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Themenübersicht
Kezer
Aktiv
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 397
Herkunft:
 Beitrag No.47, eingetragen 2019-08-29 21:21    [Diesen Beitrag zitieren]

Fast immer ist klar, dass die Konstruktion in der Aufgabenstellung funktionieren - ich kann mich nicht mehr daran erinnern, ob ich diese Konstruierbarkeiten jemals nachgewiesen habe.

Aufpassen muss man aber, dass bei der Konstruktion in der Aufgabenstellung mehrere Fälle aufkommen können. Hier habe ich damals schon detailliert versucht zu zeigen, welche Fälle es gibt. Bei Mathe-Olympiaden gab es für sowas auch immer Abzug (und in die Falle bin ich ziemlich oft getreten  razz ).


Math314
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2019
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.46, eingetragen 2019-08-28 17:36    [Diesen Beitrag zitieren]

Aber bekommt man Punktabzug wenn man die Konstruierbarkeit der Konstruktionen in der AUfgabenstellung nicht beweist?


Red_
Aktiv
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 570
Herkunft: Erde
 Beitrag No.45, eingetragen 2019-08-17 17:56    [Diesen Beitrag zitieren]

Nehme an ein Dreieck was du benutzt existiert nicht, ist dein Beweis dann noch vollständig/lückenlos?

Ich habe sogar immer bewiesen, dass die Konstruktionen in der Aufgabenstellung wirklich funktionieren.


Math314
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2019
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.44, eingetragen 2019-08-17 14:05    [Diesen Beitrag zitieren]

Muss man eigentlich auch die Existenz von Dreiecken beweisen, die man im Beweis verwendet?


Kezer
Aktiv
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 397
Herkunft:
 Beitrag No.43, eingetragen 2019-08-13 17:50    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich kann Reds Antwort nur zustimmen, ich kenne seine Lösungen zu den Geometrieaufgaben damals biggrin

On a serious note: bei mir war das genauso - solange die Lösung richtig ist, bekommt ihr auch die Punkte. Ich denke aber irgendwo auf diesem Forum hat cyrix auch schon etwas dazu geschrieben.


Red_
Aktiv
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 570
Herkunft: Erde
 Beitrag No.42, eingetragen 2019-08-13 09:32    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich kann mit Sicherheit nach meinen bisherigen Abgaben sagen, dass Eleganz nicht dazu beitragt, ob ein Beweis vollständig ist oder nicht. D.h. ihr könnt auch 100 Fallunterscheidungen machen und das Problem am Ende lückenlos gelöst haben und würdet die volle Punktzahl bekommen.
Der Wettbewerb simuliert das mathematische Forschen, wo man genügend Zeit hat und bei mehreren Quellen nach Inspiration suchen kann. Sobald ein Problem gelöst ist, egal wie ''hässlich'' die Lösung ist, ist es ein voller Erfolg. Natürlich kann man nach kürzeren/eleganteren Lösungen suchen, die eventuelle neue Methoden oder andere Methoden benutzen. Primär geht es erst mal nur darum ein Problem richtig zu lösen.
Der Drang zur Eleganz führt aber dann oft zu neuen schöneren Lösungen, wie ich es schon oft bei dem Wettbewerb bemerkt habe. Das beste Beispiel war als ich eine Lösung hatte, die locker 8 Seiten lang wäre (zig Fallunterscheidungen), jedoch habe ich nach einer neuen Lösung gesucht und sie auch gefunden, was den Beweis auf 3/4 Seite gekürzt hat.
Das heiß aber nicht unbedingt, dass man immer eine Lösung ohne Fallunterscheidung finden kann.

Red_


Math314
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2019
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.41, eingetragen 2019-08-13 07:22    [Diesen Beitrag zitieren]

Gute Frage *hüstel* habe das gleiche Problem...


SinoX8
Neu
Dabei seit: 13.08.2019
Mitteilungen: 1
Herkunft:
 Beitrag No.40, eingetragen 2019-08-13 01:36    [Diesen Beitrag zitieren]

@cyrix Kann ich auf die volle Punktzahl hoffen, wenn man keine "elegante Lösung" zur Aufgabe findet (viele Fallunterscheidungen aber mathematisch korrekt *hust* Aufgabe 4 *hust*)
Denn ich mache mir Sorgen,
dass dann die ganze Mühe umsonst war frown
Mit freundlichen Grüßen
SinoX8


Ex_Senior
 Beitrag No.39, eingetragen 2019-08-10 21:38    [Diesen Beitrag zitieren]

Nun, bei meiner zweiten Teilnahme in Runde 2 war man bei mir dann auch strenger. ;) (Drum hat es auch nur für zwei Sterne gereicht und nicht für drei, was aufgrund der Klassenstufe möglich gewesen wäre... *grumml* ;) )

Cyrix


Kezer
Aktiv
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 397
Herkunft:
 Beitrag No.38, eingetragen 2019-08-10 21:25    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-10 15:04 - cyrix in Beitrag No. 34 schreibt:
Als Teilnehmer bin ich jedenfalls mal noch durchgekommen, obwohl ich bei der analytischen Lösung einer Geometrie-Aufgabe nicht darauf geachtet hatte, dass eine Gerade auch parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen könnte (was aber auf einen trivialen Spezialfall geführt hätte, den ich damit nicht betrachtet hatte)...

Cyrix

Interessant, genau das ging bei mir damals nicht durch  biggrin Es wäre auch ein trivialer Spezialfall gewesen - ich hatte 14 Seiten für die Aufgabe geschrieben (tut mir leid, Korrektoren  frown ), trotzdem sowas vergessen  biggrin


Math314
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2019
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.37, eingetragen 2019-08-10 15:16    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Cyrix,
vielen Dank, das beantwortet meine Frage! Ich habe nämlich erst drei Aufgaben (und bei einer von diesen bin ich mir etwas unsicher)und einen Ansatz bei einer Aufgabe. confused  smile
mfG, Philipp


Ex_Senior
 Beitrag No.36, eingetragen 2019-08-10 15:12    [Diesen Beitrag zitieren]

Natürlich werden auch unvollständige Lösungsversuche, die zielführende Gedanken enthalten, entsprechend positiv bewertet.

Es lohnt sich sowieso immer mit mindestens drei gelösten Aufgaben seine Ausarbeitungen einzusenden, da ein Preis in der zweiten Runde des Bundeswettbewerbs für die Vorauswahl-Klausuren im Dezember für den Auswahlwettbewerb der deutschen IMO-Mannschaft qualifiziert.

Cyrix


Math314
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2019
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.35, eingetragen 2019-08-10 15:08    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Cyrix,
danke für deine Antwort smile
Was ich mit dem Spezialfall meinte, ist, ob man, wenn man eine Aufgabe einigermaßen unvollständig (oder wenn man sogar nur einen Ansatz)hat, ob man dann noch Punkte bekommen kann.
Gruß Philipp


Ex_Senior
 Beitrag No.34, eingetragen 2019-08-10 15:04    [Diesen Beitrag zitieren]

Die Punktzahlen in der zweiten Runde werden ja nur intern vergeben, d.h., die sieht man als Teilnehmer gar nicht (und erhält auch nur eine Rückmeldung wie in der ersten Runde mit dem entsprechenden Fehlerzettel).

Üblicherweise sind die Preisgrenzen in der zweiten Runde wie folgt:

1. Preis: 40 Punkte (wobei man recht tolerant ist, bevor man den ersten Punkt abzieht)
2. Preis: 36 Punkte
3. Preis: 29-30 Punkte

So pauschal kann man die Frage, was das Ignorieren eines Spezialfalls angeht, nicht beantworten. Das dürfte auch immer individuell betrachtet werden. Als Teilnehmer bin ich jedenfalls mal noch durchgekommen, obwohl ich bei der analytischen Lösung einer Geometrie-Aufgabe nicht darauf geachtet hatte, dass eine Gerade auch parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen könnte (was aber auf einen trivialen Spezialfall geführt hätte, den ich damit nicht betrachtet hatte)...

Cyrix


Math314
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2019
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.33, eingetragen 2019-08-10 14:59    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke für die schnelle Beantwortung der Frage! smile
Wie liegen denn die Preisgrenzen bei den Punkten und wieviele Punkte bekommt man beispielsweise abgezogen, wenn man in einer Geometrie-Aufgabe einen speziellen Fall vergessen hat?
mfG, Philipp


Ex_Senior
 Beitrag No.32, eingetragen 2019-08-10 14:53    [Diesen Beitrag zitieren]

Die gab es m.E. mal (für mindestens 20 von 40 maximal möglichen Punkten), werden aber m.W. nicht mehr vergeben.

Cyrix


Math314
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2019
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.31, eingetragen 2019-08-10 14:47    [Diesen Beitrag zitieren]

Gibt es eigentlich in der zweiten Runde auch Anerkennungspreise?


Kornkreis
Senior
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 803
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.30, eingetragen 2019-06-22 18:50    [Diesen Beitrag zitieren]

Die Aufgaben der 2. Runde sehen ja ganz schnieke aus cool

Hier findet man sie: www.mathe-wettbewerbe.de/bwm/aufgaben/aufgaben-2019/aufgaben-19-2.pdf

(und es sei noch mal erwähnt, dass darüber nicht diskutiert werden darf)


Ex_Senior
 Beitrag No.29, eingetragen 2019-06-22 18:39    [Diesen Beitrag zitieren]

Moin,

mal von den konkreten Aufgaben abstrahierend: Bei den Aufgaben in (Schul-)Mathematik-Wettbewerben wird selten etwas an Inhalt vorausgesetzt, was im Schulunterricht späterer Schuljahre regulär vermittelt wird. Beispielsweise kommt man üblicherweise ohne die Kenntnisse der Analysis aus, die Stoff der Oberstufe sind. (Was nicht heißt, dass man nicht auch Lösungen mit Inhalten aus diesem Themengebiet finden kann.)

Nun richtet sich der Bundeswettbewerb an die Klassenstufen >= 9. Insofern will ich nicht ausschließen, dass Unterrichtsinhalte, die man in Klasse 7 noch nicht im Unterricht hatte (da fallen mir als Beispiel Kongruenzsätze in der Dreiecksgeometrie ein), benötigt, um eine Aufgabe bearbeiten zu können.

Allgemein kann man aber sagen, dass es weniger auf den Schulstoff ankommt, als viel mehr, ob man schon einmal ähnliche Aufgaben bearbeitet hat. (Es ist ja auch nicht so, dass man den Schulsport für einen sportlichen Wettbewerb benötigt, sondern viel mehr das außerschulische Training entscheidet.)

Beim Bundeswettbewerb hat man nicht umsonst knapp drei Monate Zeit, um einen Satz von 4 Aufgaben zu bearbeiten. Das heißt nämlich, dass man durchaus Zeit hat, viele verschiedene Ideen auszuprobieren. Und genau DAS ist das Betreiben von Mathematik. :)

Also: Hab' Spaß und spiele mit den Aufgaben. Es ist ein sehr schönes Gefühl, wenn man dann nach einigem Knobeln eine Aufgabe gelöst bekommt. :) Das funktioniert natürlich nicht, wenn man schon mit dem ersten Versuch nach 2 Minuten die Lösung findet... ;) Insofern ist es doch schön, wenn man nicht sofort die Lösung vor sich sieht, sondern erst dafür arbeiten muss...


Cyrix


Math314
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2019
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.28, eingetragen 2019-06-22 18:20    [Diesen Beitrag zitieren]

Wie viel Schulwissen braucht man denn meistens für Aufgaben einer 2. Runde des Bundeswettbewerbs?
Lassen sich Aufgaben einer 2.RUnde mit dem Schulwissen eines Siebtklässlers lösen?


Ex_Senior
 Beitrag No.27, eingetragen 2019-06-16 13:17    [Diesen Beitrag zitieren]

Herzlichen Glückwunsch alle Preiträger und Viel Spaß mit den Aufgaben in Runde 2! smile

Cyrix


Red_
Aktiv
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 570
Herkunft: Erde
 Beitrag No.26, eingetragen 2019-06-16 10:49    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich glaube schon eine Aussage über den Schwierigkeitsgrad gibt Aufschluss auf einen Beweis.
Wer die Aufgaben selbst lösen will, sollte sich nicht dafür interessieren, was andere über den Schwierigkeitsgrad denken  biggrin

Red_


Math314
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2019
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.25, eingetragen 2019-06-16 10:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Ist es eigentlich verboten, über den Schwierigkeitsgrad der neuen Aufgaben zu diskutieren?
Ansonsten würde ich euch jetzt fragen, wie schwer ihr die neuen Aufgaben findet smile


enst
Neu
Dabei seit: 12.03.2019
Mitteilungen: 4
Herkunft:
 Beitrag No.24, eingetragen 2019-06-14 15:56    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich hab auch gerade Rückmeldung bekommen.
2. Preis, auch wenn nur eine Aufgabe ohne Fehler war, ansonsten kleinere Mängel :D.


Ex_Senior
 Beitrag No.23, eingetragen 2019-06-14 15:34    [Diesen Beitrag zitieren]

Glückwunsch an Euch beide. Was ich bisher von Euch gelesen habe, war schon sehr schön. Falls Ihr mit den neuen Aufgaben nicht ausgelastet seid, hat Steffen bestimmt noch ein paar im Olympia-Aufgaben-Thread für Euch reserviert.  wink


Math314
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2019
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.22, eingetragen 2019-06-14 14:57    [Diesen Beitrag zitieren]

Habe es auch gerade aus dem Briefkasten geholt:
1. Preis! smile


Ralip
Aktiv
Dabei seit: 13.03.2019
Mitteilungen: 81
Herkunft:
 Beitrag No.21, eingetragen 2019-06-14 10:32    [Diesen Beitrag zitieren]

Grade gekommen, 2. Preis.

Bin damit unter den 280 Besten von 1500 Teilnehmern.

:)


Math314
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2019
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.20, eingetragen 2019-06-13 17:32    [Diesen Beitrag zitieren]

Immer noch nichts confused


Ex_Senior
 Beitrag No.19, eingetragen 2019-06-09 16:41    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich habe von nichts gehört. Das Drittkorrektur-Wochenende war schon Anfang Mai. Danach folgten aber u.a. die MO-Bundesrunde, das IMO-Auswahlseminar in Oberwolfach und einige JuMa-Seminare. Inwiefern dies zu Verzögerungen geführt hat, weiß ich nicht. Die Feiertage werden sicherlich auch eine Rolle gespielt haben.

Ich würde also davon ausgehen, dass ihr demnächst Post erhalte.

Cyrix


ParadoxSean
Neu
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 1
Herkunft:
 Beitrag No.18, eingetragen 2019-06-09 16:22    [Diesen Beitrag zitieren]

Bei mir ist auch noch nichts angekommen, was sehr ungewöhnlich im Vergleich zu den letzten Jahren erscheint.
@cyrix weißt du ob es irgendwelche Komplikationen gab?


Math314
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2019
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.17, eingetragen 2019-06-07 19:56    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich auch noch nicht  confused
Ist bei euch mittlerweile schon etwas angekommen?


enst
Neu
Dabei seit: 12.03.2019
Mitteilungen: 4
Herkunft:
 Beitrag No.16, eingetragen 2019-06-04 20:47    [Diesen Beitrag zitieren]

Ne noch nicht


Math314
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2019
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.15, eingetragen 2019-06-03 21:17    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen,

hat schon jemand sein Ergebnis erhalten?

Gruß


Math314
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2019
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.14, eingetragen 2019-05-11 21:33    [Diesen Beitrag zitieren]

So, jetzt stehen auch mal die Statistiken im Internet smile
Vielleicht kann ja der eine oder andere da schon etwas über sein Ergebnis herauslesen wink


Ex_Senior
 Beitrag No.13, eingetragen 2019-04-19 16:22    [Diesen Beitrag zitieren]

Ende Mai/ Anfang Juni werden üblicherweise die Ergebnisse (und für die Preisträgerinnen und Preisträger die Aufgaben der zweiten Runde) versendet.

Insofern bitte ich noch um etwas Geduld. :)

Cyrix


Math314
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2019
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.12, eingetragen 2019-04-19 15:52    [Diesen Beitrag zitieren]

Wann wird man denn voraussichtlich die Ergebnisse bekommen (bzw. die Statistiken auf der Website einsehen können)?


Ex_Senior
 Beitrag No.11, eingetragen 2019-04-17 18:51    [Diesen Beitrag zitieren]

So, hier wieder mal ein bisschen was aus der Rubrik "nicht representative Statistik":

Ich habe meine Erst- und Zweitkorrekturen abgeschlossen (generell soll das bis zum 9. bzw. 29. April erfolgen, damit es dann Anfang/ Mitte Mai in die Drittkorrektur gehen kann) und kann so ein paar Aussagen über die insgesamt 48 mir vorliegenden Einsendungen machen.

Nimmt man mal an, dass man in Zweit- bzw. Drittkorrektur meinen Preisvorschlägen folgt, verteilen sich die 48 Einsendungen, die mich erreicht haben (davon 8 für Erst- und 40 für Zweitkorrektur) wie folgt:

1. Preise: 2
2. Preise: 4
3. Preise: 7
Anerkennungen: 17
Kein Preis: 18.

Die durchschnittliche Klassenstufe der Teilnehmerinnen und Teilnehmer der mir vorliegenden Arbeiten war übrigens 10,6 (alle aus 9-12) und die Arbeit im Schnitt 7 Seiten lang (min. 2, max. 22).

Am besten ausgefallen ist, wie zu erwarten, die Aufgabe 1. Etwa der Hälfte meiner betrachteten Arbeiten konnte ich bescheinigen, dass diese Aufgabe ohne größere Beanstandungen gelöst wurde. Ansonsten war ein häufiges Problem, dass jeweils eine konkrete Verteilung der Dominosteine auf dem Schachbrett betrachtet wurde, die dann (min.) ein 2x2-Quadrat beinhaltet, aber nicht ausgeschlossen wurde, dass bei einem anderen Vorgehen, nicht sich doch ein solches vermeiden ließe.

Aufgabe 2 dagegen fiel viel schlechter aus, als ich es im Vorfeld erwartet hätte. Nur gut ein Viertel der von mir betrachteten Arbeiten hatte diese im Wesentlichen richtig gelöst. Der wesentliche Fehler bei fast allen anderen war, dass übersehen wurde, dass eine Äquivalenz zu beweisen war, also nicht nur, dass aus "C=L und H=A" die Teilbarkeit der Differenz durch 271 folgt, sondern auch umgekehrt aus der Teilbarkeit die Zifferngleichheit (bzw., was äquivalent dazu ist, aus mindestens einer Ungleichheit die Nicht-Teilbarkeit).

So ist auch -- wider meines Erwartens -- die Geometrie-Aufgabe 3 diejenige, die am zweitbesten ausgefallen ist: Knapp die Hälfte hat sie soweit gut zu Papier gebracht. Häufige Probleme bei den übrigen Einsendungen war die Annahme einer symmetrischen Lage (dass die Figur durch Spiegelung an der Diagonalen AC also in sich selbst übergeht), oder gar direkt (in verklausulierter Form) der zu beweisenden Aussage, was natürlich einerseits nur einen Spezialfall betrachtet bzw. andererseits einen Zirkelschluss liefert, in beiden Fällen also keinen allgemeinen Beweis. Ansätze über die trigonometrische Berechnung gewisser Streckenlängen führten aber üblicherweise zum Erfolg, auch wenn sich in einzelnen Einsendungen die Rechenfehler so sehr häuften, dass die zu zeigende Aussage nur noch "zufällig" gezeigt werden konnte, weil sich die Fehler "gegenseitig wegheben".

Die schwierigste Aufgabe war natürlich die vierte. (So sollte es auch sein.) Hier wurde generell am wenigsten zu geschrieben: Gut die Hälfte der mir vorliegenden Einsendungen hat sie gar nicht erst bearbeitet. Aber auch sonst waren die Lösungen dazu sehr kurz, meist ein oder zwei Seiten lang. Da konnte man dann oft deutlich schneller entscheiden, ob dies eine vollständige, inhaltlich korrekte Lösung ist. Dies traf auf etwa ein Drittel der Einsendungen zu, die da überhaupt etwas dazu geschrieben hatten (insgesamt also ca. 1/6 aller Einsendungen). Einige gaben die ersten paar Nachkommastellen von $\sqrt{2}$ explizit an, hatten damit aber nur ein Beweis für eben diese Anzahl an Stellen gegeben und keinen allgemeinen für beliebig viele Nahkommastellen. Viele weitere Teilnehmerinnen und Teilnehmer arbeiten mit der richtigen Idee, $\sqrt{2}$ in den Teil vor dem "Nullen-Block" und den danach zu zerlegen, verlieren dann aber bei den Abschätzungen der beim Quadrieren dieser Summe entstehenden Terme die Übersicht bzw. können den Beweis nicht logisch korrekt zum Ziel führen.


Insgesamt sah die Erstkorrektur, die ich erhalten habe, recht gut aus. Bei 33 der 40 vorliegenden Arbeiten bin ich zum gleichen Preisvorschlag wie die/der jeweilige Erstkorrektor gekommen, sodass ich die zugehörigen Fehlerzettel, die man als Teilnehmerin bzw. Teilnehmer nach Ende des Korrekturverfahrens als Rückmeldung erhält, schon ausgefüllt habe. In den restlichen 7 Fällen muss die Drittkorrektur entscheiden.

Dies meine Eindrücke von der Korrektur der diesjährigen ersten Runde, denn um die Drittkorrektur kümmern sich andere. Ich lehne mich jetzt zurück und warte auf die Einsendungen zu Runde 2, die dann im September eintrudeln... smile

Cyrix


Ralip
Aktiv
Dabei seit: 13.03.2019
Mitteilungen: 81
Herkunft:
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-04-17 16:39    [Diesen Beitrag zitieren]

Hey,

Ich hatte wohl überall andere Lösungen als die musterlösungen, bis auf Aufgabe 2. Aber die war ja auch wirklich nicht schwer.

Bei der ersten Aufgabe habe ich mir erst einmal 9 lemmata hergeleitet und am Ende aus diesen lemmata in drei Zeilen geschlossen, dass es nicht möglich ist. (Die lemmata selber bedecken jedoch ca sieben Seiten ;))

2) wie gesagt, genau gleich

bei der dritten habe ich eine ziemlich umständliche geometrische Konstruktion gewählt und am Ende ebenfalls enorm umständlich trigonometrische umformungen machen müssen, bin aber dann mit dem strahlensatz zum Ende gekommen.

Bei der 4) habe ich unnötig schwere Geschütze aus der zahlentheorie angewendet, bin jedoch auch zu einem Beweis gelangt. Weicht auch hier stark von der Musterlösung ab / gibt eig keine Gemeinsamkeiten.

Gruß


Math314
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2019
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.9, eingetragen 2019-04-17 16:11    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen,
mittlerweile stehen auch die Musterlösungen im Internet und sind unter folgendem Link zu finden: www.mathe-wettbewerbe.de/download/loes-19-1-v.pdf
Bei der ersten Aufgabe ist die erste Musterlösung wahrscheinlich auch die, die die meisten hatten (in einer Ecke beginnen,dann weiterarbeiten bis zwei Dominosteine ein Quadrat bilden müssen). Bei der dritten Aufgabe habe ich die zweite Musterlösung (in sehr viel längerer Form... smile ).
Bei der vierten Aufgabe steht tatsächlich, dass die erste Null frühestens an der (k+1)-ten Stelle stehen kann wink .
Was hattet ihr für Lösungen (Musterlösung, oder doch eine andere?  wink ) bei den Aufgaben?
Gruß Philipp


Ralip
Aktiv
Dabei seit: 13.03.2019
Mitteilungen: 81
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-03-22 06:30    [Diesen Beitrag zitieren]

Okay, alles klar. Ja die Beweisidee ist klar, ich habe die Aufgabe ähnlich (ein wenig umständlicher und weniger schön) gezeigt. Aber die Idee die Nachkommastellen wegzunehmen und abzuschätzen ist dieselbe.


Kezer
Aktiv
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 397
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-03-21 22:28    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi Ralip,

ja, das sind jeweils Tippfehler, sie sind jetzt korrigiert. Danke.  smile
Was gemacht wird, ist ja nur, dass man die ersten $n$ Nachkommastellen von $\sqrt2$ wegnimmt und dafür eine Abschätzung findet. Diese muss hinreichend groß sein, was zeigt, dass nicht allzu viele Nullen direkt folgen können.


Ralip
Aktiv
Dabei seit: 13.03.2019
Mitteilungen: 81
Herkunft:
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-03-21 19:13    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-03-21 17:18 - Kezer in Beitrag No. 4 schreibt:
Setze <math>a=10^n</math> und <math>b = \left \lfloor 10^n  \sqrt2 \right \rfloor</math>. Dann folgt
<math>\displaystyle  10^n \sqrt2 - \left \lfloor 10^n  \sqrt2 \right \rfloor > \frac{1}{2 \left( 10^n \sqrt2 + \left \lfloor 10^n a \sqrt2 \right \rfloor \right)} > 10^{-(n+1)}, </math>
das heißt, es folgen keine <math>n+1</math> Nullen.

Hey Kezer,
Folgendes verstehe ich nicht:

Weshalb setzt du auf der rechten Seite der Ungleichung \(\text{       }10^n \sqrt{2} \text{       }\) für a ein? Du hast a = 10^n gesetzt!

Und für b setzt du \(\text{       }10^n a \sqrt2 \text{       }\) ein. Weshalb kommt da ein a vor?

Wenn man jedoch das vorher Festgesetzte einsetzt müsste man (wenn ich auf dem ersten Blick nichts übersehe) dennoch die von dir gemachten Implikationen machen dürfen und zum Ergebnis kommen.
Handelt es sich also vlt um einen Tippfehler?
Oder übersehe ich etwas?

Gruß


Math314
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2019
Mitteilungen: 42
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-03-21 17:32    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-03-20 22:58 - enst in Beitrag No. 3 schreibt:

Zu Aufgabe 4: Ich war auch der Meinung, dass die Null an der k+1-ten Nachkommastellen stehen muss. Mit einer Fallunterscheidung kann man m.M. nach sogar zeigen, dass die erste Null noch eine Stelle weiter hinten sein muss, weil nicht alle Nachkommastellen 9 sein können.

Gruß,
enst


Meinst du die Nachkommastellen a^2 ? Da könnte man natürlich beweisen, dass die letzte(n) Nachkommastelle(n) nicht 9 sein können. Wenn es die letzten Nachkommastellen wären müsste die erste Null noch ein paar Stellen weiter hintenstehen. Wie wäre denn deine Fallunterscheidung?


Wie habt ihr eigentlich die Aufgabe 3 gelöst? Ich habe den Kreiswinkelsatz (den ich auch bewiesen habe, bin in der 7.Klasse und hatte ihn daher noch nicht im Unterricht) und den Strahlensatz verwendet.

Gruß,
Philipp



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


Kezer
Aktiv
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 397
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-03-21 17:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Hey,

Aufgabe 4 dieses Jahr war ja wieder recht interessant. Leider durfte ich schon letztes Jahr nicht mehr teilnehmen. (Bin auch ziemlich rusty, was Wettbewerbe angeht  biggrin ) Hier mein Beweis zur #4:

Lemma. Für $a,b \in \mathbb{N} \setminus \{0 \}$ gilt $$ \left|a \sqrt2 - b \right| > \frac{1}{2(a+b)}.$$ Beweis. Falls $a \sqrt2 > b$, so ist äquivalent $$a \sqrt 2 > b + \frac{1}{2(a+b)} \iff 2a^2 > b^2 + \frac{b}{a+b} + \frac{1}{4(a+b)^2} $$ zu zeigen. Doch mit $2a^2 > b^2$ ist $2a^2 \geq b^2 + 1$. Es gilt aber $$ 1 > \frac{b}{a+b} + \frac{1}{4(a+b)^2}. $$ Analog anderer Fall.
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Setze $a=10^n$ und $b = \left \lfloor 10^n  \sqrt2 \right \rfloor$. Dann folgt
$$ 10^n \sqrt2 - \left \lfloor 10^n  \sqrt2 \right \rfloor > \frac{1}{2 \left( 10^n + \left \lfloor 10^n  \sqrt2 \right \rfloor \right)} > 10^{-(n+1)}, $$
das heißt, es folgen keine $n+1$ Nullen.
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Einige Worte hierzu:
- Das Lemma fällt natürlich sehr vom Himmel. Es kann in www.math.muni.cz/~bulik/vyuka/pen-20070711.pdf als Aufgabe gefunden werden.
- Ohne das Lemma zu kennen, könnte man auf die Idee kommen $$ 10^n \sqrt2 - \left \lfloor 10^n \sqrt2 \right \rfloor > 10^{-(n+1)} $$ zeigen zu wollen - genau was wir benutzt haben.
- Ideen zum Beweis vom Lemma: Beseitige $\sqrt2$ und strikte Ungleichungen sind in $\mathbb{Z}$ oft besonders stark.
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EDIT: Das Lemma lässt sich viel leichter beweisen, siehe artofproblemsolving.com/community/c146h150582p849572. Es ist $$ \left|2a^2-b^2 \right| \geq 1 \iff \left|a \sqrt2 - b \right| \geq \frac{1}{a \sqrt2 + b}.$$


enst
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 Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-20 22:58    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-03-19 21:18 - Caban in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo

Wie lautet die Aufgabe?

Gruß Caban

www.mathe-wettbewerbe.de/download/aufgaben-19-1.pdf

Hier kann man die Aufgaben der 1. Runde einsehen.
Zu Aufgabe 4: Ich war auch der Meinung, dass die Null an der k+1-ten Nachkommastellen stehen muss. Mit einer Fallunterscheidung kann man m.M. nach sogar zeigen, dass die erste Null noch eine Stelle weiter hinten sein muss, weil nicht alle Nachkommastellen 9 sein können.

Gruß,
enst


Math314
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 Beitrag No.2, eingetragen 2019-03-19 21:45    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

ich habe die erste Aufgabe mit dem Schachbrett auch so gelöst (indirekter Beweis, in einer Ecke beginnen und dann systematisch weiterarbeiten). In der zweiten Aufgabe habe ich in die vier Fälle 1. C=L und H=A, 2. C=L und H≠A, 3. C≠L und H=A  und 4. C≠L und H≠A unterschieden, SCHLAF als 100000S + 10000C + 1000H +... und FLACHS als 100000F + 10000L + 1000A +... geschrieben und dann die Gleichheit bzw. Ungleichheit von C und L und von H und A eingesetzt.
In der Aufgabe 3 habe ich mit Kreiswinkelsatz und Strahlensatz argumentiert.

Zu der vierten Aufgabe:
Wenn ich das richtig sehe, dann gilt die untere Ungleichung jedoch auch, wenn k = m + 1 gilt. Daher muss nicht nur fed-Code einblenden fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Mein Beweis ist ähnlich und folgt eigentlich demgleichen Prinzip wie deiner. Ich habe allerdings auch geschrieben, dass die erste Null dieser Folge frühestens an der k + 1 -ten Stelle nach dem Komma steht. Da bin ich mir noch relativ unsicher confused  .

Gruß Philipp

PS: Mit dem Formeleditor kenne ich mich wohl noch nicht so gut aus  smile

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


Caban
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 Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-19 21:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo

Wie lautet die Aufgabe?

Gruß Caban


enst
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 Themenstart: 2019-03-19 14:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

der Einsendeschluss für die Aufgaben des BWM ist ja verstrichen, deshalb möchte ich gerne jetzt mit euch die Aufgaben diskutieren.
Die erste Aufgabe war meiner Meinung nach leicht, wobei ich mir die Frage stelle, ob es wirklich reicht, die Verteilung in der unteren Ecke zu beginnen und dann weiterzuarbeiten.
Bei Aufgabe 2 und 3 waren machbar, aber die Aufgabe 4 hatte es meiner Meinung nach in sich, deshalb würde ich hier gerne meine Lösung vorstellen:

Sei m die Anzahl der Nachkommastellen vor der ersten Null der Folge. Dann lässt sich \( \sqrt{2} \)darstellen als a+b, wobei a der Teil vor der ersten Null ist und b der Teil ab der m+k+1. Nachkommastelle. Daraus folgt \((a+b)^2=a^2+b^2 +2ab = 2\).
Die Differenz von 2 und \(a^2\)ist, selbst wenn alle Nachkommastellen von \(a^2\) 9 sind, größer gleich \(\frac{1}{10^{2m}}\), denn die letzte Nachkommastelle von a quadriert ergibt \((\frac{1}{10^{m}} \cdot x)^2\). x ist die Nachkommastelle an dieser Stelle.
Damit \(a^2+b^2+2ab= 2\) wahr ist, muss \(b^2+2ab\) also größer gleich \(\frac{1}{10^{2m}}\) sein.
Für \(b^2+2ab\) gilt jedoch \[2ab+b^2 < 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{10^{m+k}} + \left(\frac{1}{10^{m+k}} \right)^2  \] Wenn die erste Null der Folge vor der k-ten Nachkommastelle kommt, gilt: k>m+1. Eingesetzt in die obere Ungleichung erhält man \[2ab+b^2 < 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{10^{2m+1}} + \left(\frac{1}{10^{2m+1}} \right)^2  =  2  \cdot \frac{1}{10^{2m+1}} + \frac{1}{10^{4m+2}}\] , was für \(m\geq 1\) im Widerspruch steht zu \(2ab+b^2 \geq \frac{1}{10^{2m}}\).





 
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