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Antworte auf:  Alte Olympiadeaufgaben von stpolster
Forum:  Olympiade-Aufgaben, moderiert von: ZetaX Naphthalin

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Themenübersicht
StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5079
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.1805, eingetragen 2019-08-18 17:37    [Diesen Beitrag zitieren]

V601014
[Bild]
Der  Radius r eines flachen Kreisbogens mit unzugänglichem Mittelpunkt sei  durch  Messung  einer Sehne s und der zugehörigen Pfeilhöhe p zu bestimmen. Wie lautet die entsprechende Funktion r(s/p)?

(Hier würde ich besser r(s,p) schreiben.)

Es sei M der Kreismittelpunkt. Dann bildet MSA ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten AS und MS und der Hypothenuse AM. DieSeitenlängen sind \(\frac s2\), \(r-p\) und \(r\). Nach Pytharoras gilt \((\frac s2)^2+(r-p)^2=r^2\). Diese Gleichung nach \(r\) aufgelöst ergibt \[r=r(s,p) = \frac{s^2}{8p}+\frac p2\]
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1803 begonnen.]


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4889
Herkunft:
 Beitrag No.1804, eingetragen 2019-08-18 17:36    [Diesen Beitrag zitieren]

Hier eine etwas kürzere Alternativlösung zu

Aufgabe 5 - V610935
Mit welcher Ziffer endet die Zahl $2^{100}$? Begründen Sie das!


Wegen
\[2^{100}=(2^4)^{25}\equiv 1^{25}=1\mod 5\] kommt als Endziffer nur mehr $1$ oder $6$ in Frage. Da aber $2^{100}$ gerade ist, muss es die $6$ sein.


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5079
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.1803, eingetragen 2019-08-18 17:21    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Steffen,
bei

V601013 Wieviel Diagonalen besitzt ein 4775-Eck?

kommt man auch ohne Induktion aus:

Von jeder der n = 4775 Ecken lässt sich zu n-3 anderen Ecken eine Diagonale zeichnen. Bei \(n\cdot(n-3)\) wird aber jede Diagonale doppelt gezählt. Folglich gibt es \(\frac12n\cdot(n-3)\) Diagonalen.

(Ergänzung: Von dem n-Eck sollte wohl angenommen werden, dass es konvex ist.)


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 961
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.1802, eingetragen 2019-08-18 16:58    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-18 16:52 - svrc in Beitrag No. 1801 schreibt:
Überlese ich eine Kleinigkeit oder handelt es sich bei Aufgabe 3 - V611013 und Aufgabe 5 - V611025 um dieselbe Aufgabe?
Da ist mir ein Fehler unterlaufen. Die V611013 hat sich als fiktive Aufgabe "eingeschmuggelt".
Ab 1961 gab es pro Stufe und Klasse genau 5 Aufgaben und ich hatte dort sechs. Sorry.
 
LG Steffen


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 34
Herkunft:
 Beitrag No.1801, eingetragen 2019-08-18 16:52    [Diesen Beitrag zitieren]

Überlese ich eine Kleinigkeit oder handelt es sich bei Aufgabe 3 - V611013 und Aufgabe 5 - V611025 um dieselbe Aufgabe?


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 34
Herkunft:
 Beitrag No.1800, eingetragen 2019-08-18 16:22    [Diesen Beitrag zitieren]


Aufgabe 5 - V611025

Peter sagt zu seinem Freund: "Nimm in eine Hand eine gerade, in eine andere Hand eine ungerade Anzahl Streichhölzer! Verdopple in Gedanken die Anzahl in der linken Hand, verdreifache die Anzahl in der rechten Hand, addiere beides und nenne mir das Ergebnis! Ich werde dir dann sagen, in welcher Hand du die gerade Anzahl hast!" Wie macht Peter das? Begründen Sie Ihre Antwort!

Mit \(g = 2k\) für eine natürliche Zahl \(k\) bezeichnen wir die gerade Anzahl Streichhölzer. Mit \(u = 2l + 1\) für eine nichtnegative ganze Zahl \(l\) bezeichnen wir die ungerade Anzahl Streichhölzer. Es gibt zwei Varianten.

Erste Variante: Die gerade Anzahl Streichhölzer befindet sich in der linken Hand. Dann gilt für das Ergebnis \(n_{1}\) des Rätsels
\[n_{1} = 2 \cdot g + 3 \cdot u = 4k + 6l + 3.\] In diesem Falle gilt, dass das Ergebnis des Rätsels ungerade ist. Dann weiß Peter, dass sich die gerade Anzahl Streichhölzer in der linken Hand befindet.

Zweite Variante: Die gerade Anzahl Streichhölzer befindet sich in der rechten Hand. Dann gilt für das Ergebnis \(n_{2}\) des Rätsels
\[n_{2} = 2 \cdot u + 3 \cdot g = 6k + 4l + 2.\] In diesem Falle gilt, dass das Ergebnis des Rätsels gerade ist. Dann weiß Peter, dass sich die gerade Anzahl Streichhölzer in der rechten Hand befindet.


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 34
Herkunft:
 Beitrag No.1799, eingetragen 2019-08-18 16:10    [Diesen Beitrag zitieren]


Aufgabe 5 - V611015

In Moskau wird der höchste Fernsehturm der Welt gebaut, der nach seiner Fertigstellung eine Höhe von rund \(500 \text{m}\) haben wird.

Wie weit kann ein Punkt der Erdoberfläche von der Spitze des Turmes höchstens entfernt sein, wenn er von dieser aus noch sichtbar sein soll (ohne Berücksichtigung der Lichtbrechung)?

Der Radius der Erde beträgt \(R = 6370 \text{km}\).

Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, in dem die Hypotenuse gerade die Summe des Erdradius und der Höhe des Fernsehturms ist. Wir setzen dafür \(c = 6370,5 \text{km}\). Die bekannte Kathete ist der Erdradius und wir schreiben dafür \(a = 6370 \text{km}\). Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck, da die gesuchte Kathete \(b\) tangential am Erdgroßkreis anliegt.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt
\[b^2 = c^2 - a^2 = \left( 6370,5 \text{km} \right)^2 - \left( 6370 \text{km} \right)^2 = 6370,25 \text{km}^{2}\] und somit
\[b \approx 79,8 \text{km}.\]
Das bedeutet, dass man vom Fernsehturm etwa \(79,8 \text{km}\) weit sehen kann.


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2300
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 Beitrag No.1798, eingetragen 2019-08-18 14:52    [Diesen Beitrag zitieren]


Aufgabe 3-V611133
Gegeben sind zwei feste Punkte A und B mit der Entfernung e.
a)Wo liegen alle Punkte F, für die die Quadrate ihrer Entfernungen von A und B die feste Summe s haben?
b)Gibt es bei jeder Wahl von e und s solche Punkte?

a) O.B.d.A. seien $A=(-\frac e2,0)$ und $B=(\frac e2,0)$, so sind alle Punkte $F=(x,y)$ mit
\[s=((x+\frac e2)^2+y^2)+((x-\frac e2)^2+y^2)=
2x^2+2\cdot \frac{e^2}{4}+2y^2\] gesucht. Diese Gleichung ist äquivalent zur Kreisgleichung
\[x^2+y^2=\frac{s}{2}-\frac{e^2}{4}.\] Die gesuchten Punkte $F$ bilden also einen Kreis, dessen Mittelpunkt der Mittelpunkt der Strecke $AB$ ist und dessen Radius  $\frac{s}{2}-\frac{e^2}{4}$ ist.
b) Da Quadrate reeller Zahlen stets größer oder gleich Null sind, gibt es nur solche Punkte $F$, wenn $\frac{s}{2}-\frac{e^2}{4}\geq 0$ ist. Insbesondere gibt es nicht bei jeder Wahl von $e$ und $s$ solche Punkte.


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4889
Herkunft:
 Beitrag No.1797, eingetragen 2019-08-18 13:42    [Diesen Beitrag zitieren]

Mit einem "gerüttelt Maß an zahlentheoretischem Know-how" könnte man hier auch die Äquivalenz
\[10^n\equiv 3 \mod 29 \Leftrightarrow 10^{n+1}\equiv 30\equiv 1 \mod 29\] ausnutzen, wonach wegen des "Kleinen Fermat" auf jeden Fall schon mal $n=27$ eine Lösung der Kongruenz ist. Dass dies auch zugleich die kleinste Lösung ist, folgt dann aus der Tatsache, dass $10$ eine Primitivwurzel mod $29$ ist. Um letzeres zu zeigen, genügt es einfach nachzurechnen, dass
\[10^4\not\equiv 1 \mod 29\quad \textrm{sowie}\quad 10^{14}\equiv (10^4)^3\cdot 10^2\not\equiv 1\mod 29\] gilt.


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1597
Herkunft:
 Beitrag No.1796, eingetragen 2019-08-18 13:00    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Mit etwas weniger Rechnung, dafür mehr Schreibarbeit (Babystep-Giantstep):

Gesucht ist das kleinste $n$, so dass $10^n\equiv 3 \pmod{29}$. Schreibt man $n$ in der Form $n=6m+r$ mit $0\leq r < 6$ (Bemerkung: $6=\lceil \sqrt{29} \rceil$), so erhält man $10^{6m}10^r\equiv 3 \pmod{29}$.

Wegen $10\cdot 3\equiv 1 \pmod{29}$ und $3^6 \equiv 27^2 \equiv (-2)^2\equiv 4 \pmod{29}$ suchen wir also das lexikographisch kleinste Paar $(m,r)$ für das $10^r \equiv 3\cdot 4^m \pmod{29}$ gilt.

Für $r=0,1,2,\color{blue}3,4,5$ gilt $10^r \equiv 1,10,13,\color{red}{14},8,22 \pmod{29}$.
Jetzt berechnen wir $3\cdot 4^m$ modulo 29 für $m=0,1,2,\ldots$, bis wir einen Rest aus der gerade berechneten Liste erhalten: $3\cdot 4^m \equiv 3, 12,19,18,\color{red}{14} \pmod{29}$ für $m=0,1,2,3,\color{blue}4$. Also ist $(m,r)=(\color{blue}4, \color{blue}3)$, d.h. $n=6\cdot 4 +3 = 27$.
\(\endgroup\)

stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 961
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.1795, eingetragen 2019-08-18 12:13    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-18 11:39 - ochen in Beitrag No. 1793 schreibt:
Es geht auch ohne Hilfe eines Computers, aber trotzdem glaube ich, dass die gesuchte Lösung durch systematisches Ausprobieren gefunden werden sollte :/
Setze $r_0=-2$ und $r_{n+1}=10r_n-2\bmod{29}$, so gilt $r_n\equiv 10^n-3\pmod{29}$.
Danke. Ich habe eure Ideen als 1. und 2. Lösung aufgenommen.

LG Steffen

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1793 begonnen.]


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5079
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.1794, eingetragen 2019-08-18 12:03    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-18 11:39 - ochen in Beitrag No. 1793 schreibt:
Setze $r_0=-2$ und $r_{n+1}=10r_n-2\bmod{29}$, so gilt $r_n\equiv 10^n-3\pmod{29}$.

Habe es ähnlich wie ochen gemacht.

Setze \(a_0=1\), \(a_{n+1}=10a_n\mod 29\). Dann ergibt sich

\(a_0,a_1,a_2,...,a_{28}\)
= 1,10,13,14,24,8,22,17,25,18,6,2,20,26,28,19,16,15,5,21,7,12,4,11,23,27,9,3,1

Danach wiederholt es sich periodisch. Das kleinste \(n\) mit \(a_n=3\) (und daher \(10^n-3\equiv0\mod29\)) ist \(n=27\). Somit ist \(\frac7{29}(10^{27}-3)\) die gesuchte Zahl.


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2300
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 Beitrag No.1793, eingetragen 2019-08-18 11:39    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-18 11:09 - stpolster in Beitrag No. 1792 schreibt:
Ich versuche mich an folgender Aufgabe:

Welches ist die kleinste Zahl mit der linken Anfangsziffer 7, die in ihren dritten Teil übergeht, wenn man diese 7 vorn streicht und an die verbleibende Zahl als rechte Endziffer ansetzt?

Lösungsversuch: x die Zahl ohne die 7 vorn
Ansatz $7 \cdot 10^n + x = 3(10 x + 7)$
$7 \cdot 10^n + x = 30x + 21$
$7 \cdot 10^n - 21 = 29x$
$7 (10^n-3) = 29 x$
Da $x$ natürliche Zahl ist, muss $10^n-3$ die 29 als Teiler besitzen.

So weit, so gut:
Mit Computereinsatz habe ich jetzt das kleinste $n$ gesucht, so dass $10^n-3$ ein Vielfaches von 29 ist. Es ist 999999999999999999999999997.

Als Gesamtergebnis bekomme ich als kleinste, gesuchte Zahl
z = 7241379310344827586206896551
Die Probe geht auf.

Aber das kann es doch nicht sein, bei einer Aufgabe einer Vorolympiade der Klasse 9!
Was habe ich falsch gemacht?

Danke
Steffen


Hallo Steffen,
du hast nichts falsch gemacht, glaube ich. Es geht auch ohne Hilfe eines Computers, aber trotzdem glaube ich, dass die gesuchte Lösung durch systematisches Ausprobieren gefunden werden sollte :/
Setze $r_0=-2$ und $r_{n+1}=10r_n-2\bmod{29}$, so gilt $r_n\equiv 10^n-3\pmod{29}$.


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 961
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.1792, eingetragen 2019-08-18 11:09    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich versuche mich an folgender Aufgabe:

Welches ist die kleinste Zahl mit der linken Anfangsziffer 7, die in ihren dritten Teil übergeht, wenn man diese 7 vorn streicht und an die verbleibende Zahl als rechte Endziffer ansetzt?

Lösungsversuch: x die Zahl ohne die 7 vorn
Ansatz $7 \cdot 10^n + x = 3(10 x + 7)$
$7 \cdot 10^n + x = 30x + 21$
$7 \cdot 10^n - 21 = 29x$
$7 (10^n-3) = 29 x$
Da $x$ natürliche Zahl ist, muss $10^n-3$ die 29 als Teiler besitzen.

So weit, so gut:
Mit Computereinsatz habe ich jetzt das kleinste $n$ gesucht, so dass $10^n-3$ ein Vielfaches von 29 ist. Es ist 999999999999999999999999997.

Als Gesamtergebnis bekomme ich als kleinste, gesuchte Zahl
z = 7241379310344827586206896551
Die Probe geht auf.

Aber das kann es doch nicht sein, bei einer Aufgabe einer Vorolympiade der Klasse 9!
Was habe ich falsch gemacht?

Danke
Steffen


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 34
Herkunft:
 Beitrag No.1791, eingetragen 2019-08-18 03:03    [Diesen Beitrag zitieren]


Aufgabe 11 - V601011

In einem Steinkohlebergwerk sind von einem Punkt aus in gleicher Höhe zwei horizontal verlaufende Stollen von \(162,5 \text{m}\) und von \(200 \text{m}\) Länge vorangetrieben worden. Sie schließen einen Winkel von \(70,5^{\circ}\) ein. Die Endpunkte sollen durch einen Stollen verbunden werden. Wie lang wird er?

Der Punkt, von dem die beiden Stollen ausgehen und in einer Ebene liegen, soll mit \(C\) bezeichnet werden. Die beiden Stollenlängen sind \(a = 162,5 \text{m}\) und \(b = 200 \text{m}\). Der Winkel, der von den beiden Stollenlängen \(a\) und \(b\) am Punkt \(C\) eingeschlossen wird, wird \(\gamma = 70,5^{\circ}\) genannt. Die gesuchte Stollenlänge nennen wir \(c\).

Da im Dreieck die zwei Seiten und deren eingeschlossener Winkel gegeben sind, folgt die eindeutige Konstruierbarkeit bis auf Kongruenz aus den Kongruenzsätzen.

Mit dem Kosinus-Satz gilt
\[\begin{eqnarray*}
   c^{2} & = & a^{2} + b^{2} - 2 ab \cos \left( \gamma \right) \\
         & = & \left( 162,5 \text{m} \right)^{2} + \left( 200 \text{m} \right)^{2} - 2 \cdot \left( 162,5 \text{m} \right) \cdot \left( 200 \text{m} \right) \cdot \cos \left( 70,5^{\circ} \right) \\
         & \approx & 44708,8 \text{m}^{2}
  \end{eqnarray*}\] und damit \(c \approx 211,4 \text{m}\). Somit wird der Verbindungsstollen ungefähr \(211,4 \text{m}\) lang.

PS: Ich glaube, dass auch in diesem Falle eine hübsche Skizze in TiKZ sinnvoll wäre.


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 34
Herkunft:
 Beitrag No.1790, eingetragen 2019-08-18 02:51    [Diesen Beitrag zitieren]


Aufgabe 5 - V610935

Mit welcher Ziffer endet die Zahl \(2^{100}\)? Begründen Sie das!

Es ist \(2^{10} \, \mathbf{mod} \, 10 = 1024 \, \mathbf{mod} \, 10 = 4 \, \mathbf{mod} \, 10\).
Damit ist \(2^{20} \, \mathbf{mod} \, 10 = 16 \, \mathbf{mod} \, 10 = 6 \, \mathbf{mod} \, 10\).
Dann gilt \(2^{25} \, \mathbf{mod} \, 10 = \left( \left( 2^5 \, \mathbf{mod} \, 10 \right) \cdot \left( 2^{20} \, \mathbf{mod} \, 10 \right) \right) \, \mathbf{mod} \, 10 = 2 \, \mathbf{mod} \, 10\).
Damit folgt \(2^{50} \, \mathbf{mod} \, 10 = 4 \, \mathbf{mod} \, 10\) und somit \(2^{100} \, \mathbf{mod} \, 10 = 16 \, \mathbf{mod} \, 10 = 6 \, \mathbf{mod} \, 10\). Das bedeutet, dass die Zahl \(2^{100}\) auf der Ziffer \(6\) endet.


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 34
Herkunft:
 Beitrag No.1789, eingetragen 2019-08-18 02:09    [Diesen Beitrag zitieren]


Aufgabe 2 - V611122

Der Octivia-Touring-Sportwagen der Skoda-Automobilwerke Prag erreicht in \(14\) Sekunden nach dem Start eine Geschwindigkeit von \(80 \dfrac{\text{km}}{\text{h}}\).

a) Wieviel Kilometer hat er in dieser Zeit zurückgelegt (gleichmäßige Beschleunigung vorausgesetzt)?
b) In welcher Zeit hat er, vom Zeitpunkt des Starts ab gerechnet, \( 1 \text{km}\) zurückgelegt? (Es sei angenommen, dass der Wagen nach dem Erreichen der Geschwindigkeit von \(80 \dfrac{\text{km}}{\text{h}}\) mit dieser Geschwindigkeit weiterfährt.)

a) Wir suchen zuerst die konstante Beschleunigung
\[a \left( t \right) = a_{0}\] für alle \(0 \text{s} \leq t \leq 14 \text{s}\). Es gilt für die Geschwindigkeit
\[v \left( t \right) = a_{0} t\] für alle \(0 \text{s} \leq t \leq 14 \text{s}\) wegen \(v \left( 0 \text{s} \right) = 0 \dfrac{\text{m}}{\text{s}}\). Da
\[v  \left( 14 \text{s} \right) = a_{0} \cdot \left( 14 \text{s} \right) = 80 \dfrac{\text{km}}{\text{h}} = \dfrac{80000}{3600} \dfrac{\text{m}}{\text{s}} = \dfrac{200}{9} \dfrac{\text{m}}{\text{s}}\] ist, folgt
\[a_ {0} = \left( \dfrac{200}{9} \dfrac{\text{m}}{\text{s}} \right) \cdot \dfrac{1}{14 \text{s}} = \dfrac{100}{63} \dfrac{\text{m}}{\text{s}^{2}}\] und somit für die zurückgelegte Wegstrecke nach \(14\) Sekunden
\[w \left( 14 \text{s} \right) = \dfrac{a_{0}}{2} \cdot \left( 14 \text{s} \right)^ {2} = \dfrac{19600}{126} \text{m} = \dfrac{1400}{9} \text{m} \approx 0,156 \text{km}.\] Also legt das Fahrzeug in der Beschleunigungsphase eine Strecke von ungefähr \(0,156 \text{km}\) zurück.

b) Für die Gesamtstrecke von \(1 \text{km}\) gilt
\[w_{\text{gesamt}} = \dfrac{1400}{9} \text{m} + \left( \dfrac{200}{9} \dfrac{\text{m}}{\text{s}} \right) \cdot t_{2} = \dfrac{9000}{9} \text{m}.\] Somit folgt
\[\left( \dfrac{200}{9} \dfrac{m}{s} \right) \cdot t_{2} = \dfrac{7600}{9} \text{m}\] und daher \( t_{2} = 38 \text{s}\). Damit ist \(1 \text{km}\) entsprechend nach
\[t_{\text{gesamt}} = 14 \text{s} + 38 \text{s} = 52 \text{s}\] zurückgelegt.


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 34
Herkunft:
 Beitrag No.1788, eingetragen 2019-08-18 00:54    [Diesen Beitrag zitieren]


Aufgabe 3 - V611123

Beweisen Sie die folgende Behauptung!
In einem gleichseitigen Dreieck ist die Summe der Abstände eines im Inneren des Dreiecks gelegenen Punktes von den Dreiecksseiten gleich der Höhe des Dreiecks.

Wir bezeichnen mit \(\Delta ABC\) das Dreieck mit den Eckpunkten \(A\), \(B\) und \(C\). Da das Dreieck gleichseitig ist, gilt für die den Eckpunkten gegenüberliegenden Seiten \(a = \left| \overline{BC} \right|\), \(b = \left| \overline{AC} \right|\) und \(c = \left| \overline{AB} \right|\), dass \( a = b = c \) ist. Diese Seiten möchten wir alle als Grundseite \(g = a = b = c\) bezeichnen.

Liegt im Inneren des Dreiecks ein Punkt \(M\), so entstehen die drei Dreiecke \(\Delta ABM\), \(\Delta BCM\) und \(\Delta CAM\). Diese Dreiecke besitzen ebenfalls die Grundseite \(g\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(\Delta ABC\) mit Grundseite \(g\) und Höhe \(h\) ist genauso groß wie die Summe der Flächeninhalte der drei kleineren Dreiecke. Die Höhen in \(\Delta ABM\), \(\Delta BCM\) und \(\Delta CAM\) nennen wir \(h_{1}\), \(h_{2}\) und \(h_{3}\). Dies sind auch die Abstände von \(M\) zur entsprechenden Grundseite.

Es gilt somit
\[ \dfrac{g h}{2} = \dfrac{g h_{1}}{2} + \dfrac{g h_{2}}{2} + \dfrac{g h_{3}}{2} = \dfrac{g}{2} \cdot \left\{ h_{1} + h_{2} + h_{3} \right\}\] und daher folgt
\[ h = h_{1} + h_{2} + h_{3},\] was die Behauptung zeigt.

PS: Wer noch eine hübsche Skizze in TiKZ setzen könnte, dem wäre ich zu Dank verpflichtet.


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 34
Herkunft:
 Beitrag No.1787, eingetragen 2019-08-18 00:22    [Diesen Beitrag zitieren]


Aufgabe 3 - V611223

Diskutieren Sie die Funktion
\[f \left( x \right) = \begin{cases}
                       \dfrac{\left| x \right|}{x} \, & , & \, \text{für} \, \left| x \right| > 1, \\
                       x^3 \, & , & \, \text{für} \, \left| x \right| \leq 1.
                       \end{cases}\] Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von der Bildkurve der Funktion, der Abzissenachse und den Geraden \(x = -2\) und \(x = 2\) eingeschlossen wird.

1) Wir diskutieren kurz die Funktion. Es gilt
\[
  f \left( x \right) = \begin{cases}
                       -1 \, & , & \, \text{für} \, x < -1, \\
                       x^3 \, & , & \, \text{für} \, -1 \leq x \leq 1, \\
                       1 \, & , & \, \text{für} \, x > 1
                       \end{cases}
\] für die Funktion. Damit ist die Funktion \(f\) für \(x < -1\) konstant mit Funktionswert \(-1\). An der Stelle \(x = -1\) ist der Übergang stetig, aber nicht differenzierbar. Für \(-1 \leq x \leq 1\) gilt die Vorschrift \(f \left( x \right) = x^3\) und somit liegt an \(x = 0\) ein Wendepunkt vor, da \(f^{\prime \prime} \left( 0 \right) = 6 \cdot 0 = 0\) und \(f^{\prime \prime \prime} \left( 0 \right) = 6 > 0\) gilt. An der Stelle \(x = 1\) ist der Übergang stetig, aber nicht differenzierbar. Ferner ist die Funktion \(f\) für \(x > 1\) konstant mit Funktionswert \(1\).

Die Funktion \(f\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, da
\[- f \left( - x \right) = f \left( x \right)\] für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt.

2) Wegen der Punktsymmetrie kann der betrachtete Flächeninhalt nach
\[A_{\text{gesamt}} = 2 \cdot \int\limits_{0}^{2} f \left( x \right) \, \text{d}x = 2 \cdot \left\{ \int\limits_{0}^{1} x^{3} \, \text{d}x + \int\limits_{1}^{2} 1 \, \text{d}x \right\}\] berechnet werden. Daher gilt
\[A_{\text{gesamt}} = 2 \cdot \left\{ \left[ \dfrac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} + 1 \right\} = 2 \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{5}{2}.\]


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 34
Herkunft:
 Beitrag No.1786, eingetragen 2019-08-18 00:10    [Diesen Beitrag zitieren]

Es hält geistig fit, gelegentlich solche Aufgaben zu bearbeiten. Außerdem ist es durchaus schön zu sehen, dass man noch manches lösen kann. smile


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 961
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.1785, eingetragen 2019-08-17 23:16    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-17 22:38 - svrc in Beitrag No. 1784 schreibt:
PS: Irgendwie sieht die Gleichungsnummerierung in meiner Vorschau zwar richtig aus, aber im Thread erscheint sie bei mir falsch. Ich weiß aber nicht, woran das liegt. Bitte beim Abtippen beachten.
Das ist kein Problem. Im Latex-Text passe ich es entsprechend deiner Vorstellungen an.
Vielen Dank für die Lösungen.

LG Steffen


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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1597
Herkunft:
 Beitrag No.19, eingetragen 2019-04-22 17:03    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-22 14:36 - pzktupel in Beitrag No. 12 schreibt:
Aufgabe 041032:
Eine ganze Zahl schreibt sich im Dezimalsystem mit 300 Einsen und einer Anzahl von Nullen am Ende der Zahl.
Kann diese Zahl eine Quadratzahl sein?


Antwort : Nein, kann keine Quadratzahl sein....

Mein Vorschlag dazu:

Ausschlaggebend sind die 300 Einsen.

111....111 = (10^300-1)/9 , 10^300-1 müsste eine Quadratzahl ergeben

um Wurzel(10^300-1)/3 ganzzahlig bilden zu können. Da 10^300 eine Quadratzahl ist [(10^150)^2], ist um eins veringert dies keine mehr, da der Abstand zu nächsten kleineren QZ (2*10^150)-1 wäre.

Die Anzahl der Nullen wäre gerade und damit eine Potenz von 100.

Die Kurzdarstellung der Zahl ist also (10^300-1)*100^n / 9

Die Wurzel aus dieser, wie oben beschrieben, scheitert wegen 10^300-1
Diese Lösung ist unvollständig. Es müsste auch noch der Fall betrachtet werden, in dem die Anzahl der Nullen ungerade ist. Ich sehe auf Anhieb keine Möglichkeit diese Lücke zu reparieren, die nicht auf Betrachtung des Rests modulo 9 hinausläuft (siehe TomTom314s Lösung). Vielleicht hat jemand eine andere Idee.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]


Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1408
Herkunft:
 Beitrag No.18, eingetragen 2019-04-22 16:57    [Diesen Beitrag zitieren]

Huhu Steffen,

ich hoffe du hattest schöne Ostertage! Zu Aufgabe 041034:


Ein Anfang wäre es wohl Kandidat A zu betrachten, da dieser in 3 Aussagen vorkommt. Wenn A nun nicht volle Punktzahl hat, da muss von diesen 3 Aussagen eine mit beiden falschen Aussagen dabei sein. Wenn nun A und C beide falsch sind, dann müssten also F und D volle Punktzahl erhalten haben. Dann wären aber B und E beide leer ausgegangen, und somit hätten wir bei Aussage (4) wieder 2 verkehrte. Das funktioniert also nicht. Die gleiche Argumentation klappt auch für den Fall, dass A und F beide falsch sind und dass A und D beide falsch sind. A muss also volle Punktzahl erhalten haben und C, F und D nicht. Es fehlt dann also noch die Aussage, in der beide Angaben nicht stimmen. Nach Aussage (2) haben B und F volle Punktzahl erhalten und nach Aussage (4) B und E. B kann somit nicht volle Punktzahl erreicht haben, da in diesem Fall in beiden Aussagen eine Angabe richtig wäre. Somit hat B nicht volle Punktzahl erreicht. Dann hat E volle Punktzahl erreicht. Somit haben A und E volle Punktzahl erreicht.


Ich hoffe ich habe nichts übersehen. Ansonsten schiebe ich das einfach auf den Feiertag und das schöne Wetter!

Herzliche Grüße,

Küstenkind


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 961
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.17, eingetragen 2019-04-22 16:17    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-22 16:02 - pzktupel in Beitrag No. 16 schreibt:
@Steffen, bei meiner Lösung ist in Deiner Darstellung ein Fehler.
Danke für den Hinweis. Ist korrigiert.

LG Steffen


pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 968
Herkunft: Thüringen,Erfurter Raum
 Beitrag No.16, eingetragen 2019-04-22 16:02    [Diesen Beitrag zitieren]

@Steffen, bei meiner Lösung ist in Deiner Darstellung ein Fehler. Bei der einen Wurzel müsste eine 9 statt 3 im Nenner stehen...oder das Wurzelzeichen kleiner darstellen.

Sehr lobenswert, Deine Bemühungen !


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 961
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.15, eingetragen 2019-04-22 15:39    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,
Danke für die weiteren Lösungen. Die Hilfe ist großartig.

Ich habe jetzt die Lösungen in einer Datei zusammengefasst.
siehe mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=20525
Ich werde auch die nachfolgenden Lösungen ergänzen und die Datei ständig aktualisieren.

Im Moment steht als Name des Lösenden euer Matheplanet-Name. Selbstverständlich ändere ich dies gern auf euren richtigen Namen ab. Schreibt einfach eine PN.

Da ich euch nicht zu viel "einspannen" möchte, werde ich ab und an einmal einige neue Aufgaben nennen. Vielleicht nehme ich auch Aufgaben der 4.Stufe, also etwas anspruchsvollere.

Vielen Dank nochmals.
Steffen


TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1483
Herkunft:
 Beitrag No.14, eingetragen 2019-04-22 15:22    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 041036:
Das Volumen des Tretraeders ist gegeben durch $V=\frac{1}{3}G\cdot h$, wobei $G$ die Grundfläche bezeichnet. Durch einen Punkt im inneren zerfällt der Tetraeder in 4 Teiltetraeder mit Grundfläche $G$ und den Höhen $a,b,c,d$. Da der ganze Tetraeder regelmäßig ist, haben alle 4 Teilteraeder ebenfalls die Grundfläche $G$. Es gilt die Gleichung $V=V_a+V_b+V_c+V_d$, wobei $V_*$ das Volumen der Teiltetraeder mit der entsprechenden Höhe ist. Nach anwenden der Volumenformel erhalten wir
\[\frac{1}{3}G\cdot h=\frac{1}{3}G\cdot a+\frac{1}{3}G\cdot b+\frac{1}{3}G\cdot c+\frac{1}{3}G\cdot d\] und nach kürzen $h=a+b+c+d$.



TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1483
Herkunft:
 Beitrag No.13, eingetragen 2019-04-22 14:48    [Diesen Beitrag zitieren]

@TomTom134: Mehr Aufgaben? :-)  Ich habe noch eine große Menge.
Das habe ich befürchtet. Es ist auf jeden Fall eine angenehme Abwechslung zu Dreiecken.

Da ich so vorlaut war:

Aufgabe 041032:
Die Zahl n hat die Quersumme 300. Da 300 durch 3 aber nicht durch 9 teilbar ist, gilt dieses auch für n. Daher kann n keine Quadratzahl sein.


Aufgabe 041035:
Wenn $a$ nicht durch 3 teilbar ist, hat a die Gestalt $3n+1$ oder $3n+2$. Durch quadrieren der Gleichungen sehen wir, dass $a^2$ dann in beiden Fällen die Gestalt $3m+1$ hat ($m=9n^2+6n$ oder $m=9n^2+12n$). Wenn $a$ und $b$ beide nicht durch 3 teilbar sind, hat $a^2+b^2$ die Gestalt $3N+2$. Wenn $a$ durch 3 teilbar und $b$ nicht durch 3 teilbar ist, hat $a^2+b^2$ die Gestalt $3N+1$. In beiden Fällen ist $a^2+b^2$ nicht durch 3 teilbar. Also folgt aus "$a^2+b^2$ durch 3 teilbar" bereits, dass $a$ und $b$ durch 3 teilbar sind.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]


pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 968
Herkunft: Thüringen,Erfurter Raum
 Beitrag No.12, eingetragen 2019-04-22 14:36    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 041032:
Eine ganze Zahl schreibt sich im Dezimalsystem mit 300 Einsen und einer Anzahl von Nullen am Ende der Zahl.
Kann diese Zahl eine Quadratzahl sein?


Antwort : Nein, kann keine Quadratzahl sein....

Mein Vorschlag dazu:

Ausschlaggebend sind die 300 Einsen.

111....111 = (10^300-1)/9 , 10^300-1 müsste eine Quadratzahl ergeben

um Wurzel(10^300-1)/3 ganzzahlig bilden zu können. Da 10^300 eine Quadratzahl ist [(10^150)^2], ist um eins veringert dies keine mehr, da der Abstand zu nächsten kleineren QZ (2*10^150)-1 wäre.

Die Anzahl der Nullen wäre gerade und damit eine Potenz von 100.

Die Kurzdarstellung der Zahl ist also (10^300-1)*100^n / 9

Die Wurzel aus dieser, wie oben beschrieben, scheitert wegen 10^300-1

_________________________________

Aufgabe 041035:
Ist die folgende Aussage richtig?
Für alle ganzen Zahlen a und b gilt:
Wenn a2+b2 durch 3 teilbar ist, dann sind auch a und b durch 3 teilbar.

Ja, ist richtig.

Wir betrachten die Restklasse bei a MOD 3, diese sind 0,1,2
Betrachtet wird a=0 MOD 3 und b=0 MOD 3

I  (a+0)^2=a²   -> MOD 3 REST 0
II (a+1)=a²+2a+1-> MOD 3 REST 1,da a(a+2) Teiler 3 hat
III(a+2)=a²+4a+4-> MOD 3 REST 1,da a(a+4) Teiler 3 hat

analog für b

I  (b+0)^2=b²   -> MOD 3 REST 0
II (b+1)=b²+2b+1-> MOD 3 REST 1,da b(b+2) Teiler 3 hat
III(b+2)=b²+4b+4-> MOD 3 REST 1,da b(b+4) Teiler 3 hat

Man erkennt,nur für a MOD 3=0 und b MOD 3=0 ist die Addition von a²+b² durch 3 teilbar.







Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 435
Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
 Beitrag No.11, eingetragen 2019-04-22 14:17    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo
Lösungsvorschlag für 060935 a)

fed-Code einblenden


gruß Caban


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 961
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-04-22 13:59    [Diesen Beitrag zitieren]

Vielen Dank für die vielen Lösungen. Auf euch ist eben Verlass.
Ich werde alles so schnell wie möglich aufnehmen.

@Kornkreis: Danke für das Angebot. Jede Lösung ist herzlich willkommen.
@TomTom134: Mehr Aufgaben? smile  Ich habe noch eine große Menge.

Aufgabe 060935:
Auf dem Kreis k bewegen sich der Punkt A mit der gleichförmigen Geschwindigkeit v1 und der Punkt B mit der gleichförmigen Geschwindigkeit v2, wobei \(v_1 \neq v_2\) ist.
Bewegen sich beide Punkte im gleichen Umlaufsinn (etwa im Uhrzeigersinn), so überholt der Punkt A den Punkt B jeweils nach 56 min. Bewegen sich beide Punkte in verschiedenem Umlaufsinn, so begegnen sie
einander jeweils nach 8 min. Dabei verringert bzw. vergrößert sich ihr auf der Kreislinie gemessener Abstand voneinander in je 24 s um 14 m.
a) Wie lang ist der Kreisumfang?
b) Wie groß sind die Geschwindigkeiten v1 und v2 (in m/min)?

Aufgabe 060936:
In einer Ebene sind ein Kreis k, eine Gerade g sowie ein Punkt A auf g gegeben.
Man konstruiere einen Kreis k', der erstens k berührt und zweitens g in A berührt. Man untersuche, wie viele solcher Kreise k' es bei den verschiedenen Lagemöglichkeiten von k, g und A geben kann.

Aufgabe 041034:
Von sechs Schülern einer Schule, die an der zweiten Stufe der Mathematikolympiade teilnahmen, erreichten zwei die volle Punktzahl. Die Schüler seien zur Abkürzung mit A, B, C, D, E und F bezeichnet.
Auf die Frage, welche beiden Schüler die volle Punktzahl erreicht haben, wurden die folgenden fünf verschiedenen Antworten gegeben:
(1) A und C,
(2) B und F,
(3) F und A,
(4) B und E,
(5) D und A.
Nun wissen wir, daß in genau einer Antwort beide Angaben falsch sind, während in den übrigen vier Antworten jeweils genau eine Angabe zutrifft.
Welche beiden Schüler erreichten die volle Punktzahl ?

Aufgabe 041031:
Ein Fußgänger geht (mit konstanter Geschwindigkeit) um 9.00 Uhr von A nach dem 12, 75 km entfernten B.
Auf der gleichen Straße fährt um 9.26 Uhr ein Straßenbahnzug von A nach B ab. Er überholt den Fußgänger um 9.36 Uhr und fährt nach 4 Minuten Aufenthalt in B wieder zurück. Dabei begegnet er dem Fußgänger um 10.30 Uhr.
a) Wieviel Kilometer legen der Fußgänger und der Straßenbahnzug durchschnittlich in der Stunde zurück?
b) In welcher Entfernung von A überholt der Straßenbahnzug den Fußgänger, und wo begegnet er ihm bei der Rückfahrt?

Aufgabe 041032:
Eine ganze Zahl schreibt sich im Dezimalsystem mit 300 Einsen und einer Anzahl von Nullen am Ende der Zahl.
Kann diese Zahl eine Quadratzahl sein?

Aufgabe 041035:
Ist die folgende Aussage richtig?
Für alle ganzen Zahlen a und b gilt:
Wenn \(a^2+b^2\) durch 3 teilbar ist, dann sind auch a und b durch 3 teilbar.

Aufgabe 041036:
Ein regelmäßiges Tetraeder habe die Höhe h. Ein Punkt im Innern des Tetraeders habe von den Seitenflächen die Abstände a, b, c und d.
Man beweise: a + b + c + d = h!

Nochmals vielen Dank.
Steffen


Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.9, eingetragen 2019-04-22 13:37    [Diesen Beitrag zitieren]



Aufgabe 020915

<math>
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={anchor=east}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=west}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %

\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\alpha$"
] {angle =B--A--C};
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$"
] {angle =C--B--A};
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\gamma$"
] {angle =A--C--B};


% Umreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={below}{}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];

% Tangente in A
\draw[] (A) -- ($(A)!2 cm!90:(U)$) coordinate(Ya);
\draw[] (A) -- ($(A)!-\a cm!90:(U)$) coordinate(Xa);
% Tangente in B
\draw[] (B) -- ($(B)!\a cm!90:(U)$) coordinate[Punkt={below}{D}] (D);
\draw[] (B) -- ($(B)!-2cm!90:(U)$) coordinate(Xb);
% Tangente in C
\draw[] (C) -- ($(C)!3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Yc);
\draw[] (C) -- ($(C)!-3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Xc);
% Parallele durch D
\draw [name path=parallele] (D) -- +($2*(Xc)-2*(C)$) -- +($2*(Yc)-2*(C)$);

\draw[name path=AAs] (A) -- ($(C)!2.3*\a cm!(A)$);
\path[name intersections={of=parallele and AAs, name=As}] ;
\coordinate[Punkt={anchor=west}{A"}] (As) at (As-1);

\draw[name path=BBs] (B) -- ($(C)!1.5*\a cm!(B)$);
\path[name intersections={of=parallele and BBs, name=Bs}] ;
\coordinate[Punkt={below=3pt}{B"}] (Bs) at (Bs-1);

% Dreieck DAA"
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\gamma$", red, double,
] {angle =D--A--B};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$"
] {angle =As--A--D};

\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$", red, double,
] {angle =Xc--C--A}; % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$", blue,
] {angle =D--As--A}; % Z-Winkel

% Dreieck DBB"
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\gamma$", red, double,
] {angle =A--B--D};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\alpha$",
] {angle =D--B--Bs};

\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\alpha$", red, double,
] {angle =B--C--Yc};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\alpha$", blue,
] {angle =B--Bs--D}; % Z-Winkel

% Seitenlngen
\path[] (As) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (A) -- (D) node[midway, right]{$x$};

\path[] (Bs) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (B) -- (D) node[midway, left]{$x$};


\draw[densely dashed] (D) circle[radius=\a];

%% Punkte
\foreach \P in {D,As, Bs,A,B,C}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\node[below of=D, xshift=-10mm,
anchor=north west, align=left,
text width=1.2*\a cm, fill=black!1,
draw
]{Aus dem Sehnentangentenwinkelsatz (Sehnentangentenwinkel = Umfangswinkel) folgen zunchst die Sehnentangentenwinkel (rot eingezeichnet) bei  $A,\, B$ und $C$. \\
Die Winkel bei $A"$ und $B"$ folgen als Wechsel- bzw. Z-Winkel (blau eingezeichnet) der Winkel bei $C$. \\
Damit ist gezeigt, dass $DAA"$ und $DBB"$ gleichschenklige Dreiecke sind. \\[1em]
Haben die Schenkel im gleichschenkligen Dreieck $DAA"$ die Lnge $x$, so folgt durch Betrachtung des gleichschenkligen Dreieck $DBA$, dass auch das gleichschenklige Dreieck $DBB"$ Schenkel der Lnge $x$ hat. \\
Also haben die Punkte $A,B,A",B"$ alle samt von $D$ den selben Abstand, womit $D$ Mittelpunkt eines Kreises ist, der diese Punkte enthlt.
};
\end{tikzpicture}
</math>

LaTeX
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{5} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\coordinate[Punkt={anchor=east}{A}] (A) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={anchor=west}{B}] (B) at (\c,0); 
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %
 
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\alpha$"
] {angle =B--A--C}; 
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$"
] {angle =C--B--A}; 
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\gamma$"
] {angle =A--C--B}; 
 
 
% Umreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % 
 
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %  
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %    
 
\coordinate[Punkt={below}{}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); 
 
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %  
\draw[] (U) circle[radius=\R];
 
% Tangente in A
\draw[] (A) -- ($(A)!2 cm!90:(U)$) coordinate(Ya);
\draw[] (A) -- ($(A)!-\a cm!90:(U)$) coordinate(Xa);
% Tangente in B
\draw[] (B) -- ($(B)!\a cm!90:(U)$) coordinate[Punkt={below}{D}] (D);
\draw[] (B) -- ($(B)!-2cm!90:(U)$) coordinate(Xb);
% Tangente in C
\draw[] (C) -- ($(C)!3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Yc);
\draw[] (C) -- ($(C)!-3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Xc);
% Parallele durch D
\draw [name path=parallele] (D) -- +($2*(Xc)-2*(C)$) -- +($2*(Yc)-2*(C)$);
 
\draw[name path=AAs] (A) -- ($(C)!2.3*\a cm!(A)$);
\path[name intersections={of=parallele and AAs, name=As}] ;
\coordinate[Punkt={anchor=west}{A'}] (As) at (As-1); 
 
\draw[name path=BBs] (B) -- ($(C)!1.5*\a cm!(B)$);
\path[name intersections={of=parallele and BBs, name=Bs}] ;
\coordinate[Punkt={below=3pt}{B'}] (Bs) at (Bs-1); 
 
% Dreieck DAA'
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\gamma$", red, double, 
] {angle =D--A--B};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$"
] {angle =As--A--D}; 
 
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$", red, double,  
] {angle =Xc--C--A}; % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$", blue, 
] {angle =D--As--A}; % Z-Winkel
 
% Dreieck DBB'
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\gamma$", red, double, 
] {angle =A--B--D};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\alpha$", 
] {angle =D--B--Bs};
 
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\alpha$", red, double, 
] {angle =B--C--Yc};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\alpha$", blue, 
] {angle =B--Bs--D}; % Z-Winkel
 
% Seitenlängen
\path[] (As) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (A) -- (D) node[midway, right]{$x$};
 
\path[] (Bs) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (B) -- (D) node[midway, left]{$x$};
 
 
\draw[densely dashed] (D) circle[radius=\a];
 
%% Punkte
\foreach \P in {D,As, Bs,A,B,C}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
\node[below of=D, xshift=-10mm, 
anchor=north west, align=left, 
text width=1.2*\a cm, fill=black!1,
draw
]{Aus dem Sehnentangentenwinkelsatz (Sehnentangentenwinkel = Umfangswinkel) folgen zunächst die Sehnentangentenwinkel (rot eingezeichnet) bei  $A,\, B$ und $C$. \\
Die Winkel bei $A'$ und $B'$ folgen als Wechsel- bzw. Z-Winkel (blau eingezeichnet) der Winkel bei $C$. \\
Damit ist gezeigt, dass $DAA'$ und $DBB'$ gleichschenklige Dreiecke sind. \\[1em]
Haben die Schenkel im gleichschenkligen Dreieck $DAA'$ die Länge $x$, so folgt durch Betrachtung des gleichschenkligen Dreieck $DBA$, dass auch das gleichschenklige Dreieck $DBB'$ Schenkel der Länge $x$ hat. \\
Also haben die Punkte $A,B,A',B'$ alle samt von $D$ den selben Abstand, womit $D$ Mittelpunkt eines Kreises ist, der diese Punkte enthält. 
};
\end{tikzpicture}
 
\end{document}




TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
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Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-04-22 12:56    [Diesen Beitrag zitieren]

Vielleicht hat der eine oder andere Lust und Freude dabei zu helfen. Außer einer ehrenvollen Erwähnung kann ich aber nichts bieten.

Mehr Aufgaben!!!  smile  smile  smile Bei diesen Aufgabentypen wirst Du hier - denke ich - reichlich fleißige Helfer finden.

zu Aufgabe 060932: Ich vermute, dass die Behauptung immer noch gilt, wenn nur gefordert wird, dass die 4 Umkreisradien gleich sind. Ein Beweis oder Gegenbeispiel würde mich interessieren.


TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1483
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-04-22 12:35    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 060933:
Beweisen Sie die folgende Behauptung:
In keinem rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Hypotenuse kleiner als das \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)-fache der Summe der Kathetenlängen.
Nach Normierung der Hypotenuse auf 1 ist die Ungleichung $1\geq\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+\sqrt{1-x^2})$ zu zeigen, wobei $x,y$ die Kathetenlängen bezeichnet ($x^2+y^2 = 1$). Aus $0\leq x \leq 1$ folgt $\sqrt{2}-x>0$ und $1-x^2\geq 0$. Somit gilt die folgende Äquivalenz.

$1\geq\frac{1}{\sqrt{2}}(x+\sqrt{1-x^2})\iff\\ (\sqrt{2}-x)^2 \geq 1-x^2 \iff\\ 0\geq-1 +2\sqrt{2}x -2x^2 = -2(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2\iff\\ 0\leq(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2$.

Die letzte Zeile ist für alle $x\in\IR$ wahr. q.e.d.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


philippw
Senior
Dabei seit: 01.06.2005
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Herkunft: Hoyerswerda
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-04-22 12:13    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart schreibt:
Aufgabe 060932:
Beweisen Sie die folgende Behauptung:
Sind bei einem (nicht notwendigerweise regelmäßigen) Tetraeder ABCD die Umfänge aller seiner vier Seitenflächen untereinander gleich, dann sind diese Flächen zueinander kongruent.

060932
Der Umfang sei u, die Seitenlängen seinen a,b,c,d,e,f, sodass u=a+b+c=a+e+f=b+d+f=c+d+e. Addiere die ersten beiden Umfänge und ziehe die anderen beiden Umfänge ab, und wir erhalten: 0=u+u-u-u=a+b+c+a+e+f-b-d-f-c-d-e=2a-2d, also a=d. Analog erhält man b=e und c=f. Also haben alle vier Dreiecke Seiten mit Längen a, b und c. Dreiecke mit den gleichen Seitenlängen sind bekanntlich kongruent.


Kornkreis
Senior
Dabei seit: 02.01.2012
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 Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-22 11:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich hatte in meiner Olympiadensucht vor einigen Jahren unter anderem eine riesige Menge alter Aufgaben der Klassenstufen 10 und 11-12 (Landesrunde und nationale Runde) gelöst, meistens Zahlentheorie, Kombinatorik und Funktionalgleichungen. Am Anfang hatte ich ein paar Lösungen zur Kontrolle auch ins Matheboard und auf den Matheplaneten geschrieben.
Davon könnte ich ja dann mal die Links raussuchen und auch meine Notizen zu den anderen Aufgaben rauskramen. Ich hatte aber die Jahrgänge nicht flächendeckend bearbeitet, sondern Aufgaben nach Interesse ausgewählt.


pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 968
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 Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-22 10:42    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke Vercassivelaunos, ich habe es "gezeigt" in der Ergänzung.


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
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Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-22 10:38    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Hallo stpolster,

ich habe mir mal Aufgabe 060931 angeschaut:


Zwei Primzahlen p1 und p2 (mit p1 > p2) heißen Primzahlzwillinge, wenn p1 − p2 = 2 gilt.
Beweisen Sie, dass für alle Primzahlzwillinge p1 und p2, für die p2 > 3 ist, stets die Summe p1 + p2 durch 12 teilbar ist!

Lösung:

Für die Uni: (Das wäre dann so eine Einstiegs-Klausuraufgabe vom Typ "Beherrschen Sie Moduloarithmetik?")
Es ist zu zeigen, dass  $p_1+p_2=0\mod12$. Dafür zeigen wir getrennt, dass $p_1+p_2=0\mod3$ und $p_1+p_2=0\mod 4$. (Das reicht wegen der Teilerfremdheit von 3 und 4).

$0\mod3$:
Es gilt $p_1,p_2>3$, also $p_1,p_2\neq0\mod3$. Das führt $p_2=1\mod3$ zum Widerspruch, denn dann wäre $p_1=p_2+2=1+2=3=0\mod 3$. Es muss also $p_2=-1\mod3$ sein. Dann ist $p_1=-1+2=1\mod3$, und damit $p_1+p_2=-1+1=0\mod3$.

$0\mod4$:
Da $p_1,p_2>2$ gilt $p_1=p_2=1\mod2$, und damit $p_1,p_2=\pm1\mod4$ (beachte, dass nicht unbedingt $p_1=p_2\mod4$). Falls $p_2=1\mod4$, dann ist $p_1=p_2+2=3=-1\mod4$, und damit $p_1+p_2=0\mod4$. Ist hingegen $p_2=-1\mod4$, dann ist $p_1=p_2+2=1\mod4$, und wieder $p_1+p_2=0\mod4$.

Für die Schule:
Wir zeigen, dass $p_1+p_2$ sowohl durch 4, als auch durch 3 teilbar ist. Da 4 und 3 teilerfremd sind, muss dann nämlich $p_1+p_2$ durch $4\cdot3=12$ teilbar sein.

Teilbarkeit durch 3:
Da beide Primzahlen größer als drei sind, sind sie nicht durch 3 teilbar. Damit ist $p_2$ entweder von der Form $p_2=3k+1$ oder $p_2=3k+2$ mit einer natürlichen Zahl $k$. Da $p_1-p_2=2$ ist $p_1=p_2+2$. Also ist $p_1$ von der Form $p_1=p_2+2=3k+1+2=3(k+1)$ oder $p_1=p2_+2=3k+2+2=3(k+1)+1$.
Der erste Fall kann nicht sein, denn dann wäre $p_1$ durch 3 teilbar, und somit keine Primzahl. Im zweiten Fall ist aber $p_1+p_2$ von der Form $p_1+p_2=3(k+1)+1+3k+2=2\cdot3(k+1)$, ist also durch 3 teilbar.

Teilbarkeit durch 4:
Da beide Primzahlen größer als 3 sind, sind sie nicht durch 2 teilbar. Damit ist $p_2$ von der Form $p_2=2k+1$. Dann ist $p_1=p_2+2=2k+3$. Dann ist $p_1+p_2=2k+1+2k+3=4k+4=4(k+1)$, also durch 4 teilbar.

Damit ist $p_1+p_2$ durch 3 und durch 4 teilbar, und damit auch durch $12$.


Viele Grüße,
Vercassivelaunos

Nachtrag: Wenn man direkt verwendet, dass alle PZ außer 2 und 3 von der Form $6k\pm1$ sind, dann ist pzktupels Beweis natürlich um längen eleganter. Ich schätze aber mal, dass man das in der Olympiade erst zeigen müsste.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)

pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 968
Herkunft: Thüringen,Erfurter Raum
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-22 10:30    [Diesen Beitrag zitieren]

@StrgAltEntf
Das ist extrem elegant, gefällt mir !


@Steffen
Aufgabe 060931:
Zwei Primzahlen p1 und p2 (mit p1 > p2) heißen Primzahlzwillinge, wenn p1 − p2 = 2 gilt.
Beweisen Sie, dass für alle Primzahlzwillinge p1 und p2, für die p2 > 3 ist, stets die Summe p1 + p2 durch 12 teilbar ist!

Als Laie würde ich sagen.


Alle Primzahlen sind der Form 6n-1 oder 6n+1 (außer 2 und 3), diese haben im Fall der Zwillinge einen Abstand von 2.

Da p1<p2 muss p1=6n-1 besitzen.

(6n-1)+(6n+1)=12n, somit ist die Summe p1+p2 in der Tat durch 12 teilbar.

6n-1 ist kongruent 6n+5 (mod 6)

"Beweis", das Primzahlen nur der Form 6n+1,6n+5 sind:

Um alle Zahlen zu untersuchen ermittelt man Teiler von

6n+0,hat Teiler 2,3
6n+1
6n+2,hat Teiler 2
6n+3,hat Teiler 3
6n+4,hat Teiler 2
6n+5

Damit ist der Restklassenring für MOD 6 abgeschlossen und es verbleiben als mögliche Primzahlen
6n+1 und 6n+5

Anmerkung:
Um 6n-1 auszugrenzen, verwendet man für p2=6n+1 einfach p2=6n+7 und p1=6n+5

p1+p2=(6n+5)+(6n+7)=12(n+1), 12 ist somit Teiler von p2+p1


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5079
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-22 10:12    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Steffen,

2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart schreibt:
Aufgabe 060934:
Zeigen Sie, dass es unter allen Zahlen der Form 2p + 1, wobei p eine Primzahl ist, genau eine Kubikzahl gibt!

Das ist einfach.
Sei \(2p+1=a^3\). Dann ist \(a\) ungerade und es gilt \(p = \frac{a^3-1}2 = \frac{a-1}2(a^2+a+1)\). Da \(p\) prim, muss \(\frac{a-1}2=1\) oder \(a^2+a+1=1\) gelten. Da \(a^2+a+1>1\) folgt \(a=3\) und somit \(p=13\). In der Tat ist \(13\) prim und es gilt \(2\cdot13+1=3^3\).


Grüße
StrgAltEntf


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 961
Herkunft: Chemnitz
 Themenstart: 2019-04-22 08:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,
ich bin seit einiger Zeit an der Zusammenstellung von Lösungen zu alten Mathematik-Olympiadeaufgaben. Durch Manuela Kugel ( www.olympiade-mathematik.de/ ) wurden in extrem fleißiger Arbeit alle Aufgaben zusammengetragen. Bei einigen fehlen noch die Lösungen.

Ich habe nun begonnen, die eine oder andere Lösung zu ermitteln und in LaTex zu setzen. Das Bereitstellen aller Lösungen übersteigt aber mein Zeitvolumen und vor alle meine mathematischen Fähigkeiten.

Vielleicht hat der eine oder andere Lust und Freude dabei zu helfen. Außer einer ehrenvollen Erwähnung kann ich aber nichts bieten.

Aufgaben ohne Lösungen findet man in den Texten www.olympiade-mathematik.de/ oder bei mir mathematikalpha.de/mathematikaufgaben . Es kann ja sein, dass Klassenstufe 9 zu einfach ist.

neuer Link: Download der ungelösten Aufgaben

Ich würde diese Lösungen in eine Datei übernehmen (Latex würde mir die Arbeit erleichtern) und wie gesagt, den "Löser" lobend erwähnen.
Sobald eine Klassenstufe eines Jahrgangs komplett ist, füge ich die PDF-Datei in die Datei der Aufgaben und stelle sie online.

Sollte jemand von euch Interesse haben, würde es mich freuen.

LG und schöne Rest-Ostern
Steffen

Alle eure Lösungen, inkl. der Aufgaben, findet ihr unter:
mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=20525
Sollte eine alte Datei angezeigt werden, bitte mit der F5-Taste im Browser die Datei erneut laden.


 
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