Die Mathe-Redaktion - 07.12.2019 19:39 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 625 Gäste und 21 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 

Antworte auf:  Vektor-Laplace mit divergenzfreier rechter Seite impliziert Lösung ist divergenzfrei von trewqtrewq
Forum:  Mehrdim. Differentialrechnung, moderiert von: Curufin epsilonkugel

[Zur Forum-Gliederung] [Wie man Fragen beantwortet]

  Alle registrierten Mitglieder können Mitteilungen schreiben.
Benutzername:
Passwort:
Nachricht-Icon:                     
                    
                  
Nachricht:


 
 


Eingabehilfen (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-Bereich] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-Bereich][show-Bereich] [Quelltext [num.]][?]
 Zeige Vorschau      Schreibe im fedgeoFormeleditor oder mit Latex.

Wähle Smilies für Deine Nachricht: :-) :-( :-D ;-) :-0 8-) :-? :-P :-|
Optionen: Deaktiviere HTML in dieser Nachricht
Deaktiviere MATHML in dieser Nachricht. Wenn Dein Text $-Zeichen enthält, die nicht LaTeX-Formeln begrenzen.
Deaktiviere Smilies in dieser Nachricht
Zeige die Signatur (Kann in 'Mein Profil' editiert werden.)
    [Abbrechen]
 
Beachte bitte die [Forumregeln]


Themenübersicht
doglover
Senior
Dabei seit: 20.02.2015
Mitteilungen: 321
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-16 21:16    [Diesen Beitrag zitieren]

Ja dort wird behauptet, dass $u$ divergenzfrei ist auf bounded polygonal domains, wenn $div(f)=0$ gilt (worunter für mich auch ein $L$-förmiges Gebiet fällt, obwohl ich die exakte Definition nicht kenne...).
Wahrscheinlich kennst du dich in der Literatur in der Hinsicht ohnehin besser aus als ich, aber schau mal hier in Kapitel 2.3.2 unter Gleichung (2.26). Das scheint mit deinem Variationsproblem übereinzustimmen. In Theorem 2.2.1 scheint dort eine hinreichende Bedingung für die $H^2$-Regularität der Lösung $\Delta \Phi=\text{div}(u)$ zu stehen, die von der genauen Geometrie des Gebietes abhängt. Es scheint recht aufwendig zu sein, da man offenbar Dirichleteigenwerte explizit bestimmen oder zumindest geeignet abschätzen muss.

Mehr kann ich dir leider nicht helfen.

Viele Grüße und noch viel Erfolg

doglover


trewqtrewq
Aktiv
Dabei seit: 01.08.2016
Mitteilungen: 76
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-15 22:50    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo doglover,

erstmal vielen Dank für deine Antwort. Ich würde das ganze gerne auf ein L-förmiges Gebiet anwenden, also mit einspringender Ecke.

Ich glaube in Kapitel zwei von hier  wurde sowas ähnliches gemacht wie du vorgeschlagen hast. In dem Paper interessiere ich mich für den Fall $\alpha=0$. Auf Seite zwei mittig wird ja ganz eindeutig behauptet, dass wenn div f=0 auch div u=0, solange das Problem wohlgestellt ist. Und im Satz darüber wird gesagt, dass eine eindeutige Lösung für $\alpha=0$ existiert.
Gibst du mir erstmal recht, dass sie behaupten, dass auch für ein L-förmiges Gebiet div u=0 impliziert wird?


doglover
Senior
Dabei seit: 20.02.2015
Mitteilungen: 321
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-15 22:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo trewqtrewq,

ich weiß nicht ob es hilft, aber zunächst hat für beliebiges beschränktes, offenes $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ das Randwertproblem:

$\Delta \Phi=g$, $\Phi|_{\partial\Omega}=0$ eine eindeutige schwache Lösung $\Phi\in H^1_0(\Omega)$ für jedes $g\in L^2(\Omega)$.

Falls $\Omega$ einen $C^2$-Rand hat, so gilt sogar $\Phi\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$. Ein $C^2$-Rand würde hier also für deine Argumentation reichen. Für beliebige Ränder hat man zumindest noch die innere Regularität $\Phi\in H_{loc}^2(\Omega)$. Falls $\Omega$ nur einen $C^1$- oder Lipschitzrand hat, kann man $\Omega$ evtl. von innen heraus mit kompakt enthaltenen Mengen "ausschöpfen" und einen geeigneten Grenzübergang machen, um das gewünschte zu erhalten? Ist jetzt nur eine vage Idee.

Was für eine Regularität wird denn an den Rand von $\Omega$ vorausgesetzt?

Viele Grüße

doglover



trewqtrewq
Aktiv
Dabei seit: 01.08.2016
Mitteilungen: 76
Herkunft:
 Themenstart: 2019-04-15 01:41    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

betrachte die Lösung $u \in H_0(curl)\cap H(div)$  von
 
$\langle curl \ u, curl \ v \rangle + \langle div \ u, div \ v\rangle=\langle f,v\rangle$ (1).
 
 Hier ist $f \in L^2(\Omega), div f=0, d.h. \langle f, grad \ q\rangle =0 \ \forall q \in H^1_0(\Omega)$.  
$H_0(curl)=\{u \in L^2(\Omega, \mathbb{R}^3) \ | \ curl \ u \in L^2(\Omega, \mathbb{R}^3), u \times n=0\}$  
$H_0(div)=\{u \in L^2(\Omega, \mathbb{R}^3) \ | \ div \ u \in L^2(\Omega, \mathbb{R}^3)\}$  
Folgt daraus, dass $div \ u=0$?  
Betrachte die Lösung von $\Delta \Phi=div \ u$. Wenn $\Phi \in H^2(\Omega)$, dann können wir (1) mit $grad \ \Phi$ testen und bekommen $\langle div \ u, div \ u\rangle =0$, da curl grad =0 and div f=0. Aber was macht man, wenn $\Phi \not \in H^2(\Omega)$? Dies kann auftreten, wenn $\Omega$ einen nicht glatten Rand hat und nicht convex ist?
Folgt dann immer noch, dass div u =0?


 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]