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svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 27
Herkunft:
 Beitrag No.1788, eingetragen 2019-08-18 00:54    [Diesen Beitrag zitieren]


Aufgabe 3 - V611123

Beweisen Sie die folgende Behauptung!
In einem gleichseitigen Dreieck ist die Summe der Abstände eines im Inneren des Dreiecks gelegenen Punktes von den Dreiecksseiten gleich der Höhe des Dreiecks.

Wir bezeichnen mit \(\Delta ABC\) das Dreieck mit den Eckpunkten \(A\), \(B\) und \(C\). Da das Dreieck gleichseitig ist, gilt für die den Eckpunkten gegenüberliegenden Seiten \(a = \left| \overline{BC} \right|\), \(b = \left| \overline{AC} \right|\) und \(c = \left| \overline{AB} \right|\), dass \( a = b = c \) ist. Diese Seiten möchten wir alle als Grundseite \(g = a = b = c\) bezeichnen.

Liegt im Inneren des Dreiecks ein Punkt \(M\), so entstehen die drei Dreiecke \(\Delta ABM\), \(\Delta BCM\) und \(\Delta CAM\). Diese Dreiecke besitzen ebenfalls die Grundseite \(g\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(\Delta ABC\) mit Grundseite \(g\) und Höhe \(h\) ist genauso groß wie die Summe der Flächeninhalte der drei kleineren Dreiecke. Die Höhen in \(\Delta ABM\), \(\Delta BCM\) und \(\Delta CAM\) nennen wir \(h_{1}\), \(h_{2}\) und \(h_{3}\). Dies sind auch die Abstände von \(M\) zur entsprechenden Grundseite.

Es gilt somit
\[ \dfrac{g h}{2} = \dfrac{g h_{1}}{2} + \dfrac{g h_{2}}{2} + \dfrac{g h_{3}}{2} = \dfrac{g}{2} \cdot \left\{ h_{1} + h_{2} + h_{3} \right\}\] und daher folgt
\[ h = h_{1} + h_{2} + h_{3},\] was die Behauptung zeigt.

PS: Wer noch eine hübsche Skizze in TiKZ setzen könnte, dem wäre ich zu Dank verpflichtet.


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 27
Herkunft:
 Beitrag No.1787, eingetragen 2019-08-18 00:22    [Diesen Beitrag zitieren]


Aufgabe 3 - V611223

Diskutieren Sie die Funktion
\[f \left( x \right) = \begin{cases}
                       \dfrac{\left| x \right|}{x} \, & , & \, \text{für} \, \left| x \right| > 1, \\
                       x^3 \, & , & \, \text{für} \, \left| x \right| \leq 1.
                       \end{cases}\] Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von der Bildkurve der Funktion, der Abzissenachse und den Geraden \(x = -2\) und \(x = 2\) eingeschlossen wird.

1) Wir diskutieren kurz die Funktion. Es gilt
\[
  f \left( x \right) = \begin{cases}
                       -1 \, & , & \, \text{für} \, x < -1, \\
                       x^3 \, & , & \, \text{für} \, -1 \leq x \leq 1, \\
                       1 \, & , & \, \text{für} \, x > 1
                       \end{cases}
\] für die Funktion. Damit ist die Funktion \(f\) für \(x < -1\) konstant mit Funktionswert \(-1\). An der Stelle \(x = -1\) ist der Übergang stetig, aber nicht differenzierbar. Für \(-1 \leq x \leq 1\) gilt die Vorschrift \(f \left( x \right) = x^3\) und somit liegt an \(x = 0\) ein Wendepunkt vor, da \(f^{\prime \prime} \left( 0 \right) = 6 \cdot 0 = 0\) und \(f^{\prime \prime \prime} \left( 0 \right) = 6 > 0\) gilt. An der Stelle \(x = 1\) ist der Übergang stetig, aber nicht differenzierbar. Ferner ist die Funktion \(f\) für \(x > 1\) konstant mit Funktionswert \(1\).

Die Funktion \(f\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, da
\[- f \left( - x \right) = f \left( x \right)\] für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt.

2) Wegen der Punktsymmetrie kann der betrachtete Flächeninhalt nach
\[A_{\text{gesamt}} = 2 \cdot \int\limits_{0}^{2} f \left( x \right) \, \text{d}x = 2 \cdot \left\{ \int\limits_{0}^{1} x^{3} \, \text{d}x + \int\limits_{1}^{2} 1 \, \text{d}x \right\}\] berechnet werden. Daher gilt
\[A_{\text{gesamt}} = 2 \cdot \left\{ \left[ \dfrac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} + 1 \right\} = 2 \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{5}{2}.\]


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 27
Herkunft:
 Beitrag No.1786, eingetragen 2019-08-18 00:10    [Diesen Beitrag zitieren]

Es hält geistig fit, gelegentlich solche Aufgaben zu bearbeiten. Außerdem ist es durchaus schön zu sehen, dass man noch manches lösen kann. smile


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 957
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.1785, eingetragen 2019-08-17 23:16    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-17 22:38 - svrc in Beitrag No. 1784 schreibt:
PS: Irgendwie sieht die Gleichungsnummerierung in meiner Vorschau zwar richtig aus, aber im Thread erscheint sie bei mir falsch. Ich weiß aber nicht, woran das liegt. Bitte beim Abtippen beachten.
Das ist kein Problem. Im Latex-Text passe ich es entsprechend deiner Vorstellungen an.
Vielen Dank für die Lösungen.

LG Steffen


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 27
Herkunft:
 Beitrag No.1784, eingetragen 2019-08-17 22:38    [Diesen Beitrag zitieren]


Aufgabe 15 - V 600915 (Möndchen des Hippokrates)

Beweisen Sie den folgenden Satz:

"Die Summe der beiden Mondsicheln \(AC\) und \(BC\) über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Fläche des Dreiecks \(ABC\)." (Hippokrates)

Wir führen die folgenden Bezeichnungen ein:
\[
  \begin{eqnarray*}
  A_{\text{Dreieck}} & : & \text{Flächeninhalt des Dreiecks} \, ABC, \\
  A_{\text{Halbkreis}, \overline{AC}} & : & \text{Flächeninhalt des Halbkreises über der Kathete} \, b = \left| \overline{AC} \right|, \\
  A_{\text{Halbkreis}, \overline{BC}} & : & \text{Flächeninhalt des Halbkreises über der Kathete} \, a = \left| \overline{BC} \right|, \\
  A_{\text{Halbkreis}, \overline{AB}} & : & \text{Flächeninhalt des Halbkreises über der Hypotenuse} \, c = \left| \overline{AB} \right|, \\
  A_{\text{grün}} & : & \text{Flächeninhalt der grün markierten Mondsichel}.
  \end{eqnarray*}
\] Es gilt
\[\begin{equation}
A_{\text{Dreieck}} + A_{\text{Halbkreis}, \overline{AC}} + A_{\text{Halbkreis}, \overline{BC}} = A_{\text{Halbkreis}, \overline{AB}} + A_{\text{grün}}.
\end{equation}\] Nach dem Satz des Pythagoras gilt
\[a^2 + b^2 = c^2\] und somit
\[A_{\text{Halbkreis}, \overline{AC}} + A_{\text{Halbkreis}, \overline{BC}} = \dfrac{\pi b^2}{8} + \dfrac{\pi a^2}{8} = \dfrac{\pi c^{2}}{8} = A_{\text{Halbkreis}, \overline{AB}}.\] Damit folgt aus \((1)\)
\[A_{\text{Dreieck}} = A_{\text{grün}},\] was die Behauptung beweist.

PS: Irgendwie sieht die Gleichungsnummerierung in meiner Vorschau zwar richtig aus, aber im Thread erscheint sie bei mir falsch. Ich weiß aber nicht, woran das liegt. Bitte beim Abtippen beachten.


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 27
Herkunft:
 Beitrag No.1783, eingetragen 2019-08-17 21:36    [Diesen Beitrag zitieren]


Aufgabe 4 - V611014

Von einem Dreieck sind gegeben: \(a = 5 \text{cm}\), \(\beta = 47^{\circ}\) und \(\gamma = 55^{\circ}\).

Berechnen Sie \(b\), \(c\) und \(\alpha\).

Da die Winkel \(\beta\) und \(\gamma\) an der Seite \(a\) anliegen, ist dieses Dreieck nach den Kongruenzsätzen bis auf Kongruenz eindeutig konstruierbar.

Für den Winkel \(\alpha\) gilt nach Innenwinkelsummensatz im Dreieck
\[\alpha = 180^{\circ} - \beta - \gamma = 180^{\circ} - 47^{\circ} - 55^{\circ} = 78^{\circ}.\]
Mit dem Sinussatz gilt
\[\dfrac{b}{a} = \dfrac{\sin \left( \beta \right)}{\sin \left( \alpha \right)}\] und daher
\[b = a \cdot \dfrac{\sin \left( \beta \right)}{\sin \left( \alpha \right)} = 5 \text{cm} \cdot \dfrac{\sin \left( 47^{\circ} \right)}{\sin \left( 78^{\circ} \right)} \approx 3,74 \text{cm}.\]
Ebenso folgt mit dem Sinussatz
\[c = a \cdot \dfrac{\sin \left( \gamma \right)}{\sin \left( \alpha \right)} = 5 \text{cm} \cdot \dfrac{\sin \left( 55^{\circ} \right)}{\sin \left( 78^{\circ} \right)} \approx 4,19 \text{cm}.\]


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 957
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.1782, eingetragen 2019-08-17 21:14    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-17 19:58 - HyperPlot in Beitrag No. 1779 schreibt:
Gesetz dem Falle, dass ich mit meiner Annahme richtig liege, kann ich dann ggf. eine neue Lösung mit geeigneten Graphiken erstellen. So oder so fehlen mir da einige Ergänzungen bei der Lösung.  

Ohnehin scheint mir die aktuelle Lösung (die, wie gesagt, vielleicht nicht stimmt) außergewöhnlich schwer für Klasse 10.
Warum denn nicht. Jede Lösung ist willkommen, vor allem wenn sie eine falsche korrigiert.

LG Steffen


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 27
Herkunft:
 Beitrag No.1781, eingetragen 2019-08-17 20:46    [Diesen Beitrag zitieren]


Aufgabe 4 - V6010004

Bestimmen Sie die Unbekannten aus
\[
  \begin{eqnarray}
  2^{x} \cdot 2^{y} & = & 2^{22}, \\
  x - y & = & 4.
  \end{eqnarray}
\]

Wir können \((1)\) umschreiben zu
\[2^x \cdot 2^y = 2^{x + y} = 2^{22},\] sodass wir das lineare Gleichungssystem
\[
  \begin{eqnarray}
  x + y & = & 22, \\
  x - y & = & 4
  \end{eqnarray}
\] lösen müssen. Aus \((4)\) folgt \(x = y + 4\) und setzen wir dieses Ergebnis in \((3)\) ein, so ergibt sich
\[x + y = (y + 4) + y = 2y + 4 = 22\] und somit \(y = 9\) und daher \(x = 13\).

PS: Irgendwie sieht die Gleichungsnummerierung in meiner Vorschau zwar richtig aus, aber im Thread erscheint sie bei mir falsch. Ich weiß aber nicht, woran das liegt. Bitte beim Abtippen beachten.


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 27
Herkunft:
 Beitrag No.1780, eingetragen 2019-08-17 20:35    [Diesen Beitrag zitieren]


Aufgabe 1 - V601001

Die Quersumme einer zweistelligen Zahl ist \(9\). Multipliziert man die Zahl mit \(5\) und subtrahiert man von dem Produkt \(9\), so erhält man eine zweistellige Zahl mit denselben Ziffern in umgekehrter Reihenfolge.

Wie heißt die zweistellige Zahl?

Wir bezeichnen die zweistellige Zahl mit \(a\). Wegen der zweiten Bedingung, dass \(5a - 9 < 100\) sein muss, muss \(a < 22\) gelten. Daher ist der gesuchte Kandidat \(18\), da
\[5 \cdot 18 - 9 = 90 - 9 = 81\] ist, somit die zweite Bedingung erfüllt und \(18\) als Quersumme \(9\) besitzt.


HyperPlot
Aktiv
Dabei seit: 06.01.2019
Mitteilungen: 302
Herkunft: Kneedeep in the Dead
 Beitrag No.1779, eingetragen 2019-08-17 19:58    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-17 19:01 - HyperPlot in Beitrag No. 1776 schreibt:
Viel gravierender ist allerdings, dass die aktuelle Lösung von Aufgabe

011034
2019-08-17 14:58 - HyperPlot in Beitrag No. 1769 schreibt:
2019-08-13 18:23 - stpolster in Beitrag No. 1745 schreibt:
Ich benötige dieses Bild in tikz:


Danke
Steffen



Die Fasskreise zur Sehne $|O_1 O_2|$ aus dem Bild oben lassen sich schon  konstruieren.

Wenn ich allerdings die Bahnkurve der Schnittpunkte aufzeichne, erhalte ich einen Kreis, dessen Radius vom Startwinkel des großen Zeigers abhängig ist. Auch habe ich verschiedene Radienverhältnisse von großer und kleiner Uhr getestet.

Entweder mache etwas falsch, ansonsten wage ich es, die in
mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/08/Loesungen_MaOlympiade.pdf
angegebene Lösung anzuzweifeln.


\pgfmathsetmacro\BetaStart{11} % Startwinkel große Uhr


\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % Startwinkel große Uhr




latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,10,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}



Ergänzung: Graphik als animierter PDF-Inhalt mit dem animate-Paket.

Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




Zunächst: Einfaches Beispiel mit dem animate-Paket


sub.tex
latex
% sub.tex
 
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\def\Range{0,30,60,90,120,360}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[]
%\useasboundingbox (-4,-4) rectangle (4,4);
\coordinate[] (M) at (0,0);
 
\draw[] (M) circle[radius=3];
\draw[name path=kreis] (M) circle[radius=1.4];
 
\draw[name path=zeiger] (M) -- (90-\Winkel:3);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=kreis and zeiger, name=S}] ;
\coordinate[label=left:$S_{\w}$] (S-\w) at (S-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\makeatother
 
\draw[red] plot[mark=*] coordinates{\List};
\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){List: \List};
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}


main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop,controls]{1}{sub}{}{}
\end{document}






Uhr-Beispiel mit dem animate-Paket
Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




sub.tex
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,3,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}
 



main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[]{article}
\usepackage{tikz}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop, controls]{1}{Uhr01b}{}{}
\end{document}








falsch zu sein scheint.



2019-08-17 17:51 - stpolster in Beitrag No. 1772 schreibt:
@Hyperplot: Das ist eine sensationelle Animation. Mein Respekt.
Ob die offizielle Lösung im PDF korrekt ist, kann ich leider nicht einschätzen.

LG Steffen

Das ist schon klar, es ist auch nicht sinnvoll, animate-Anteile in eine normale PDF aufzunehmen.
Höchstens man schreibt direkt am Anfang einen großen Hinweis, dass die optimale Anzeige der PDF nur mit dem AdobeReader garantiert ist (mit Link zur AdobeSeite).

Stattdessen sollte man sowas als freiwilliges Konsultationsobjekt
verlinken (Paket hyperref), entweder zu dem gif-Bild oder zu einer Zusatz-PDF, die nur die Animation enthält.

Viel gravierender ist allerdings, dass die aktuelle Lösung von Aufgabe

011034
2019-08-17 14:58 - HyperPlot in Beitrag No. 1769 schreibt:
2019-08-13 18:23 - stpolster in Beitrag No. 1745 schreibt:
Ich benötige dieses Bild in tikz:


Danke
Steffen



Die Fasskreise zur Sehne $|O_1 O_2|$ aus dem Bild oben lassen sich schon  konstruieren.

Wenn ich allerdings die Bahnkurve der Schnittpunkte aufzeichne, erhalte ich einen Kreis, dessen Radius vom Startwinkel des großen Zeigers abhängig ist. Auch habe ich verschiedene Radienverhältnisse von großer und kleiner Uhr getestet.

Entweder mache etwas falsch, ansonsten wage ich es, die in
mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/08/Loesungen_MaOlympiade.pdf
angegebene Lösung anzuzweifeln.


\pgfmathsetmacro\BetaStart{11} % Startwinkel große Uhr


\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % Startwinkel große Uhr




latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,10,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}



Ergänzung: Graphik als animierter PDF-Inhalt mit dem animate-Paket.

Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




Zunächst: Einfaches Beispiel mit dem animate-Paket


sub.tex
latex
% sub.tex
 
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\def\Range{0,30,60,90,120,360}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[]
%\useasboundingbox (-4,-4) rectangle (4,4);
\coordinate[] (M) at (0,0);
 
\draw[] (M) circle[radius=3];
\draw[name path=kreis] (M) circle[radius=1.4];
 
\draw[name path=zeiger] (M) -- (90-\Winkel:3);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=kreis and zeiger, name=S}] ;
\coordinate[label=left:$S_{\w}$] (S-\w) at (S-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\makeatother
 
\draw[red] plot[mark=*] coordinates{\List};
\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){List: \List};
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}


main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop,controls]{1}{sub}{}{}
\end{document}






Uhr-Beispiel mit dem animate-Paket
Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




sub.tex
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,3,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}
 



main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[]{article}
\usepackage{tikz}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop, controls]{1}{Uhr01b}{}{}
\end{document}








falsch zu sein scheint.


Ich habe mawi angeschieben.
Falls die Musterlösung kommt, kann man weiter entscheiden.

Gesetz dem Falle, dass ich mit meiner Annahme richtig liege, kann ich dann ggf. eine neue Lösung mit geeigneten Graphiken erstellen. So oder so fehlen mir da einige Ergänzungen bei der Lösung.  

Ohnehin scheint mir die aktuelle Lösung (die, wie gesagt, vielleicht nicht stimmt) außergewöhnlich schwer für Klasse 10.

\(\endgroup\)

weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4887
Herkunft:
 Beitrag No.1778, eingetragen 2019-08-17 19:06    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-17 18:44 - stpolster in Beitrag No. 1775 schreibt:
2019-08-17 18:29 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1774 schreibt:
1. Die Lösung ist bestimmt nicht richtig. Es müssten m. E. nur 12 sein.
Du hast recht. Die Lösung ist falsch.
50! = 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000
also deine 12 Nullen.

LG Steffen

Naja, aber "ausrechnen" von 50! ist hier natürlich strengstens verboten!  biggrin

Tatsächlich ist ja die Vielfachheit eines Primfaktors $p$ in $n!$ bekanntlich einfach
\[\sum\limits_{k=1}^{\lfloor\log_p n\rfloor} \left\lfloor \frac n{p^k}\right\rfloor\] was speziell für $p=5$ dann tatsächlich \[\left\lfloor\frac{50}5\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{25}\right\rfloor=12\] ergibt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1775 begonnen.]


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 27
Herkunft:
 Beitrag No.1777, eingetragen 2019-08-17 19:06    [Diesen Beitrag zitieren]


Aufgabe 3 - V601003

Zerlege \(900\) so in zwei Summanden, dass die Summe ihrer reziproken gleich dem reziproken Wert von 221 ist!

Die beiden gesuchten Summanden bezeichnen wir mit \(a\) und \(b\). Die beiden Bedingungen lauten
\[\begin{eqnarray}
  a + b & = & 900, \\
  \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} & = & \dfrac{1}{221}.
  \end{eqnarray}\] \((2)\) lässt sich zu
\[\dfrac{a + b}{a b} = \dfrac{900}{a b} = \dfrac{1}{221}\] umschreiben, sodass
\[\begin{equation}
  ab = 900 \cdot 221 = 198900
  \end{equation}\] gilt. Mit \(a = 900 - b\) aus \((1)\) folgt
\[\begin{eqnarray*}
  a \cdot b & = & 198900 \\
  \left( 900 - b \right) \cdot b & = & 198900 \\
  b^2 - 900 \cdot b & = & - 198900 \\
  b^2 - 900 \cdot b + 450^2 & = & 450^2 - 198900 \\
  \left( b - 450 \right)^2 & = & 3600
  \end{eqnarray*}\] und somit die Möglichkeiten \(b_{1} = 390\) und \(b_{2} = 510\). Somit lauten die beiden Summanden - unter Beachtung der Kommutativität der Addition - dementsprechend \(390\) und \(510\).

Als Probe: Es ist
\[\dfrac{1}{390} + \dfrac{1}{510} = \dfrac{900}{510 \cdot 390} = \dfrac{30}{510 \cdot 13} = \dfrac{1}{17 \cdot 13} = \dfrac{1}{221}\] und offensichtlich gilt \(390 + 510 = 900\).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1775 begonnen.]


HyperPlot
Aktiv
Dabei seit: 06.01.2019
Mitteilungen: 302
Herkunft: Kneedeep in the Dead
 Beitrag No.1776, eingetragen 2019-08-17 19:01    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-17 17:51 - stpolster in Beitrag No. 1772 schreibt:
@Hyperplot: Das ist eine sensationelle Animation. Mein Respekt.
Ob die offizielle Lösung im PDF korrekt ist, kann ich leider nicht einschätzen.

LG Steffen

Das ist schon klar, es ist auch nicht sinnvoll, animate-Anteile in eine normale PDF aufzunehmen.
Höchstens man schreibt direkt am Anfang einen großen Hinweis, dass die optimale Anzeige der PDF nur mit dem AdobeReader garantiert ist (mit Link zur AdobeSeite).

Stattdessen sollte man sowas als freiwilliges Konsultationsobjekt
verlinken (Paket hyperref), entweder zu dem gif-Bild oder zu einer Zusatz-PDF, die nur die Animation enthält.

Viel gravierender ist allerdings, dass die aktuelle Lösung von Aufgabe

011034
2019-08-17 14:58 - HyperPlot in Beitrag No. 1769 schreibt:
2019-08-13 18:23 - stpolster in Beitrag No. 1745 schreibt:
Ich benötige dieses Bild in tikz:


Danke
Steffen



Die Fasskreise zur Sehne $|O_1 O_2|$ aus dem Bild oben lassen sich schon  konstruieren.

Wenn ich allerdings die Bahnkurve der Schnittpunkte aufzeichne, erhalte ich einen Kreis, dessen Radius vom Startwinkel des großen Zeigers abhängig ist. Auch habe ich verschiedene Radienverhältnisse von großer und kleiner Uhr getestet.

Entweder mache etwas falsch, ansonsten wage ich es, die in
mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/08/Loesungen_MaOlympiade.pdf
angegebene Lösung anzuzweifeln.


\pgfmathsetmacro\BetaStart{11} % Startwinkel große Uhr


\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % Startwinkel große Uhr




latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,10,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}



Ergänzung: Graphik als animierter PDF-Inhalt mit dem animate-Paket.

Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




Zunächst: Einfaches Beispiel mit dem animate-Paket


sub.tex
latex
% sub.tex
 
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\def\Range{0,30,60,90,120,360}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[]
%\useasboundingbox (-4,-4) rectangle (4,4);
\coordinate[] (M) at (0,0);
 
\draw[] (M) circle[radius=3];
\draw[name path=kreis] (M) circle[radius=1.4];
 
\draw[name path=zeiger] (M) -- (90-\Winkel:3);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=kreis and zeiger, name=S}] ;
\coordinate[label=left:$S_{\w}$] (S-\w) at (S-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\makeatother
 
\draw[red] plot[mark=*] coordinates{\List};
\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){List: \List};
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}


main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop,controls]{1}{sub}{}{}
\end{document}






Uhr-Beispiel mit dem animate-Paket
Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




sub.tex
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,3,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}
 



main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[]{article}
\usepackage{tikz}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop, controls]{1}{Uhr01b}{}{}
\end{document}








falsch zu sein scheint.
\(\endgroup\)

stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 957
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.1775, eingetragen 2019-08-17 18:44    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-17 18:29 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1774 schreibt:
1. Die Lösung ist bestimmt nicht richtig. Es müssten m. E. nur 12 sein.
Du hast recht. Die Lösung ist falsch.
50! = 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000
also deine 12 Nullen.

LG Steffen


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5076
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.1774, eingetragen 2019-08-17 18:29    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-17 17:51 - stpolster in Beitrag No. 1772 schreibt:
1. Es sind Endnullen gemeint. Habe ich geändert, allerdings auch schon eine Lösung.

3. DM ist tatsächlich richtig. Die Bezeichnung wurde erst 1964 in $Mark der Deutschen Notenbank = MDN" und erst 1968 in "Mark" geändert.

1. Die Lösung ist bestimmt nicht richtig. Es müssten m. E. nur 12 sein.

3. Das wusste ich nicht und ist interessant! Du könntest diese Information der Aufgabe hinzufügen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1772 begonnen.]


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 27
Herkunft:
 Beitrag No.1773, eingetragen 2019-08-17 18:26    [Diesen Beitrag zitieren]


Aufgabe 2 - V611222

Es ist zu beweisen, dass das Produkt von sechs aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen stets durch 720 teilbar ist.

Der Binomialkoeffizient für nichtnegative ganze Zahlen \(k\) und \(n\) mit \(n \geq k\) ist durch
\[\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \dfrac{n!}{\left( n - k \right)! \cdot k!}\] definiert. Dieser ist in diesem Falle stets eine nichtnegative ganze Zahl. Es gilt \(720 = 6!\). Wir bezeichnen das Produkt von sechs aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen mit
\[n_{k} = k \cdot \left( k + 1 \right) \cdot \left( k + 2 \right) \cdot \left( k + 3 \right) \cdot \left( k + 4 \right) \cdot \left( k + 5 \right) = \prod\limits_{j = k}^{k + 5} j\] für eine beliebige natürliche Zahl \(k\). Mit der Definition des Binomialkoeffizienten und $720 = 6!$ folgt
\[\begin{eqnarray*}
  n_{k} & = & \prod\limits_{j = k}^{k + 5} j \\
        & = & 6! \cdot \dfrac{\left( \prod\limits_{j = 1}^{k - 1} j \right) \cdot \left( \prod\limits_{j = k}^{k + 5} j \right)}{6! \cdot \left( \prod\limits_{j = 1}^{k - 1} j \right)} \\
        & = & 6! \cdot \dfrac{\left( k + 5 \right)!}{6! \cdot \left( k - 1 \right)!} \\
        & = & 720 \cdot \begin{pmatrix} k + 5 \\ k - 1 \end{pmatrix}
  \end{eqnarray*}\] und da der Binomialkoeffizient stets eine nichtnegative ganze Zahl ist, folgt die Behauptung.


stpolster
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 Beitrag No.1772, eingetragen 2019-08-17 17:51    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke für die Unterstützung.
Ich habe die Datei "Vorolympiade" eben erneuert, Korrekturen durchgeführt, Lösungen aufgenommen und Aufgaben ergänzt.

Zu den Hinweisen:
1. Es sind Endnullen gemeint. Habe ich geändert, allerdings auch schon eine Lösung.
2. Es ist eine Balkenwaage gemeint.
3. DM ist tatsächlich richtig. Die Bezeichnung wurde erst 1964 in $Mark der Deutschen Notenbank = MDN" und erst 1968 in "Mark" geändert.

@Hyperplot: Das ist eine sensationelle Animation. Mein Respekt.
Ob die offizielle Lösung im PDF korrekt ist, kann ich leider nicht einschätzen.

LG Steffen


StrgAltEntf
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 Beitrag No.1771, eingetragen 2019-08-17 16:56    [Diesen Beitrag zitieren]

V611035
Wieviel Nullen hat die Zahl 50! (50 Fakultät)?

Ist hier tatsächlich die Anzahl der Nullen gesucht, oder doch vielmehr, auf wie viele Nullen die Zahl endet?

V611135
Unter 13 gleichgroßen Kugeln weicht das Gewicht einer Kugel von dem der anderen ab.
a) Wie kann man mit 3 Wägungen ermitteln, welche Kugel es ist?
b) Wann kann man entscheiden,ob die Kugel leichter oder schwerer als die übrigen ist?

Dies ist eine altbekannte Knobelaufgabe, die auch schon häufiger auf dem MP Thema war. Hier fehlt m. E. die Information, welche Art von Waage man zur Verfügung hat. Üblicherweise ist das eine Balkenwaage ohne weitere Gewichtsstücke. Müsste diese Information noch ergänzt werden?


svrc
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 Beitrag No.1770, eingetragen 2019-08-17 15:32    [Diesen Beitrag zitieren]


Aufgabe 3 - V610933

Für alle ungeraden Zahlen \(n\) ist die Differenz \(n^2 - 1\) durch \(8\) teilbar. Beweisen Sie diese Aussage!

Da \(n\) eine ungerade ganze Zahl ist, gibt es eine ganze Zahl \(k\) so, dass \(n = 2k + 1\) ist. Es gilt
\[n^2 - 1 = (2k + 1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k + 1 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k \left( k + 1 \right).\] Da in dem Produkt die zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen \(k\) und \(k + 1\) auftauchen, ist genau eine davon auch durch \(2\) teilbar. Somit ist \(n^2 - 1\) für alle ungeraden ganzen Zahlen \(n\) durch \(8\) teilbar.


HyperPlot
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 Beitrag No.1769, eingetragen 2019-08-17 14:58    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-13 18:23 - stpolster in Beitrag No. 1745 schreibt:
Ich benötige dieses Bild in tikz:


Danke
Steffen



Die Fasskreise zur Sehne $|O_1 O_2|$ aus dem Bild oben lassen sich schon  konstruieren.

Wenn ich allerdings die Bahnkurve der Schnittpunkte aufzeichne, erhalte ich einen Kreis, dessen Radius vom Startwinkel des großen Zeigers abhängig ist. Auch habe ich verschiedene Radienverhältnisse von großer und kleiner Uhr getestet.

Entweder mache etwas falsch, ansonsten wage ich es, die in
mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/08/Loesungen_MaOlympiade.pdf
angegebene Lösung anzuzweifeln.


\pgfmathsetmacro\BetaStart{11} % Startwinkel große Uhr


\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % Startwinkel große Uhr




latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,10,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}



Ergänzung: Graphik als animierter PDF-Inhalt mit dem animate-Paket.

Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




Zunächst: Einfaches Beispiel mit dem animate-Paket


sub.tex
latex
% sub.tex
 
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\def\Range{0,30,60,90,120,360}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[]
%\useasboundingbox (-4,-4) rectangle (4,4);
\coordinate[] (M) at (0,0);
 
\draw[] (M) circle[radius=3];
\draw[name path=kreis] (M) circle[radius=1.4];
 
\draw[name path=zeiger] (M) -- (90-\Winkel:3);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=kreis and zeiger, name=S}] ;
\coordinate[label=left:$S_{\w}$] (S-\w) at (S-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\makeatother
 
\draw[red] plot[mark=*] coordinates{\List};
\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){List: \List};
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}


main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop,controls]{1}{sub}{}{}
\end{document}






Uhr-Beispiel mit dem animate-Paket
Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




sub.tex
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,3,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}
 



main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[]{article}
\usepackage{tikz}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop, controls]{1}{Uhr01b}{}{}
\end{document}




\(\endgroup\)

StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
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 Beitrag No.1768, eingetragen 2019-08-17 14:29    [Diesen Beitrag zitieren]

Machen wir mal einen Anfang.

Aufgabe 5 - V611225
Gesucht ist eine vierstellige Zahl, die gleich der 4. Potenz ihrer Quersumme ist. Wie haben Sie die Zahl ermittelt?

Da die vierte Potentz der Quersumme vierstellig sein soll und \(5^4<1000\), \(10^4>9999\) gilt, kommt für die Quersumme nur 6, 7, 8 oder 9 infrage. Es gilt weiterhin \(6^4=1296\), \(7^4=2401\), \(8^4=4096\) und \(9^4=6561\). Die gesuchte Zahl ist somit 2401 mit der Qursumme 7.


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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1596
Herkunft:
 Beitrag No.19, eingetragen 2019-04-22 17:03    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-22 14:36 - pzktupel in Beitrag No. 12 schreibt:
Aufgabe 041032:
Eine ganze Zahl schreibt sich im Dezimalsystem mit 300 Einsen und einer Anzahl von Nullen am Ende der Zahl.
Kann diese Zahl eine Quadratzahl sein?


Antwort : Nein, kann keine Quadratzahl sein....

Mein Vorschlag dazu:

Ausschlaggebend sind die 300 Einsen.

111....111 = (10^300-1)/9 , 10^300-1 müsste eine Quadratzahl ergeben

um Wurzel(10^300-1)/3 ganzzahlig bilden zu können. Da 10^300 eine Quadratzahl ist [(10^150)^2], ist um eins veringert dies keine mehr, da der Abstand zu nächsten kleineren QZ (2*10^150)-1 wäre.

Die Anzahl der Nullen wäre gerade und damit eine Potenz von 100.

Die Kurzdarstellung der Zahl ist also (10^300-1)*100^n / 9

Die Wurzel aus dieser, wie oben beschrieben, scheitert wegen 10^300-1
Diese Lösung ist unvollständig. Es müsste auch noch der Fall betrachtet werden, in dem die Anzahl der Nullen ungerade ist. Ich sehe auf Anhieb keine Möglichkeit diese Lücke zu reparieren, die nicht auf Betrachtung des Rests modulo 9 hinausläuft (siehe TomTom314s Lösung). Vielleicht hat jemand eine andere Idee.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]


Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1408
Herkunft:
 Beitrag No.18, eingetragen 2019-04-22 16:57    [Diesen Beitrag zitieren]

Huhu Steffen,

ich hoffe du hattest schöne Ostertage! Zu Aufgabe 041034:


Ein Anfang wäre es wohl Kandidat A zu betrachten, da dieser in 3 Aussagen vorkommt. Wenn A nun nicht volle Punktzahl hat, da muss von diesen 3 Aussagen eine mit beiden falschen Aussagen dabei sein. Wenn nun A und C beide falsch sind, dann müssten also F und D volle Punktzahl erhalten haben. Dann wären aber B und E beide leer ausgegangen, und somit hätten wir bei Aussage (4) wieder 2 verkehrte. Das funktioniert also nicht. Die gleiche Argumentation klappt auch für den Fall, dass A und F beide falsch sind und dass A und D beide falsch sind. A muss also volle Punktzahl erhalten haben und C, F und D nicht. Es fehlt dann also noch die Aussage, in der beide Angaben nicht stimmen. Nach Aussage (2) haben B und F volle Punktzahl erhalten und nach Aussage (4) B und E. B kann somit nicht volle Punktzahl erreicht haben, da in diesem Fall in beiden Aussagen eine Angabe richtig wäre. Somit hat B nicht volle Punktzahl erreicht. Dann hat E volle Punktzahl erreicht. Somit haben A und E volle Punktzahl erreicht.


Ich hoffe ich habe nichts übersehen. Ansonsten schiebe ich das einfach auf den Feiertag und das schöne Wetter!

Herzliche Grüße,

Küstenkind


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 957
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.17, eingetragen 2019-04-22 16:17    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-22 16:02 - pzktupel in Beitrag No. 16 schreibt:
@Steffen, bei meiner Lösung ist in Deiner Darstellung ein Fehler.
Danke für den Hinweis. Ist korrigiert.

LG Steffen


pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 968
Herkunft: Thüringen,Erfurter Raum
 Beitrag No.16, eingetragen 2019-04-22 16:02    [Diesen Beitrag zitieren]

@Steffen, bei meiner Lösung ist in Deiner Darstellung ein Fehler. Bei der einen Wurzel müsste eine 9 statt 3 im Nenner stehen...oder das Wurzelzeichen kleiner darstellen.

Sehr lobenswert, Deine Bemühungen !


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 957
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.15, eingetragen 2019-04-22 15:39    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,
Danke für die weiteren Lösungen. Die Hilfe ist großartig.

Ich habe jetzt die Lösungen in einer Datei zusammengefasst.
siehe mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=20525
Ich werde auch die nachfolgenden Lösungen ergänzen und die Datei ständig aktualisieren.

Im Moment steht als Name des Lösenden euer Matheplanet-Name. Selbstverständlich ändere ich dies gern auf euren richtigen Namen ab. Schreibt einfach eine PN.

Da ich euch nicht zu viel "einspannen" möchte, werde ich ab und an einmal einige neue Aufgaben nennen. Vielleicht nehme ich auch Aufgaben der 4.Stufe, also etwas anspruchsvollere.

Vielen Dank nochmals.
Steffen


TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1483
Herkunft:
 Beitrag No.14, eingetragen 2019-04-22 15:22    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 041036:
Das Volumen des Tretraeders ist gegeben durch $V=\frac{1}{3}G\cdot h$, wobei $G$ die Grundfläche bezeichnet. Durch einen Punkt im inneren zerfällt der Tetraeder in 4 Teiltetraeder mit Grundfläche $G$ und den Höhen $a,b,c,d$. Da der ganze Tetraeder regelmäßig ist, haben alle 4 Teilteraeder ebenfalls die Grundfläche $G$. Es gilt die Gleichung $V=V_a+V_b+V_c+V_d$, wobei $V_*$ das Volumen der Teiltetraeder mit der entsprechenden Höhe ist. Nach anwenden der Volumenformel erhalten wir
\[\frac{1}{3}G\cdot h=\frac{1}{3}G\cdot a+\frac{1}{3}G\cdot b+\frac{1}{3}G\cdot c+\frac{1}{3}G\cdot d\] und nach kürzen $h=a+b+c+d$.



TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1483
Herkunft:
 Beitrag No.13, eingetragen 2019-04-22 14:48    [Diesen Beitrag zitieren]

@TomTom134: Mehr Aufgaben? :-)  Ich habe noch eine große Menge.
Das habe ich befürchtet. Es ist auf jeden Fall eine angenehme Abwechslung zu Dreiecken.

Da ich so vorlaut war:

Aufgabe 041032:
Die Zahl n hat die Quersumme 300. Da 300 durch 3 aber nicht durch 9 teilbar ist, gilt dieses auch für n. Daher kann n keine Quadratzahl sein.


Aufgabe 041035:
Wenn $a$ nicht durch 3 teilbar ist, hat a die Gestalt $3n+1$ oder $3n+2$. Durch quadrieren der Gleichungen sehen wir, dass $a^2$ dann in beiden Fällen die Gestalt $3m+1$ hat ($m=9n^2+6n$ oder $m=9n^2+12n$). Wenn $a$ und $b$ beide nicht durch 3 teilbar sind, hat $a^2+b^2$ die Gestalt $3N+2$. Wenn $a$ durch 3 teilbar und $b$ nicht durch 3 teilbar ist, hat $a^2+b^2$ die Gestalt $3N+1$. In beiden Fällen ist $a^2+b^2$ nicht durch 3 teilbar. Also folgt aus "$a^2+b^2$ durch 3 teilbar" bereits, dass $a$ und $b$ durch 3 teilbar sind.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]


pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 968
Herkunft: Thüringen,Erfurter Raum
 Beitrag No.12, eingetragen 2019-04-22 14:36    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 041032:
Eine ganze Zahl schreibt sich im Dezimalsystem mit 300 Einsen und einer Anzahl von Nullen am Ende der Zahl.
Kann diese Zahl eine Quadratzahl sein?


Antwort : Nein, kann keine Quadratzahl sein....

Mein Vorschlag dazu:

Ausschlaggebend sind die 300 Einsen.

111....111 = (10^300-1)/9 , 10^300-1 müsste eine Quadratzahl ergeben

um Wurzel(10^300-1)/3 ganzzahlig bilden zu können. Da 10^300 eine Quadratzahl ist [(10^150)^2], ist um eins veringert dies keine mehr, da der Abstand zu nächsten kleineren QZ (2*10^150)-1 wäre.

Die Anzahl der Nullen wäre gerade und damit eine Potenz von 100.

Die Kurzdarstellung der Zahl ist also (10^300-1)*100^n / 9

Die Wurzel aus dieser, wie oben beschrieben, scheitert wegen 10^300-1

_________________________________

Aufgabe 041035:
Ist die folgende Aussage richtig?
Für alle ganzen Zahlen a und b gilt:
Wenn a2+b2 durch 3 teilbar ist, dann sind auch a und b durch 3 teilbar.

Ja, ist richtig.

Wir betrachten die Restklasse bei a MOD 3, diese sind 0,1,2
Betrachtet wird a=0 MOD 3 und b=0 MOD 3

I  (a+0)^2=a²   -> MOD 3 REST 0
II (a+1)=a²+2a+1-> MOD 3 REST 1,da a(a+2) Teiler 3 hat
III(a+2)=a²+4a+4-> MOD 3 REST 1,da a(a+4) Teiler 3 hat

analog für b

I  (b+0)^2=b²   -> MOD 3 REST 0
II (b+1)=b²+2b+1-> MOD 3 REST 1,da b(b+2) Teiler 3 hat
III(b+2)=b²+4b+4-> MOD 3 REST 1,da b(b+4) Teiler 3 hat

Man erkennt,nur für a MOD 3=0 und b MOD 3=0 ist die Addition von a²+b² durch 3 teilbar.







Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
 Beitrag No.11, eingetragen 2019-04-22 14:17    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo
Lösungsvorschlag für 060935 a)

fed-Code einblenden


gruß Caban


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 957
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-04-22 13:59    [Diesen Beitrag zitieren]

Vielen Dank für die vielen Lösungen. Auf euch ist eben Verlass.
Ich werde alles so schnell wie möglich aufnehmen.

@Kornkreis: Danke für das Angebot. Jede Lösung ist herzlich willkommen.
@TomTom134: Mehr Aufgaben? smile  Ich habe noch eine große Menge.

Aufgabe 060935:
Auf dem Kreis k bewegen sich der Punkt A mit der gleichförmigen Geschwindigkeit v1 und der Punkt B mit der gleichförmigen Geschwindigkeit v2, wobei \(v_1 \neq v_2\) ist.
Bewegen sich beide Punkte im gleichen Umlaufsinn (etwa im Uhrzeigersinn), so überholt der Punkt A den Punkt B jeweils nach 56 min. Bewegen sich beide Punkte in verschiedenem Umlaufsinn, so begegnen sie
einander jeweils nach 8 min. Dabei verringert bzw. vergrößert sich ihr auf der Kreislinie gemessener Abstand voneinander in je 24 s um 14 m.
a) Wie lang ist der Kreisumfang?
b) Wie groß sind die Geschwindigkeiten v1 und v2 (in m/min)?

Aufgabe 060936:
In einer Ebene sind ein Kreis k, eine Gerade g sowie ein Punkt A auf g gegeben.
Man konstruiere einen Kreis k', der erstens k berührt und zweitens g in A berührt. Man untersuche, wie viele solcher Kreise k' es bei den verschiedenen Lagemöglichkeiten von k, g und A geben kann.

Aufgabe 041034:
Von sechs Schülern einer Schule, die an der zweiten Stufe der Mathematikolympiade teilnahmen, erreichten zwei die volle Punktzahl. Die Schüler seien zur Abkürzung mit A, B, C, D, E und F bezeichnet.
Auf die Frage, welche beiden Schüler die volle Punktzahl erreicht haben, wurden die folgenden fünf verschiedenen Antworten gegeben:
(1) A und C,
(2) B und F,
(3) F und A,
(4) B und E,
(5) D und A.
Nun wissen wir, daß in genau einer Antwort beide Angaben falsch sind, während in den übrigen vier Antworten jeweils genau eine Angabe zutrifft.
Welche beiden Schüler erreichten die volle Punktzahl ?

Aufgabe 041031:
Ein Fußgänger geht (mit konstanter Geschwindigkeit) um 9.00 Uhr von A nach dem 12, 75 km entfernten B.
Auf der gleichen Straße fährt um 9.26 Uhr ein Straßenbahnzug von A nach B ab. Er überholt den Fußgänger um 9.36 Uhr und fährt nach 4 Minuten Aufenthalt in B wieder zurück. Dabei begegnet er dem Fußgänger um 10.30 Uhr.
a) Wieviel Kilometer legen der Fußgänger und der Straßenbahnzug durchschnittlich in der Stunde zurück?
b) In welcher Entfernung von A überholt der Straßenbahnzug den Fußgänger, und wo begegnet er ihm bei der Rückfahrt?

Aufgabe 041032:
Eine ganze Zahl schreibt sich im Dezimalsystem mit 300 Einsen und einer Anzahl von Nullen am Ende der Zahl.
Kann diese Zahl eine Quadratzahl sein?

Aufgabe 041035:
Ist die folgende Aussage richtig?
Für alle ganzen Zahlen a und b gilt:
Wenn \(a^2+b^2\) durch 3 teilbar ist, dann sind auch a und b durch 3 teilbar.

Aufgabe 041036:
Ein regelmäßiges Tetraeder habe die Höhe h. Ein Punkt im Innern des Tetraeders habe von den Seitenflächen die Abstände a, b, c und d.
Man beweise: a + b + c + d = h!

Nochmals vielen Dank.
Steffen


Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.9, eingetragen 2019-04-22 13:37    [Diesen Beitrag zitieren]



Aufgabe 020915

<math>
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={anchor=east}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=west}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %

\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\alpha$"
] {angle =B--A--C};
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$"
] {angle =C--B--A};
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\gamma$"
] {angle =A--C--B};


% Umreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={below}{}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];

% Tangente in A
\draw[] (A) -- ($(A)!2 cm!90:(U)$) coordinate(Ya);
\draw[] (A) -- ($(A)!-\a cm!90:(U)$) coordinate(Xa);
% Tangente in B
\draw[] (B) -- ($(B)!\a cm!90:(U)$) coordinate[Punkt={below}{D}] (D);
\draw[] (B) -- ($(B)!-2cm!90:(U)$) coordinate(Xb);
% Tangente in C
\draw[] (C) -- ($(C)!3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Yc);
\draw[] (C) -- ($(C)!-3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Xc);
% Parallele durch D
\draw [name path=parallele] (D) -- +($2*(Xc)-2*(C)$) -- +($2*(Yc)-2*(C)$);

\draw[name path=AAs] (A) -- ($(C)!2.3*\a cm!(A)$);
\path[name intersections={of=parallele and AAs, name=As}] ;
\coordinate[Punkt={anchor=west}{A"}] (As) at (As-1);

\draw[name path=BBs] (B) -- ($(C)!1.5*\a cm!(B)$);
\path[name intersections={of=parallele and BBs, name=Bs}] ;
\coordinate[Punkt={below=3pt}{B"}] (Bs) at (Bs-1);

% Dreieck DAA"
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\gamma$", red, double,
] {angle =D--A--B};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$"
] {angle =As--A--D};

\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$", red, double,
] {angle =Xc--C--A}; % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$", blue,
] {angle =D--As--A}; % Z-Winkel

% Dreieck DBB"
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\gamma$", red, double,
] {angle =A--B--D};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\alpha$",
] {angle =D--B--Bs};

\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\alpha$", red, double,
] {angle =B--C--Yc};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\alpha$", blue,
] {angle =B--Bs--D}; % Z-Winkel

% Seitenlngen
\path[] (As) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (A) -- (D) node[midway, right]{$x$};

\path[] (Bs) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (B) -- (D) node[midway, left]{$x$};


\draw[densely dashed] (D) circle[radius=\a];

%% Punkte
\foreach \P in {D,As, Bs,A,B,C}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\node[below of=D, xshift=-10mm,
anchor=north west, align=left,
text width=1.2*\a cm, fill=black!1,
draw
]{Aus dem Sehnentangentenwinkelsatz (Sehnentangentenwinkel = Umfangswinkel) folgen zunchst die Sehnentangentenwinkel (rot eingezeichnet) bei  $A,\, B$ und $C$. \\
Die Winkel bei $A"$ und $B"$ folgen als Wechsel- bzw. Z-Winkel (blau eingezeichnet) der Winkel bei $C$. \\
Damit ist gezeigt, dass $DAA"$ und $DBB"$ gleichschenklige Dreiecke sind. \\[1em]
Haben die Schenkel im gleichschenkligen Dreieck $DAA"$ die Lnge $x$, so folgt durch Betrachtung des gleichschenkligen Dreieck $DBA$, dass auch das gleichschenklige Dreieck $DBB"$ Schenkel der Lnge $x$ hat. \\
Also haben die Punkte $A,B,A",B"$ alle samt von $D$ den selben Abstand, womit $D$ Mittelpunkt eines Kreises ist, der diese Punkte enthlt.
};
\end{tikzpicture}
</math>

LaTeX
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{5} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\coordinate[Punkt={anchor=east}{A}] (A) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={anchor=west}{B}] (B) at (\c,0); 
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %
 
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\alpha$"
] {angle =B--A--C}; 
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$"
] {angle =C--B--A}; 
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\gamma$"
] {angle =A--C--B}; 
 
 
% Umreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % 
 
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %  
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %    
 
\coordinate[Punkt={below}{}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); 
 
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %  
\draw[] (U) circle[radius=\R];
 
% Tangente in A
\draw[] (A) -- ($(A)!2 cm!90:(U)$) coordinate(Ya);
\draw[] (A) -- ($(A)!-\a cm!90:(U)$) coordinate(Xa);
% Tangente in B
\draw[] (B) -- ($(B)!\a cm!90:(U)$) coordinate[Punkt={below}{D}] (D);
\draw[] (B) -- ($(B)!-2cm!90:(U)$) coordinate(Xb);
% Tangente in C
\draw[] (C) -- ($(C)!3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Yc);
\draw[] (C) -- ($(C)!-3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Xc);
% Parallele durch D
\draw [name path=parallele] (D) -- +($2*(Xc)-2*(C)$) -- +($2*(Yc)-2*(C)$);
 
\draw[name path=AAs] (A) -- ($(C)!2.3*\a cm!(A)$);
\path[name intersections={of=parallele and AAs, name=As}] ;
\coordinate[Punkt={anchor=west}{A'}] (As) at (As-1); 
 
\draw[name path=BBs] (B) -- ($(C)!1.5*\a cm!(B)$);
\path[name intersections={of=parallele and BBs, name=Bs}] ;
\coordinate[Punkt={below=3pt}{B'}] (Bs) at (Bs-1); 
 
% Dreieck DAA'
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\gamma$", red, double, 
] {angle =D--A--B};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$"
] {angle =As--A--D}; 
 
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$", red, double,  
] {angle =Xc--C--A}; % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$", blue, 
] {angle =D--As--A}; % Z-Winkel
 
% Dreieck DBB'
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\gamma$", red, double, 
] {angle =A--B--D};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\alpha$", 
] {angle =D--B--Bs};
 
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\alpha$", red, double, 
] {angle =B--C--Yc};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\alpha$", blue, 
] {angle =B--Bs--D}; % Z-Winkel
 
% Seitenlängen
\path[] (As) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (A) -- (D) node[midway, right]{$x$};
 
\path[] (Bs) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (B) -- (D) node[midway, left]{$x$};
 
 
\draw[densely dashed] (D) circle[radius=\a];
 
%% Punkte
\foreach \P in {D,As, Bs,A,B,C}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
\node[below of=D, xshift=-10mm, 
anchor=north west, align=left, 
text width=1.2*\a cm, fill=black!1,
draw
]{Aus dem Sehnentangentenwinkelsatz (Sehnentangentenwinkel = Umfangswinkel) folgen zunächst die Sehnentangentenwinkel (rot eingezeichnet) bei  $A,\, B$ und $C$. \\
Die Winkel bei $A'$ und $B'$ folgen als Wechsel- bzw. Z-Winkel (blau eingezeichnet) der Winkel bei $C$. \\
Damit ist gezeigt, dass $DAA'$ und $DBB'$ gleichschenklige Dreiecke sind. \\[1em]
Haben die Schenkel im gleichschenkligen Dreieck $DAA'$ die Länge $x$, so folgt durch Betrachtung des gleichschenkligen Dreieck $DBA$, dass auch das gleichschenklige Dreieck $DBB'$ Schenkel der Länge $x$ hat. \\
Also haben die Punkte $A,B,A',B'$ alle samt von $D$ den selben Abstand, womit $D$ Mittelpunkt eines Kreises ist, der diese Punkte enthält. 
};
\end{tikzpicture}
 
\end{document}




TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1483
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-04-22 12:56    [Diesen Beitrag zitieren]

Vielleicht hat der eine oder andere Lust und Freude dabei zu helfen. Außer einer ehrenvollen Erwähnung kann ich aber nichts bieten.

Mehr Aufgaben!!!  smile  smile  smile Bei diesen Aufgabentypen wirst Du hier - denke ich - reichlich fleißige Helfer finden.

zu Aufgabe 060932: Ich vermute, dass die Behauptung immer noch gilt, wenn nur gefordert wird, dass die 4 Umkreisradien gleich sind. Ein Beweis oder Gegenbeispiel würde mich interessieren.


TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1483
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-04-22 12:35    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 060933:
Beweisen Sie die folgende Behauptung:
In keinem rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Hypotenuse kleiner als das \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)-fache der Summe der Kathetenlängen.
Nach Normierung der Hypotenuse auf 1 ist die Ungleichung $1\geq\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+\sqrt{1-x^2})$ zu zeigen, wobei $x,y$ die Kathetenlängen bezeichnet ($x^2+y^2 = 1$). Aus $0\leq x \leq 1$ folgt $\sqrt{2}-x>0$ und $1-x^2\geq 0$. Somit gilt die folgende Äquivalenz.

$1\geq\frac{1}{\sqrt{2}}(x+\sqrt{1-x^2})\iff\\ (\sqrt{2}-x)^2 \geq 1-x^2 \iff\\ 0\geq-1 +2\sqrt{2}x -2x^2 = -2(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2\iff\\ 0\leq(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2$.

Die letzte Zeile ist für alle $x\in\IR$ wahr. q.e.d.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


philippw
Senior
Dabei seit: 01.06.2005
Mitteilungen: 1089
Herkunft: Hoyerswerda
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-04-22 12:13    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart schreibt:
Aufgabe 060932:
Beweisen Sie die folgende Behauptung:
Sind bei einem (nicht notwendigerweise regelmäßigen) Tetraeder ABCD die Umfänge aller seiner vier Seitenflächen untereinander gleich, dann sind diese Flächen zueinander kongruent.

060932
Der Umfang sei u, die Seitenlängen seinen a,b,c,d,e,f, sodass u=a+b+c=a+e+f=b+d+f=c+d+e. Addiere die ersten beiden Umfänge und ziehe die anderen beiden Umfänge ab, und wir erhalten: 0=u+u-u-u=a+b+c+a+e+f-b-d-f-c-d-e=2a-2d, also a=d. Analog erhält man b=e und c=f. Also haben alle vier Dreiecke Seiten mit Längen a, b und c. Dreiecke mit den gleichen Seitenlängen sind bekanntlich kongruent.


Kornkreis
Senior
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 787
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-22 11:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich hatte in meiner Olympiadensucht vor einigen Jahren unter anderem eine riesige Menge alter Aufgaben der Klassenstufen 10 und 11-12 (Landesrunde und nationale Runde) gelöst, meistens Zahlentheorie, Kombinatorik und Funktionalgleichungen. Am Anfang hatte ich ein paar Lösungen zur Kontrolle auch ins Matheboard und auf den Matheplaneten geschrieben.
Davon könnte ich ja dann mal die Links raussuchen und auch meine Notizen zu den anderen Aufgaben rauskramen. Ich hatte aber die Jahrgänge nicht flächendeckend bearbeitet, sondern Aufgaben nach Interesse ausgewählt.


pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 968
Herkunft: Thüringen,Erfurter Raum
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-22 10:42    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke Vercassivelaunos, ich habe es "gezeigt" in der Ergänzung.


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 589
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-22 10:38    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Hallo stpolster,

ich habe mir mal Aufgabe 060931 angeschaut:


Zwei Primzahlen p1 und p2 (mit p1 > p2) heißen Primzahlzwillinge, wenn p1 − p2 = 2 gilt.
Beweisen Sie, dass für alle Primzahlzwillinge p1 und p2, für die p2 > 3 ist, stets die Summe p1 + p2 durch 12 teilbar ist!

Lösung:

Für die Uni: (Das wäre dann so eine Einstiegs-Klausuraufgabe vom Typ "Beherrschen Sie Moduloarithmetik?")
Es ist zu zeigen, dass  $p_1+p_2=0\mod12$. Dafür zeigen wir getrennt, dass $p_1+p_2=0\mod3$ und $p_1+p_2=0\mod 4$. (Das reicht wegen der Teilerfremdheit von 3 und 4).

$0\mod3$:
Es gilt $p_1,p_2>3$, also $p_1,p_2\neq0\mod3$. Das führt $p_2=1\mod3$ zum Widerspruch, denn dann wäre $p_1=p_2+2=1+2=3=0\mod 3$. Es muss also $p_2=-1\mod3$ sein. Dann ist $p_1=-1+2=1\mod3$, und damit $p_1+p_2=-1+1=0\mod3$.

$0\mod4$:
Da $p_1,p_2>2$ gilt $p_1=p_2=1\mod2$, und damit $p_1,p_2=\pm1\mod4$ (beachte, dass nicht unbedingt $p_1=p_2\mod4$). Falls $p_2=1\mod4$, dann ist $p_1=p_2+2=3=-1\mod4$, und damit $p_1+p_2=0\mod4$. Ist hingegen $p_2=-1\mod4$, dann ist $p_1=p_2+2=1\mod4$, und wieder $p_1+p_2=0\mod4$.

Für die Schule:
Wir zeigen, dass $p_1+p_2$ sowohl durch 4, als auch durch 3 teilbar ist. Da 4 und 3 teilerfremd sind, muss dann nämlich $p_1+p_2$ durch $4\cdot3=12$ teilbar sein.

Teilbarkeit durch 3:
Da beide Primzahlen größer als drei sind, sind sie nicht durch 3 teilbar. Damit ist $p_2$ entweder von der Form $p_2=3k+1$ oder $p_2=3k+2$ mit einer natürlichen Zahl $k$. Da $p_1-p_2=2$ ist $p_1=p_2+2$. Also ist $p_1$ von der Form $p_1=p_2+2=3k+1+2=3(k+1)$ oder $p_1=p2_+2=3k+2+2=3(k+1)+1$.
Der erste Fall kann nicht sein, denn dann wäre $p_1$ durch 3 teilbar, und somit keine Primzahl. Im zweiten Fall ist aber $p_1+p_2$ von der Form $p_1+p_2=3(k+1)+1+3k+2=2\cdot3(k+1)$, ist also durch 3 teilbar.

Teilbarkeit durch 4:
Da beide Primzahlen größer als 3 sind, sind sie nicht durch 2 teilbar. Damit ist $p_2$ von der Form $p_2=2k+1$. Dann ist $p_1=p_2+2=2k+3$. Dann ist $p_1+p_2=2k+1+2k+3=4k+4=4(k+1)$, also durch 4 teilbar.

Damit ist $p_1+p_2$ durch 3 und durch 4 teilbar, und damit auch durch $12$.


Viele Grüße,
Vercassivelaunos

Nachtrag: Wenn man direkt verwendet, dass alle PZ außer 2 und 3 von der Form $6k\pm1$ sind, dann ist pzktupels Beweis natürlich um längen eleganter. Ich schätze aber mal, dass man das in der Olympiade erst zeigen müsste.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)

pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 968
Herkunft: Thüringen,Erfurter Raum
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-22 10:30    [Diesen Beitrag zitieren]

@StrgAltEntf
Das ist extrem elegant, gefällt mir !


@Steffen
Aufgabe 060931:
Zwei Primzahlen p1 und p2 (mit p1 > p2) heißen Primzahlzwillinge, wenn p1 − p2 = 2 gilt.
Beweisen Sie, dass für alle Primzahlzwillinge p1 und p2, für die p2 > 3 ist, stets die Summe p1 + p2 durch 12 teilbar ist!

Als Laie würde ich sagen.


Alle Primzahlen sind der Form 6n-1 oder 6n+1 (außer 2 und 3), diese haben im Fall der Zwillinge einen Abstand von 2.

Da p1<p2 muss p1=6n-1 besitzen.

(6n-1)+(6n+1)=12n, somit ist die Summe p1+p2 in der Tat durch 12 teilbar.

6n-1 ist kongruent 6n+5 (mod 6)

"Beweis", das Primzahlen nur der Form 6n+1,6n+5 sind:

Um alle Zahlen zu untersuchen ermittelt man Teiler von

6n+0,hat Teiler 2,3
6n+1
6n+2,hat Teiler 2
6n+3,hat Teiler 3
6n+4,hat Teiler 2
6n+5

Damit ist der Restklassenring für MOD 6 abgeschlossen und es verbleiben als mögliche Primzahlen
6n+1 und 6n+5

Anmerkung:
Um 6n-1 auszugrenzen, verwendet man für p2=6n+1 einfach p2=6n+7 und p1=6n+5

p1+p2=(6n+5)+(6n+7)=12(n+1), 12 ist somit Teiler von p2+p1


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5076
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-22 10:12    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Steffen,

2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart schreibt:
Aufgabe 060934:
Zeigen Sie, dass es unter allen Zahlen der Form 2p + 1, wobei p eine Primzahl ist, genau eine Kubikzahl gibt!

Das ist einfach.
Sei \(2p+1=a^3\). Dann ist \(a\) ungerade und es gilt \(p = \frac{a^3-1}2 = \frac{a-1}2(a^2+a+1)\). Da \(p\) prim, muss \(\frac{a-1}2=1\) oder \(a^2+a+1=1\) gelten. Da \(a^2+a+1>1\) folgt \(a=3\) und somit \(p=13\). In der Tat ist \(13\) prim und es gilt \(2\cdot13+1=3^3\).


Grüße
StrgAltEntf


stpolster
Senior
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 Themenstart: 2019-04-22 08:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,
ich bin seit einiger Zeit an der Zusammenstellung von Lösungen zu alten Mathematik-Olympiadeaufgaben. Durch Manuela Kugel ( www.olympiade-mathematik.de/ ) wurden in extrem fleißiger Arbeit alle Aufgaben zusammengetragen. Bei einigen fehlen noch die Lösungen.

Ich habe nun begonnen, die eine oder andere Lösung zu ermitteln und in LaTex zu setzen. Das Bereitstellen aller Lösungen übersteigt aber mein Zeitvolumen und vor alle meine mathematischen Fähigkeiten.

Vielleicht hat der eine oder andere Lust und Freude dabei zu helfen. Außer einer ehrenvollen Erwähnung kann ich aber nichts bieten.

Aufgaben ohne Lösungen findet man in den Texten www.olympiade-mathematik.de/ oder bei mir mathematikalpha.de/mathematikaufgaben . Es kann ja sein, dass Klassenstufe 9 zu einfach ist.

neuer Link: Download der ungelösten Aufgaben

Ich würde diese Lösungen in eine Datei übernehmen (Latex würde mir die Arbeit erleichtern) und wie gesagt, den "Löser" lobend erwähnen.
Sobald eine Klassenstufe eines Jahrgangs komplett ist, füge ich die PDF-Datei in die Datei der Aufgaben und stelle sie online.

Sollte jemand von euch Interesse haben, würde es mich freuen.

LG und schöne Rest-Ostern
Steffen

Alle eure Lösungen, inkl. der Aufgaben, findet ihr unter:
mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=20525
Sollte eine alte Datei angezeigt werden, bitte mit der F5-Taste im Browser die Datei erneut laden.


 
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