(n)$ für alle $n$
3) $N(n) + m = N (n+m)$ für alle $n,m$
4) $+$ ist kommutativ
5) Distributivität: $k\cdot(n+m) = k\cdot n + k\cdot m$ für alle $n,m,k$
6) $\cdot$ ist assoziativ
7) $1\cdot n = n$ für alle $n$
8) $N(n)\cdot m = n\cdot m + m$ für alle $n,m$
9) $\cdot$ ist kommutativ.

(5. und 6. kann man auch ans Ende schieben, werden also für 7.,8.,9. nicht benötigt)
\(\endgroup\)

X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 536
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2018-11-09 21:35    [Diesen Beitrag zitieren]

Hmm also N(n) = (n+1), was kann es sonst sein?


Physics
Aktiv
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 331
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2018-11-09 21:07    [Diesen Beitrag zitieren]

Der ist noch richtig. Was ist denn N(n)?


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 536
Herkunft:
 Beitrag No.6, eingetragen 2018-11-09 21:05    [Diesen Beitrag zitieren]

Mhm also meinst du, dass $m \cdot (n+1) = m \cdot N(n)$ bereits der falsche Schritt ist?


Viele Grüße,
X3nion


Physics
Aktiv
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 331
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-09 20:57    [Diesen Beitrag zitieren]

Eig. ist nur dein Timing zur Anwendung der Induktionsvoraussetzung sowie der Multiplikationsregel falsch, Versuche das etwas früher anzuwenden, dann hast es direkt dranstehen.

VG,
Physics


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 536
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2018-11-09 20:50    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Physics und Danke für deinen Beitrag!

Genau wir hatten ausschließlich die Definitionen, welche in meinem Anfangsbeitrag stehen.
Damit haben wir die natürlichen Zahlen eingeführt und das war auch die 1. Aufgabe dazu.
Wie ist das dann zu lösen?


Viele Grüße,
X3nion



Physics
Aktiv
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 331
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-09 20:34    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi X3nion,

also meines Erachtens nach habt ihr das soweit richtig gemacht, auch wenn ich nicht sehe wieso ihr die Vorabinduktion gemacht habt. Im letzten Schritt müsst ihr jetzt eig. nur noch beweisen, dass die Multiplikationsregel auch gilt, wenn  \(k\cdot n+n\) dransteht. Überleg mal wie das gehen könnte.

VG,
Physics

EDIT: Sehe gerade, dass ihr Division noch gar nicht definiert habt. Vermute auch noch nicht die Multiplikation mit einem inversen Element?


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 536
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2018-11-09 20:15    [Diesen Beitrag zitieren]

2018-11-09 17:53 - X3nion im Themenstart schreibt:

Zu zeigen: $m \cdot (n+1) = (n+1) \cdot m$

Es ist $m \cdot (n+1) = m \cdot N(n) = m \cdot n + m = n \cdot m + m$ (letzte Gleichheit wegen Induktionsvoraussetzung)


Hallo und Danke für deine Antwort!

Finde das nur recht kompliziert notiert und ich würde nicht die komplette Lösung abschreiben.
Kann mit jemand vielleicht direkt in diesem Thread helfen und mir sagen, ob meine Variante im Schritt bisher zielführend ist und wie man weitermachen würde?


Viele Grüße,
X3nion


xiao_shi_tou_
Senior
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 851
Herkunft: Grothendieck Universum
 Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-09 19:11    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi.

Schau mal hier.


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 536
Herkunft:
 Themenstart: 2018-11-09 17:53    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen!

Bei uns wurden die Addition und Multiplikation zweier natürlicher Zahlen n,m wie folgt definiert:

Addition: $n + 1 = N(n)$ und $n + N(k) = N(n + k)$

Multiplikation: $n \cdot 1 = n$ und $n \cdot N(k) = n \cdot k + n$

wobei mit $N$ die Nachfolgerabbildung gemeint ist.


Zu zeigen sind Assoziativität der Addition, Kommutativität der Multiplikation sowie Distributivität.

Den Beweis zur Assoziativität sollten wir haben, diesen kann ich am Ende zur Verifizierung notieren.

Wir wollten die Kommutativität beweisen:

Dazu muss gezeigt werden, dass $m \cdot n = n \cdot m \forall n \in N$.

Zeige hierzu eine Vorabinduktion: $\forall m \in \IN: m \cdot 1 = 1 \cdot m$.

m = 1 ist offensichtlich wahr.

m -> m + 1

Zu zeigen $(m+1) \cdot 1 = 1 \cdot (m + 1)$

Es ist $(m+1) \cdot 1 = (m+1) = (1+m) = 1 + m \cdot 1 = 1 \cdot N(m) = 1 \cdot (m+1).$


Zeige nun über Induktion über n: $m \cdot n = n \cdot m$

n = 1: Dieser Fall wurde oben betrachtet!

n => n + 1

Zu zeigen: $m \cdot (n+1) = (n+1) \cdot m$

Es ist $m \cdot (n+1) = m \cdot N(n) = m \cdot n + m = n \cdot m + m$ (letzte Gleichheit wegen Induktionsvoraussetzung)

Nun kommen wir aber nicht weiter. Man muss ja irgendwie auf $N(n) \times m$ kommen.


Habt ihr eine Idee?
Wie immer wäre ich

Viele Grüße,
X3nion


 
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