Antworte auf:  Schwache Konvergenz im Sobolevraum von MiMo
Forum:  Funktionalanalysis, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Erledigt J


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Themenübersicht
doglover
Senior
Dabei seit: 20.02.2015
Mitteilungen: 342
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-04-16 19:04    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke Kampfpudel für die Verbesserung!

Da habe ich (mal wieder) etwas zu schnell aus der Hüfte geschossen.

Beste Grüße

doglover


MiMo
Aktiv
Dabei seit: 11.01.2016
Mitteilungen: 81
Herkunft:
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-04-16 10:59    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke, jetzt sehe ich wieso die kompakte Einbettung benötigt wird.


Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1791
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-15 23:00    [Diesen Beitrag zitieren]

Die Äquivalenz gilt auch für die ganze Folge. Wenn \(u_n \rightharpoonup u\) in \(W^{1,p}(\Omega)\), dann ist \(u_n\) insbesondere eine beschränkte Folge in \(W^{1,p}(\Omega)\). Sei nun \(u_{n_k}\) eine beliebige Teilfolge von \(u_n\). Diese ist wiederum beschränkt in \(W^{1,p}(\Omega)\) und wegen der kompakten Einbettung in \(L^p(\Omega)\) existiert ein \(v \in L^p(\Omega)\) und eine Teilfolge \(u_{n_{k_l}}\) von \(u_{n_k}\), sodass \(u_{n_{k_l}} \to v\) in \(L^p(\Omega)\) für \(l \to \infty\). Da nach Voraussetzung \(u_n \rightharpoonup u\) in \(W^{1,p}(\Omega)\), gilt insbesondere \(u_{n_{k_l}} \rightharpoonup u\) in \(W^{1,p}(\Omega)\), also insbesondere auch in \(L^p(\Omega)\). Da wegen \(u_{n_{k_l}} \to v\) in \(L^p(\Omega)\) auch \(u_{n_{k_l}} \rightharpoonup v\) in \(L^p(\Omega)\) gilt, folgt wegen der Eindeutigkeit des schwachen Grenzwertes \(v=u\), also \(u_{n_{k_l}} \to u\) in \(L^p(\Omega)\).
Da die Teilfolge \(u_{n_k}\) beliebig war, liefert nun das Teilfolgenprinzip die starke Konvergenz für die gesamte Folge, also \(u_n \to u\) in \(L^p(\Omega)\).


doglover
Senior
Dabei seit: 20.02.2015
Mitteilungen: 342
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-15 22:24    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo ihr Beiden,

nur kurz der Vollständigkeit halber. Die Äquivalenz gilt nur modulo Teilfolgenauswahl.

Viele Grüße

doglover


Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1791
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-15 11:03    [Diesen Beitrag zitieren]

Die kompakte Einbettung benötigst du, um aus \(u_n \rightharpoonup u\) in \(W^{1,p}(\Omega)\) die starke Konvergenz \(u_n \to u\) in \(L^p(\Omega)\) zu bekommen. Mit nur stetiger Einbettung würdest du wieder nur schwache Konvergenz bekommen.


MiMo
Aktiv
Dabei seit: 11.01.2016
Mitteilungen: 81
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-15 09:36    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke für die schnelle Antwort! Nir damit ich das richtig verstanden habe: wir benutzen Rellich-Kondrachov aber es reicht schon, dass wir wissen dass \(W^1,p\) stetig in \(L^p\) eingebettet ist, also dass die Einbettung sogar kompakt ist braucht man hier nicht unbedingt oder?


Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1791
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-14 21:56    [Diesen Beitrag zitieren]

Hey MiMo,

die Hinrichtung lässt sich mit dem Satz von Rellich-Kondrachov beweisen. Zumindest, wenn \(\Omega\) ein beschränktes Lipschitz-Gebiet ist und \(p< \infty\) gilt. Diesen Satz findest du bei Wikipedia und vermutlich in jedem Buch über PDEs oder Sobolev-Räume. Für \(p= \infty\) wäre es mir neu.


MiMo
Aktiv
Dabei seit: 11.01.2016
Mitteilungen: 81
Herkunft:
 Themenstart: 2019-04-14 19:07    [Diesen Beitrag zitieren]

Guten Abend,

Ich habe in einem Buch über PDE's im Anfangskapitel, in dem noch einmal kurz Funktionalanalysis wiederholt wird, gelesen, dass gilt

fed-Code einblenden

Die Rückrichtung ist klar, wenn man sich die Funktion im Dualraum von
\(L^p(\Omega)\) passend bastelt. Allerdings ist mir noch nicht klar wie die Hinrichtung folgt.
Hat hier vielleicht einer eine Idee oder weiß wo ich das nachschlagen könnte? Ich habe schon bisschen gesucht aber noch nichts gefunden.

LG, MiMo


 
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