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Antworte auf:  Prime und irreduzible Elemente von Mathsman
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Erledigt J


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Mathsman
Aktiv
Dabei seit: 16.10.2017
Mitteilungen: 305
Herkunft:
 Beitrag No.29, eingetragen 2019-04-21 21:34    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi ja hat sich erledigt. Ich hab nach einer Weile dann gesehen, dass die irreduziblen Elemente, die nicht prim sind in N eine Primfaktorzerlegung in Zahlen der Form 4k+3 haben. Weiters hab ich dann gesehen, dass, wenn man zwei Zahlen der Form 4k+3 miteinander multipliziert eine Zahl der Form 4k+1 entsteht und dann mit dem Lemma von Euklid allgemein Gegenbeispiel konstruiert. (Setze p=a*b, dann kann sein, dass a und b nicht aus K, also multipliziere ich Zahlen der Form 4k+3 drauf (idealerweise nicht a oder b)) Nach ein paar Fallunterscheidungen bin ich dann glaub ich hingekommen
Liebe Grüße und danke
Mathsman


Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.28, eingetragen 2019-04-18 12:59    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-18 08:12 - weird in Beitrag No. 27 schreibt:
@Jürgen

Vielleicht hilft es ja, wenn man das, was TomTom313 und auch Creasy oben schon geschrieben haben noch einmal und in etwas anderen Worten ausdrückt. Vor allem solltest du die von TomTom314 oben im Kasten gegebene Charakterisierung der irreduziblen Elemente von $K$ so lesen:

Ein $p\in K\setminus\{1\}$ ist genau dann irreduzibel, wenn eine der folgenden Bedingungen gilt:

(1) $p$ ist Primzahl.
(2) $p=q^2$ für eine Primzahl $q$, welche mod 4 in der Restklasse von 3 liegt.
(3) $p=q_1\cdot q_2$ für zwei verschiedene Primzahlen $q_1,q_2$, welche beide mod 4 in der Restklasse von 3 liegen.


ja sehr sauber aufgeschrieben und mir jetzt auch klar.

Ich haette gerne mal n Feedback von de Mathsman ob sich das erledigt hat oder wie?



weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5016
Herkunft:
 Beitrag No.27, eingetragen 2019-04-18 08:12    [Diesen Beitrag zitieren]

@Jürgen

Vielleicht hilft es ja, wenn man das, was TomTom313 und auch Creasy oben schon geschrieben haben noch einmal und in etwas anderen Worten ausdrückt. Vor allem solltest du die von TomTom314 oben im Kasten gegebene Charakterisierung der irreduziblen Elemente von $K$ so lesen:

Ein $p\in K\setminus\{1\}$ ist genau dann irreduzibel, wenn eine der folgenden Bedingungen gilt:

(1) $p$ ist Primzahl.
(2) $p=q^2$ für eine Primzahl $q$, welche mod 4 in der Restklasse von 3 liegt.
(3) $p=q_1\cdot q_2$ für zwei verschiedene Primzahlen $q_1,q_2$, welche beide mod 4 in der Restklasse von 3 liegen.

Da sich die Primelemente von $K$, wie schon mehrfach angemerkt, aus den irreduziblen Elementen rekrutieren, stellt sich somit die natürliche Frage, für welchen der drei obigen Typen eines irreduziblen Elements in $K$ sich sogar die Primalität beweisen lässt. *) Da dies für Typ (1) hoffentlich sonnenklar ist, bleiben noch die Typen (2) und (3). Für die Typen (2) und (3) wurden aber inzwischen schon konkrete Zahlenbeispiele angegeben (beachte insbesondere das Beispiel für 9 von Creasy in #22), dass dies vermutlich nicht geht und es kann doch um Himmels Willen nicht so schwer sein, daraus einen allgemeinen Beweis zu "destillieren", dass es in diesen Fällen niemals funktionieren kann!  eek

*) Die Aufschlüsselung in 3 Typen, statt nur zwei, wie bei TomTom314, dient hier nur dem Zweck, diese Überlegungen etwas übersichtlicher zu machen!


Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.26, eingetragen 2019-04-18 03:04    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-17 23:41 - Creasy in Beitrag No. 24 schreibt:
Ah sorry, da hab ich mich ungenau ausgedrückt, dort meinte ich die Primfaktoren in $\mathbb{N}$. Das funktoniert bei $21=3\cdot 7$ genauso. Wir setzen $a=3\cdot ..$ und $b=7\cdot ..$ und müssen die $..$ noch passend wählen, sodass $a$ und $b$ von der gewünschten Form sind (und nicht teilbar durch 21 sind). Da kan man jetzt zb. $a=3\cdot 11$ und $b=7\cdot 11$ wählen. Dann ist $21|ab$ aber 21 teilt weder a noch b, also ist 21 nicht prim in K.



Das hab ich jetzt erst richtig gelesen und verstanden aber finde  erstmal $a$ und $b$ von der gewünschten Form sind (und nicht teilbar durch 23*19=437 oder so sind).
und fuer die beh.: p prim in k $\Leftrightarrow$  p prim in N haette ich gern den Beweis.
Thx


Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.25, eingetragen 2019-04-17 23:47    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-17 23:41 - Creasy in Beitrag No. 24 schreibt:

Was du danach zeigen willst, weiß ich nicht so ganz. Aber ja $3$ ist in $\mathbb{N}$ eine Primzahl.
Die Erkenntnis des Tages!



Gute Nacht
Creasy

21 ist prim, da es verschieden Zerlegungen gewisser reduzibler Zahlen  $c=21^2$ gibt in denen kein Faktor von 21 geteilt wird.

N8 :).

P.S. ich habe noch in einige älteren Poste das Wort "Aenderung" eingeführt.

P.P.S.

Es gab verschiedene Aussagen bez. 21 in Beitrag 3,5, 7 und 20.


01:12 Uhr Sommerzeit  ich hör jetz schon auf  cool


Creasy
Senior
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 429
Herkunft:
 Beitrag No.24, eingetragen 2019-04-17 23:41    [Diesen Beitrag zitieren]

Ah sorry, da hab ich mich ungenau ausgedrückt, dort meinte ich die Primfaktoren in $\mathbb{N}$. Das funktoniert bei $21=3\cdot 7$ genauso. Wir setzen $a=3\cdot ..$ und $b=7\cdot ..$ und müssen die $..$ noch passend wählen, sodass $a$ und $b$ von der gewünschten Form sind (und nicht teilbar durch 21 sind). Da kan man jetzt zb. $a=3\cdot 11$ und $b=7\cdot 11$ wählen. Dann ist $21|ab$ aber 21 teilt weder a noch b, also ist 21 nicht prim in K.


Was du danach zeigen willst, weiß ich nicht so ganz. Aber ja $3$ ist in $\mathbb{N}$ eine Primzahl.

Anmerkung:

Ist 3 prim in N ?
Du fragst, ich antworte :)

Gute Nacht
Creasy


Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.23, eingetragen 2019-04-17 23:17    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-17 23:04 - Creasy in Beitrag No. 22 schreibt:
Hey

2019-04-17 22:33 - juergen007 in Beitrag No. 21 schreibt:

Methode1: Annahme 9 ist kein Primelement in K.
(Zu 2) $\displaystyle 9 \in K$ ist nicht prim: $\displaystyle 9 \ne 1 \land \exists a,b \in K: 9 \nmid a \land 9 \nmid b$,  

Du findest $a$ und $b$ indem du die Primfaktoren von $9$ auf $a$ und $b$ aufteilst.

Was bitte sind die die Primfaktoren in K von $9 \in K$ ausser 1?
.
.

Damit sollten vermutlich die irreduziblen Elemente beschrieben werden. Ich denke du hast den Kasten nicht richtig interpretiert.
ok


Beste Grüße
Creasy
von mir auch. smile

Was ist nu mit 21, es gibt Zerlegungen von 441, die 21 enthalten und solche die 21 nicht enthalte also 21 prim in K.
$p|21*21$ aber $p \nmid 19 \land p\nmid 49$, irreduzibel.


Nochmal Aenderung: Ist 3 prim in N ?
Wird in ALLEN mögiche Zerlegungen von 18 in N mindestens 1 Faktor $\displaystyle 18=2*9=3*6$, also hier 3, 6 und 9 von 3 zerlegt?
$3|3, 3|6, 3|9$ und fertig.

=>3 ist irreduczibel und prim in N.

Aber finde die 18!

Ist 2 prim:
Wird in ALLEN mögiche Zerlegungen von 144 in N mindestens 1 Faktor $\displaystyle 18=2^4*3^2=12*12$, also hier wie meist mehrere 2,4,6,8,12,... von 2 zerlegt?
$\displaystyle 2|144, 2|4, 2|8$ und fertig.
=>2 irreduczibel und prim in N.

Aber finde eine analoge reduzible wie die 144 in K.
Not so easy.

Teste mal $17 \land 185 \in K$ auf Irreduziblitaet und prim wenn du nicht die Infos aus dem Kasten nimmst.
Ist 17 irreduzibel und prim?
Ist 189 irreduzibel und prim?
und 93 oder 1297?
much fun

J.



Creasy
Senior
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 429
Herkunft:
 Beitrag No.22, eingetragen 2019-04-17 23:04    [Diesen Beitrag zitieren]

Hey

Ich bin mir nicht mal sicher, ob ich das, was du hier zu Beginn schreibst, überhaupt verstehe..
2019-04-17 22:33 - juergen007 in Beitrag No. 21 schreibt:
Methode1: Annahme 9 ist kein Primelement in K.
(Zu 2) $\displaystyle 9 \in K$ ist nicht prim: $\displaystyle 9 \ne 1 \land \exists a,b \in K: 9 \nmid a \land 9 \nmid b$,  

Deutsch: finde ein reduzibles Element $\displaystyle d \in K=9e, d,e \in K$, dass sich in Faktoren $\displaystyle a,b$ zerlegen laesst,
wobei dies Faktoren $a,b$ einer noch zu findenden Zahl $\displaystyle c=ab$  beide nicht von 9 geteilt werden.
Die Lösung habe ich  noch nicht aber es gibt eine wink
Du findest $ a$ und $b$ indem du die Primfaktoren von $9$ auf $a$ und $b$ aufteilst und dann um weitere (geeignete) Faktoren ergänzt, sodass $a$ und $b$ von der richtigen Form sind. Zum Beispiel kannst du $a=3\cdot 7$ und $b=3\cdot 7$, aber auch $3\cdot 11$ wäre als Wahl möglich. Das zeigt, dass $9$ nicht prim in $K$ ist.
Das danach versteh ich nicht, aber

Wie er auf

$p=p1p2$ mit $p1,p2≡3 \mod 4$ Primzahlen in N,
kommt weiss ich nicht, dann waere 21 prim das hatten wir schon widerlegt.

Damit sollten vermutlich die irreduziblen Elemente beschrieben werden. Ich denke du hast den Kasten nicht richtig interpretiert.

Beste Grüße
Creasy


Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.21, eingetragen 2019-04-17 22:33    [Diesen Beitrag zitieren]


019-04-16 19:24 - weird in Beitrag No. 20 schreibt:
@Juergen007
(1) p∈K ist prim:⇔p≠1 ∧ ∀a,b∈K:p∣ab⇒p∣a∨p∣b
(2) p∈K ist nicht prim:⇔p<>1 ∨ ∃a,b∈K:p∣ab∧p∤a∧p∤b
 
Bez. 9 katte ich mich geirrtt, es ist gar nicht trivial Primelemente  oder nicht-Pprimelemente in K zu finden.
 
Methode1: Annahme 9 ist kein Primelement in K.
(Zu 2) $\displaystyle 9 \in K$ ist nicht prim: $\displaystyle 9 \ne 1 \land \exists a,b \in K: 9 \nmid a \land 9 \nmid b$,  


Aenderung:

Deutsch: finde ein reduzibles Element $\displaystyle d \in K=9e, d,e \in K$, dass sich in Faktoren $\displaystyle a,b$ zerlegen laesst,
wobei dies Faktoren $a,b$ einer noch zu findenden Zahl $\displaystyle c=ab$ sind, die  beide nicht von 9 geteilt werden.
Die Lösung habe ich  noch nicht aber es gibt eine wink

Mein Verfahren_zu_2, wie ich es mal nenn funktioniert, wie ich das fand schreib ich jetzt nicht, und da is auch noch Rechenfehler eingeschlichen...
Ich hab eben nicht den wasweissich das exakt und verstaendlich und richtig darnierderzuschreiben.
mach ich aber noch wenn gewuenscht. Es geht ueber den chin. Restsatz.

Interessanter ist: wie finde ich nur mit obiger Zeile 1 ,dass ein Kandidat p prim in K ist?

Denn zu zeigen $\displaystyle p \in K$ ist prim:
1a. p irreduzibel in K.
1b. $p \ne 1 \land \exists a,b \in K: p \mid a \land b \rightarrow p \mid a \lor \mid b$.

Aenderung
d.h.: Man muesste, wenn man einen Kandidaten p fuer prim hat muesste dieser
1a. irreduzibel sein, das ist relativ leicht zu finden.
Man braucht "nur" durch alle kleineren teilen.
Aber man muesste ja
1:b alle Zahlen $\displaystyle c=ab, c \gt p,  a,b,c,p \in K$ auf Zerlegungen $c=ab$ hin überprüfen, ob es eine $ab$ gibt, in der Bedingung  $\displaystyle p \mid a \lor \mid b$ gilt.

Das ist unmoeglich, wann soll man abbrechen?

Primaliät in N zu überpruefen, ob ein p prim ist, geht schnell,

Aenderung:

Ist 3 prim in N ?
Werden in ALLEN Zerlegungen von 18 die faktore $\displaystyle 18=2*9=3*6$ von 3 zerlegt? $3|3, 3|6, 3|9$ und fertig. 3 prim
Aber finde die 18!

Das wird gefordert
Oder man macht ne komplette PFZ in N.
Aber n PFZ Verfahren fuer beliebige auch sehr grosse $\displaystyle k \in K$ muesste man erfinden oder programmieren.
Oder es gibt eine viel einfachere Methode, auf die ich jezt nicht komme.
Ansonsten stimmt sicher das, was im Kasten oben steht, weil Tomtom ziemlich schlau ist  biggrin

Aenderung:

Wie er auf


$...\displaystyle p=p1\cdotp2, p1,p2 \equiv 3\mod 4$ Primzahlen in N,


kommt weiss ich nicht, stimmt aber für 21 und 77 irrdeuzibel.
Derartige p1p2 koennen ja keine andere Zerlegung haben!

Logisch ist, dass das Produkt 2er 3 mod 4 primes ist eine 1 mod 4 Zahl in N und K.

Mit meinem o.a. Verfahren_zu_2 muss ich mich noch mal in Ruhe befassen.


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5016
Herkunft:
 Beitrag No.20, eingetragen 2019-04-16 19:24    [Diesen Beitrag zitieren]

@Juergen007

Ich versuche wieder mal, einige deiner Ausführungen zu korrigieren, auch wenn das eine wahre Herkulesaufgabe ist und ich noch nicht sagen kann, ob ich wirklich bis zum Ende durchhalten werde.

2019-04-16 16:59 - juergen007 in Beitrag No. 18 schreibt:
zusammenfassend:
(1)$p$ prim $:\iff (p|ab\Rightarrow p|a\lor p|b)$. ist klar
(2)$p$ nicht prim $:\iff (p|ab\Rightarrow p\nmid a\land p\nmid b)$.

Ich schreib mal die korrekten Definitionen für unser Monoid $K$, bestehend aus allen natürlichen Zahlen der Form $4k+1$ an und mit der gewöhnlichen Multiplikation als Operation an. $K$ hat wie schon erwähnt 1 als einzige Einheit.

(1) $p\in K$ ist prim:$\Leftrightarrow p\ne 1 \ \land \ \forall a,b\in K: p\mid ab\Rightarrow p\mid a\lor p\mid b$

(2) $p\in K$ ist nicht prim:$\Leftrightarrow p=1\ \lor \ \exists a,b\in K: p\mid ab \land p\not\mid a \land p\not\mid b$

Deine Definition (1) von "prim" hat zwar kleinere formale Mängel, ist aber im Kern korrekt. Dagegen ist deine Negation (2) ganz offensichtlicher Unsinn und es widerstrebt mir, darauf auch nur einzugehen. Wie es richtig geht, hab ich ja oben angegeben.

Reduzibel in K =zerlegbar in Faktoren unserem K. damit auch in N.
Reduzibel in K = nicht prim.
prim in K = irreduzibel.

Richtig wäre:
Reduzibel in $K\Rightarrow$ nicht prim.
Prim in $K\Rightarrow$ irreduzibel.

In K sind Zerlegungen in Primfaktoren nicht unbedingt eindeutig, z.B, oder wie oben $\displaystyle 77*33=121*21=2541$,

Zerlegungen in Primelemente sind immer(!) eindeutig, aber alle involvierten Zahlen $21,33,77,121$ sind hier eben keine(!) Primelemente, sondern nur irreduzibel, was eben dann hier zuwenig ist, wie gerade dieses Beispiel auch zeigt.

Die ersten echten Primzahlen in K sind 1,5,9,13,17,..
21 nicht.

9 ist weder Primzahl, noch ein Primelement in $K$. Vielleicht kannst du ja selbst mit Hilfe der Definition (1) herausfinden warum.

Zur eigentlichen Aufgabe:
Reduzible der Art $\displaystyle (4k+1)(4l+1), k,l \gt 0$ sind z.B.  25,45,65,81.
Es koennen auch mehr Faktoren sein, die koennen aber muessen nicht prim oder irreduzibel sein.
Alle anderen sind irreduzibel!

Ja, das ist zwar richtig, aber nicht vielmehr als ein direktes Einsetzen in die entsprechenden Definitionen von reduzibel bzw. irreduzibel. Man würde sich aber an dieser Stelle eine "griffige" Charakterisierung der irreduziblen Elemente von $k$ wünschen. Da offensichtlich die Primzahlen in $K$ irreduzibel sind (sie sind es ja sogar als Elemente von $\mathbb Z$ !), kann man die Frage auch so stellen: Gibt es noch andere irreduzible Elemente in $K$ und wenn ja, wie kann man sie charakterisieren?

 
[..] dann sind wie oben vermutet alle Primzahlen in N auch Primzahlen in K. Und die 9.

Huch, wieso ausgerechnet noch die 9? Was genau ist deine Begründung dafür?  eek

Und ja, um die Primelemente von $K$ zu bestimmen, würde man halt dringend die oben angesprochenene "griffige" Charkterisierung der ireduziblen Elemente von $K$ brauchen. Damit stellt sich die Frage dann so: Welche irreduziblen Elemente, die keine Primzahlen sind, kommen ev. noch als Primelemente von $K$ in Frage?

PS: Bitte hier überall Primzahlen (also gewissermaßen die Primelemente in dem "größeren" Monoid $\mathbb N^*$ !) und Primelemente von $K$ unbedingt streng auseinanderhalten, sonst gibt es hier ernste Verständigungsprobleme zu allen anderen schon bestehenden dazu!

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.18 begonnen.]


Ex_Senior
 Beitrag No.19, eingetragen 2019-04-16 19:00    [Diesen Beitrag zitieren]

@Jürgen: Die Beschreibung der Primelemente, irreduziblen Elemente sind im Hidebereich. Einen Beweis dazu werde ich hier jetzt nicht ausführen, da dieses die Hausaufgabe des Themenerstellers ist.

Für ein $p\in K$ gilt: p prim in K $\iff$ p Primzahl in $\IN$, p irreduzibel in K $\iff$ p prim in K oder $p=p_1 p_2$ mit $p_1,p_2\equiv 3 \text{ mod } 4$ Primzahlen in $\IN$



Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.18, eingetragen 2019-04-16 16:59    [Diesen Beitrag zitieren]


 Die Bedingungen für prim, irreduzibel in K lassen sich in wenigen Zeile (<10) hinschreiben.
na wir warten noch.

zusammenfassend:
(1)$p$ prim $:\iff (p|ab\Rightarrow p|a\lor p|b)$. ist klar
(2)$p$ nicht prim $:\iff (p|ab\Rightarrow p\nmid a\land p\nmid b)$.

Reduzibel in K =zerlegbar in Faktoren unserem K. damit auch in N.
Reduzibel in K = nicht prim.
prim in K = irreduzibel.
irrreduzibel in K nicht unbedingt prim in K> Bsp.:21.

In K sind Zerlegungen in Primfaktoren nicht unbedingt eindeutig, z.B, oder wie oben $\displaystyle 77*33=121*21=2541$,
Dies ist in N =$\displaystyle 7*7*11*11$ eindeutig das nur am Rande,

Die ersten echten Primzahlen in K sind 1,5,9,13,17,..
21 nicht.
Zur eigentlichen Aufgabe:
Reduzible der Art $\displaystyle (4k+1)(4l+1), k,l \gt 0$ sind z.B.  25,45,65,81.
Es koennen auch mehr Faktoren sein, die koennen aber muessen nicht prim oder irreduzibel sein.
Alle anderen sind irreduzibel!

Betrachte die Beispiele $4k+1=p_1 p_2$ und $4k+1=p_1 p_2 p_3$. Unter welchen Bedingungen erhält man (prim,) irreduzible bzw. reduzibel.
Warum ist $4k+1=p_1 p_2$ nicht prim?
Eben darum, weil $4k+1=p_1 p_2$ ein Produkt mehrerer Prims ist.

Wenn $\displaystyle a=p_1\cdot p_2\cdot p_3...\cdot p_i$ ist, dann ist es reduzibel.
An 9*49=441 und 21^2=441 sieht man z.B.:
Zerlegungen sind nicht eindeutig in K.
33 irreduzibel aber nicht prim in K.
37 prim in K.
41 prim in K.

Bedingung 1 ist schwer nachzurechnen, weil man alle ab aus K betrachten muss.
Das ist der Hauptknackpunkt: wie finde ich Primzahlen in einem Monoid?
Sieb des Erasthotenes?
Aus Google "Hinweis: Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch sich selbst und durch 1 ohne Rest teilbar ist."
Wenn diese Bedingung für alle Monoide gilt, dann sind wie oben vermutet alle Primzahlen in N auch Primzahlen in K. Und die 9.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5016
Herkunft:
 Beitrag No.17, eingetragen 2019-04-16 08:10    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-15 14:09 - Mathsman in Beitrag No. 9 schreibt:
Nachdem ich auch herumprobiert hab und inzwischen einige weitere Gegenbeispiele für die eindeutige Zerlegung gefunden habe, bin ich mir ziemlich sicher, dass die primen Elemente in K einfach der Schnitt der Primzahlen mit K ist. Irreduzible sind weiters noch alle Elemente, die eine Primfaktorzerlegung haben, deren Elemente alle nicht in K liegen.

Hm, sehe ich das richtig, dass für dich dann Zahlen wie $81\ (=3^4)$ oder $4389\ (=3\cdot7\cdot 11\cdot19)$ auch irreduzibel in $K$ sind?
 

Im Endeffekt sollte man allgemein zeigen können, dass alle Zahlen, die zwar irreduzibel in K sind, aber sehr wohl in N eine Primfaktorzerlegung haben, auch nicht prim in K sein können oder?

Diesen Satz habe ich jetzt mehrfach durchgelesen, aber ich verstehe einfach nicht, was du mit ihm aussagen willst. Allein der Nebensatz "... aber sehr wohl in N eine Primfaktorzerlegung haben" bereitet mir schwere Kopfzerbrechen. Wenn du mit $N$ die Menge der natürlichen Zahlen >0 meinst, haben dann nicht alle diese Zahlen eine "Primfaktorzerlegung" - selbst die 1 als das leere Produkt von Primzahlen oder auch die Primzahlen, deren Primfaktorzerlegung aus nur einem Faktor besteht? Oder hat für dich das Wort "Primfaktorzerlegung" eine andere Bedeutung? Fragen über Fragen ...  eek


Ex_Senior
 Beitrag No.16, eingetragen 2019-04-15 22:49    [Diesen Beitrag zitieren]

In #9 findest Du eine Teilantwort und in #10 einen Hinweis, wie der Rest der Lösung gefunden werden kann. Wenn Mathsman mit seiner Hausaufgabe fertig ist, können wir auch über die Lösung reden...


Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.15, eingetragen 2019-04-15 22:13    [Diesen Beitrag zitieren]

dann elaboriere das doch bitte für uns blutige Laien smile


Ex_Senior
 Beitrag No.14, eingetragen 2019-04-15 20:53    [Diesen Beitrag zitieren]

@jürgen

das pass alles nicht. $p$ prim $:\iff (p|ab\Rightarrow p|a\lor p|b)$. Die Bedingungen für prim, irreduzibel in K lassen sich in wenigen Zeile (<10) hinschreiben. Ein Legendre-Symbol ist hier auch nicht nötig.


Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.13, eingetragen 2019-04-15 20:32    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-15 17:09 - weird in Beitrag No. 12 schreibt:

Ich denke, statt 21 gehört 33 bzw. 45 dahin - offenbar ein copy&paste-Fehler.

Was das zweite Beispiel mit 45 betrifft, so seh ich dessen Sinnhaftigkeit nicht so ganz ein.
Es sieht für mich jedenfalls so aus, als wäre dir der allgemeine Sachverhalt, dass reduzible Elemente niemals prim sein können bzw. die Eigenschaft "prim" i.Allg. stärker ist als die Eigenschaft "irreduzibel" - nicht so wirklich klar. Hab ich Recht?   cool

Nein  wink
Ich weiss jetzt dank nächtlicher Recherchen was prim ist hoff ich smile
Ein primes Element in einem Monoid ist eines das sich nicht als Produkt 2er nichteinheiten darstellen lässt.
Ich brachte Beispiele aus Ringerweiterungen.
Reduzibel=zerlegbar in unserem K
Alle $\displaystyle (4k+1)(4l+1), k,l \gt 0$, ausser 1,5,9 sind reduzibel.
z.B. 25,45,81,117,169 durch ihre Konstruktionsvorschrift.

Und alle anderern die sich als $\displaystyle (4k+1)(4l+1).k,l \gt 0$ darstellen lassen, sind reduzibel in $K=4k+1$,
und koennen nicht  prim sein , denn es existiert eine zerlegung s.o.

Die Menge $L=(4k+1)$ besteht aus viel mehr irreduziblen als reduziblen.

Alle $(4k+1)$ lassen sich trivial zerlegen in $1*(4k+1)$, aber das macht sie nicht prim.
Nicht alle $(4n+1)$ lassen sich zerlegen in andere  $\displaystyle (4k+1)(4l+1), k,l \gt 0$.
Die wenigsten sind reduzibel s.o.

Berichtigt:

$33\mid 9\cdot 121 \land 33\not\mid 9 \land 33\not\mid 121$: 33 ist NICHT prim und  irreduzibel.
$57\mid 9\cdot 361 \land 57\not\mid 9 \land 57\not\mid 371$: 57 ist NICHT prim und  irreduzibel.
aber auch

$77\mid 49\cdot 121\cdot77\not\mid 49\land 77\not\mid 121$ : 77 ist NICHT prim  und irreduzibel. was ich hier an der Teilbarkeit durch 7 sehe

Was mir auffaellt, dass z.B bei den primen Elementen a=9,21,33,57,... die quadratischen Reste mod 3 =0 sind,
also das Legendre-Symbol $\dbinom{a}{3}$ ist 0.
Oder vermutung vereinfacht zumindest alle durch 3 oder 7 ,11 und alle 4k-1 Prim teilbaren Zahlen sind irreduzibel in K.
Bin da noch nicht mit durch..



..die Eigenschaft "prim" i.Allg. stärker ist als die Eigenschaft "irreduzibel".

d.h. es gibt mehr irreduzible als prime. Oder nicht alle irreduziblen sind prim.
OK sieht man an 21,33,57, 77.. sind auch prim und irreduzibel.

auch Irreduzibel und prim sind imho 13,17,29,37,41,53.........

aber das "nicht primsein" auszurechnen ist aufwendig.

Interessante Aufgabe wink
Wahrscheinlcich stecken n paar rechenfehler drin sry




weird
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 Beitrag No.12, eingetragen 2019-04-15 17:09    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-15 15:37 - juergen007 in Beitrag No. 11 schreibt:
$3*11=33\mid 9\cdot 121 \land 33\not\mid 9 \land 21\not\mid 121$: 33 ist NICHT prim irreduzibel.
$5*3*3=45\mid 25\cdot 81 \land 45\not\mid 25 \land 21\not\mid 81$: 45 ist  NICHT prim reduzibel.

Ich denke, statt 21 gehört 33 bzw. 45 dahin - offenbar ein copy&paste-Fehler.

Was das zweite Beispiel mit 45 betrifft, so seh ich dessen Sinnhaftigkeit nicht so ganz ein - einmal abgesehen davon, dass die Betrachtung von $45\mid 5\cdot 9$ ja hier weitaus naheliegender wäre. Es sieht für mich jedenfalls so aus, als wäre dir der allgemeine Sachverhalt nicht so wirklich klar, dass reduzible Elemente niemals prim sein können bzw. die Eigenschaft "prim" i.Allg. stärker ist als die Eigenschaft "irreduzibel". Hab ich Recht damit?   cool


Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.11, eingetragen 2019-04-15 15:37    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-15 08:07 - weird in Beitrag No. 7 schreibt:
$21\mid 9\cdot 49 \land 21\not\mid 9 \land 21\not\mid 49$

Ich haette noch

$3*11=33\mid 9\cdot 121 \land 33\not\mid 9 \land 21\not\mid 121$: 33 ist NICHT prim irreduzibel.
$5*3*3=45\mid 25\cdot 81 \land 45\not\mid 25 \land 21\not\mid 81$: 45 ist  NICHT prim reduzibel.


geaendert


Ex_Senior
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-04-15 14:35    [Diesen Beitrag zitieren]

Deine Überlegungen sind schon ganz gut. Bei irreduzibel fehlt noch ein kleines bischen. Um alle irreduzible Elemente zu finden, kannst Du auch ersatzweise alle reduziblen Elemente beschreiben.

Betrachte die Beispiele $4k+1=p_1 p_2$ und $4k+1=p_1 p_2 p_3$. Unter welchen Bedingungen erhält man (prim,) irreduzible bzw. reduzibel. Warum ist $4k+1=p_1 p_2$ nicht prim?

Zum beweisen. Wenn $4k+1=(4r+1)(4s+1)$ in K zerfällt, dann hast Du auch für die Faktoren in $\IN$ eine eindeutige Primfaktorzerlegung.


Mathsman
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 Beitrag No.9, eingetragen 2019-04-15 14:09    [Diesen Beitrag zitieren]

Nachdem ich auch herumprobiert hab und inzwischen einige weitere Gegenbeispiele für die eindeutige Zerlegung gefunden habe, bin ich mir ziemlich sicher, dass die primen Elemente in K einfach der Schnitt der Primzahlen mit K ist. Irreduzible sind weiters noch alle Elemente, die eine Primfaktorzerlegung haben, deren Elemente alle nicht in K liegen.
Ich glaub darauf zielt auch der Tipp ab, das ganze modulo 4 zu betrachten: Für alle Zahlen p prim:  p mod 4 = 1 und für die, die eine Zerlegung haben die nicht in K liegt gilt, dass wenn man die Primfaktoren einzeln mod 4 betrachtet, dass sie die Form 3*3 haben. Mir stellt sich trotzdem noch die Frage, wie man das in einen Beweis gießen kann?
Im Endeffekt sollte man allgemein zeigen können, dass alle Zahlen, die zwar irreduzibel in K sind, aber sehr wohl in N eine Primfaktorzerlegung haben, auch nicht prim in K sein können oder?


Ex_Senior
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-04-15 12:50    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-14 21:53 - Mathsman in Beitrag No. 4 schreibt:
...
Nur wie kann ich die Menge der primen Elemente beschreiben (in K gemeint natürlich)?

Eine Zahl 4k+1 hat eine Primfaktorzerlegung in \(\IN\). Wenn wir uns diese mod 4 anschauen, sollte dabei ein Hinweis herauskommen, wie die gesuchten primen und irreduziblen Elemente in K aussehen.


weird
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 Beitrag No.7, eingetragen 2019-04-15 08:07    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-14 23:47 - juergen007 in Beitrag No. 6 schreibt:
"Für kommutative unitäre Ringe (das ist unser $\displaystyle(4k+1)$ leider nicht) definiert man: Ein Element p heißt prim oder Primelement, wenn es keine Einheit und $\ne 0$ ist und aus $\displaystyle p\mid ab$ folgt $\displaystyle p\mid a$ oder $\displaystyle p\mid b$".
$\displaystyle 21|525, 21|5*105 \Rightarrow 21|105$ also 21 ist prim, obwohl die Vorrauss unitaerer Ring nichtgegeben ist.

Du bist hier so grauenvoll falsch unterwegs, dass man gar nicht weiß, welchen deiner Irrtümer man zuerst beheben soll.  eek

Der erste grundlegende Irrtum ist schon einmal, dass man für die Begriffe "irreduzibel" und "prim" einen Ring braucht. Ne, braucht man nicht und haben wir hier auch nicht! Was man braucht, ist ein kommutatives Monoid M mit "Kürzungsregel, also sowas wie

$\forall a,b,c\in M: ac=bc\Rightarrow a=b$

Das ist vollkommen ausreichend, und ja, unser $K$ hier mit der "gewöhnlichen" Multiplikation als Verknüpfung ist ein solches Monoid. 1 ist seine einzige Einheit, daher ist 21 zunächst einmal irreduzibel, weil in jeder Zerlegung von 21 in $K$ (!) notwendigerweise die 1 vorkommt. 21 ist aber nicht prim, da z.B. gilt

$21\mid 9\cdot 49 \land 21\not\mid 9 \land 21\not\mid 49$

und nicht sowas hier:

2019-04-14 23:47 - juergen007 in Beitrag No. 6 schreibt:
$\displaystyle 21|525, 21|5*105 \Rightarrow 21|105$ also 21 ist prim

Wenn ein Gegenbeispiel nicht funktioniert, muss man sich einfach auf die Suche nach einem anderen begeben, jedenfalls macht man das üblicherweise so!  cool


Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-04-14 23:47    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-14 22:33 - weird in Beitrag No. 5 schreibt:

Diese Feststellung ist hier einfach nur sinnlos, da es ja um die irreduziblen und primen Elemente von $K$ und nicht die von $\mathbb Z$ geht. Richtig ist aber, dass $21$ irreduzibel, aber nicht prim in $K$ ist, wie man leicht zeigen kann.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]

Ich weiss das wird jetzt meine eigene Frage ich lass das aber mal so
stehen.

Ich frage noch mal nach:

21 ist irreduzibel, weil (wiki)
"... irreduzible Elemente, die dadurch definiert sind, dass sie keine Einheiten sind und nicht als Produkt von zwei Nicht-Einheiten dargestellt werden können."

Die  einzige Einheit in $K$ ist die 1.

Aber den Begriff "prim" ohne zugehöriger Ring fand ich nicht, pardon..
Habe hier das Problem Unterschied irreduzibl/prim bei mir gefunden danke :)

In der Ringerweiterung $Z[\sqrt{-1}]$ ist die Zahl $\displaystyle 5 =(2+\sqrt{-1})(2-\sqrt{-1})$ reduzibel aber $\displaystyle 5\in Z[\sqrt{-1}]$ ist prim. siehe Bedingung fuer prim unten.

"Für kommutative unitäre Ringe (das ist unser $\displaystyle(4k+1)$ leider nicht) definiert man: Ein Element p heißt prim oder Primelement, wenn es keine Einheit und $\ne 0$ ist und aus $\displaystyle p\mid ab$ folgt $\displaystyle p\mid a$ oder $\displaystyle p\mid b$".
$\displaystyle 21|525, 21|5*105 \Rightarrow 21|105$ also 21 ist prim, obwohl die Vorrauss unitaerer Ring nichtgegeben ist.



Die Menge der irreduziblen Elemente hätte ich charakterisiert wie vorher: Also K ohne alle Elemente, die als Multiplikation zweier Elemente geschrieben werden können.

Genau:)
die reduziblen Elemente aus K bilden sich wie $\displaystyle \forall k,l>0 \in K:(4k+1)(4l+1)=16kl+4(k+l)+1 = 4(4kl+k+l)+1= 4j+1\in K , k,l>0: =25,45,55,65,81,99..$, evtl auch auf mehrfache Weise, wie dein Beispiel zeigt.

Für die Menge der prim_elemente in $K$ siehe oben kann man vermuten, aber es ist jetzt schon spät, dass alle andere auser obigen prim sind, also nicht in 2 nichtEinheiten zerlegbar. wie auch?
Und irreduzibel!


weird
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 Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-14 22:33    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-14 19:26 - juergen007 in Beitrag No. 2 schreibt:
21 ist $\in K_4$, aber irreduzibel in $\displaystyle K_4$ und nicht prim in $Z$.

Diese Feststellung ist hier einfach nur sinnlos, da es ja um die irreduziblen und primen Elemente von $K$ und nicht die von $\mathbb Z$ geht. Richtig ist aber, dass $21$ irreduzibel, aber nicht prim in $K$ ist, wie man leicht zeigen kann.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


Mathsman
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 Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-14 21:53    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo erstmal danke für die Antwort: Ich hab mittlerweile auch ein Gegenbeispiel zum zweiten Teil gefunden: 2541 kann ich irreduzibel schreiben als 77*33 oder als 121*21.
Jetzt stellt sich mir aber schon die Frage, wie ich die Menge der irreduziblen Elementen und die der primen Elemente charakterisieren soll.
Die Menge der irreduziblen Elemente hätte ich charakterisiert wie vorher: Also K ohne alle Elemente, die als Multiplikation zweier Elemente geschrieben werden können.
Nur wie kann ich die Menge der primen Elemente beschreiben (in K gemeint natürlich)?
LG
Mathsman

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


Dune
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 Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-14 21:39    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-14 19:26 - juergen007 in Beitrag No. 2 schreibt:
Mir fällt mur ein, dass alle Zahlen der Form $\displaystyle 4k+1$ als Summe 2er Quadrate aus N darstellbar sind.
Das stimmt nur für Primzahlen. Zum Beispiel ist 21 nicht die Summe zweier Quadrate. Ist aber auch egal: Für diese Aufgabe braucht man keine schweren Geschütze.


Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-14 19:26    [Diesen Beitrag zitieren]

Mir fällt mur ein, dass alle Zahlen der Form $\displaystyle 4k+1$ als Summe 2er Quadrate aus N darstellbar sind.

Also alle $\displaystyle x\in K_4 =\{4k+1\}$ sind immer Quadratsummen $\displaystyle x=a^2+b^2, a,b \in N$ speziell auch $\displaystyle y=c^2+d^2, x,y,c,d,\in K_4$.

Mit den y hast du, so meine ich fast alle irreduziblen in $\displaystyle K_4$ erfasst.
Dazu kommen alle ungeraden nicht-primzahlen aus (4k+1) die nicht selber Quadrate aus $K_4$ sind und durch ein $\displaystyle (4n-1,n>0)$ teilbar sind.
Die sind auch irreduzibel in $\displaystyle K_4:21,33,57,...$ aber nicht prim in $Z$. wenn das mit prim gemeint ist.

21 ist $\in K_4$, aber irreduzibel in $\displaystyle K_4$ und nicht prim in $Z$.
In gewissen Ringerweiterungen ist die Zahl 5 irreduzibel, aber nicht prim.



Dune
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 Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-14 16:56    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi Mathsman,

nein, nicht jedes irreduzible Element dieses Monoids ist prim. Überlege also mal in Richtung Gegenbeispiel.

VG Dune


Mathsman
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 Themenstart: 2019-04-14 16:46    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo liebe Planetarier, ich hänge wieder einmal bei einer Aufgabe und hoffe, dass mir jemand mit Ratschlägen weiterhelfen kann:
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