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OlgaBarati
Aktiv
Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 143
Herkunft:
 Beitrag No.1832, eingetragen 2019-08-19 20:08    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 1 - V611231
In einem volkseigenen Großbetrieb der Elektroindustrie werden j¨ahrlich 12000 Stuck eines bestimm- ¨
ten Halbfabrikats von einem Zulieferbetrieb zum Preise von 1,00 DM je Stuck bezogen. Die Bestellung ¨
erfolgte bisher zweimal im Jahr, und zwar am 1. Januar und am 1. Juli.
Die Verwaltungskosten fur jede Bestellung (Ausschreiben und Versenden der Bestellung, ¨
Uberwachung des Liefertermins, Rechnungspr ¨ ufung, Verbuchung usw.) betragen 30,00 DM. Die Kos- ¨
ten der Lagerhaltung (Raumkosten, Verwaltung, ”Schwund” durch Verderben und Besch¨adigung
usw.) betragen j¨ahrlich 20 % des Wertes des durchschnittlich am Lager befindlichen Materials. Die
Kosten fur Bestellung und Lagerhaltung betrugen also j ¨ ¨ahrlich
2 Bestellungen ... 60,00 DM
Kosten der Lagerhaltung 20 % vom durchschnittlichen Lagerbestand (3000 Stuck), also 20 % von ¨
3000,00 DM, das sind 600,00 DM
Zusammen 660,00 DM
In einer Produktionsberatung wird vorgeschlagen, die Kosten dadurch zu senken, dass viermal im
Jahr die fur jeweils ein Quartal ben ¨ ¨otigte Menge (3000 Stuck) bestellt wird. ¨
a) Wie hoch sind nach diesem Vorschlag die Kosten?
b) Bei welcher Zahl von Bestellungen entstehen die geringsten Kosten? Wie hoch sind in diesem Fall
die Kosten?
Hinweis: Erst im Jahr 1964 wurde in der DDR die Bezeichnung ”Deutsche Mark” in ”Mark der
Deutschen Notenbank” (MDN) und anschließend 1968 in ”Mark” ge¨andert.

Lösungsversuch
Seien x die Bestellungen pro Jahr und die jährlichen Gesamtkosten, bestehend aus den Bestellkosten und den Lagerkosten für dieses Halbfabrikat, \[K_{_G}=K_{_B}+K_{_L}=30 x+\frac{1200}{x}\] so ergeben sich die Kosten für
 a)
\[K_{_G}=K_{_B}+K_{_L}=30\cdot 4 +\frac{1200}{4}=420.\] und die geringsten Gesamtkosten für
b) \[K'_{_G}=30-\frac{1200}{x^2}\] \[30x^2-1200=0\] \[x=[\sqrt{40}]= 6\] Für x=6 eingesetzt erhält man tatsächlich der geringsten Wert von 380. Mit \(x=5,\; x=7\) steigen die Kosten bereits wieder an.

oLGa

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1830 begonnen.]


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5085
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.1831, eingetragen 2019-08-19 20:02    [Diesen Beitrag zitieren]

V611033

2019-08-19 12:24 - stpolster in Beitrag No. 1826 schreibt:
2019-08-19 11:55 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1825 schreibt:
@Steffen: Kann es sein, dass es in der Aufgabe 57 statt 75 heißen muss?
Ok, dieses Mal ist beim Mathe-Lehmann eine 57 und in der alten Kopie falsch.
Also 57 muss es heißen. Sorry.

Okay, dann hier noch mal die ausformulierte Lösung. Ist aber ne blöde Aufgabe, wie ich finde.

Die Divisionsaufgabe die Fritz gestellt wird, möge \(\frac ab\) lauten. Fritz rechnet
\(a=57\cdot b+52\),
macht die Probe und erhält dabei
\(57\cdot b'+52=17380\)
wobei sich der Faktor \(b'\) irrtümlich in der Zehnerstelle vom korrekten Wert \(b\) unterscheidet.

Es folgt dann
\(b'=\frac{17380-52}{57}=304\).
Laut Aufgabenstellung ergibt sich der wirkliche Wert \(b\), indem die Zehnerstelle \(0\) von \(b'\) durch 6 ersetzt wird. Folglich ist \(b=364\), \(a=57\cdot364+52=20800\) und die Divisionsaufgabe, die Fritz gestellt wurde, lautet \(\frac{20800}{364}\).


OlgaBarati
Aktiv
Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 143
Herkunft:
 Beitrag No.1830, eingetragen 2019-08-19 18:57    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 2 - V611232
Vom Fenster (Breite 100 cm, Höhe 85 cm) eines fahrenden Zuges aus scheinen Regentropfen; bei völliger Windstille; in Richtung der Fensterdiagonalen zu fallen.
Wie groß ist die Fallgeschwindigkeit der Tropfen (in m/s), wenn der Zug in 3 Minuten 3 km zurücklegt?

Geht man davon aus, dass das Zuggleis gerade und horizontal verläuft, die Fensterbreite parallel zum Gleis verläuft und der Regen senkrecht zu dem Gleis fällt, dann ist die Fallgeschwindigkeit \(V_{_R}=\frac{85}{100}V_{_Z}\approx 14,166.\)

Was ist hier falsch ?
Das kann doch nicht (so einfach) schon richtig sein.

oLGa


OlgaBarati
Aktiv
Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 143
Herkunft:
 Beitrag No.1829, eingetragen 2019-08-19 17:59    [Diesen Beitrag zitieren]

@ Steffen, sehr freundlich aber ich denke besser nicht. Sie enthält keine deutlich abweichende Lösung.

oLGa


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 967
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.1828, eingetragen 2019-08-19 16:57    [Diesen Beitrag zitieren]

Die nachfolgende Aufgabe hat mich 2 Stunden gekostet, vor allem das Zeichnen war "extrem":

Aufgabe 4 - V610934

Man kann den Mittelpunkt $M$ einer Strecke $AB$ auf folgende Weise nur mit dem Zirkel konstruieren:
Zeichnen Sie $AB$! Schlagen Sie um $B$ mit $AB$ einen Kreis und um $A$ mit der gleichen Zirkelspanne ebenfalls einen Kreis, der den anderen Kreis in $C$ bzw. $C'$  schneidet!
Um $C$ schlagen Sie wiederum einen Kreis mit gleicher Zirkelspanne, der den Kreis um $B$ in $D$ schneidet! Schlagen Sie nun einen gleich großen Kreis um $D$!
Sie erhalten Punkt $E$ als Schnittpunkt mit dem Kreis um $B$. Jetzt schlagen Sie um $E$ mit $CE$ und um $A$ mit $AE$ Kreise, die einander in $F$ und $F'$ schneiden!
Schlagen Sie schließlich noch um $F$ und $F'$ Kreise mit $FE$, dann erhalten Sie den Punkt $M$!
Beweisen Sie, dass $M$ der Mittelpunkt von $AB$ ist!

<math>
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=1,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   }]
\coordinate(a) at (0,0);
\coordinate(b) at (2,0);
\draw[gray, name path=kreisa] (a) circle (2);
\draw[gray, name path=kreisb] (b) circle (2);
\path[name intersections={of=kreisa and kreisb, name=D}];
\coordinate[Punkt={below}{C}] (c1) at (D-1);
\coordinate[Punkt={above}{C"}] (c2) at (D-2);
\draw[gray, name path=kreisc] (c1) circle (2);
\path[name intersections={of=kreisc and kreisb, name=D}];
\coordinate[Punkt={below}{D}] (d) at (D-1);
\draw[gray, name path=kreisd] (d) circle (2);
\path[name intersections={of=kreisd and kreisb, name=D}];
\coordinate[Punkt={below}{E}] (e) at (D-2);
\draw[gray, name path=kreise] (e) circle (3.4641);
\draw[gray, name path=kreisf] (a) circle (4);
\path[name intersections={of=kreise and kreisf, name=D}];
\coordinate[Punkt={below}{F}] (f1) at (D-1);
\coordinate[Punkt={below}{F"}] (f2) at (D-2);
\draw[gray, name path=kreisg] (f1) circle (3.4641);
\draw[gray, name path=kreish] (f2) circle (3.4641);
\path[name intersections={of=kreisg and kreish, name=D}];
\coordinate[Punkt={below}{M}] (m) at (D-1);
\foreach \P in {a,b,c1,c2,d,e,f1,f2,m}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.07);}
\node[left] at (a) {$A$};
\node[below] at (b) {$B$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
</math>

Es sei $AB = r$ der Radius des ersten Kreises. Weiterhin liege $A$ im Koordinatenursprung und $B$ bei $(r, 0)$.
Dann ergeben sich für die Punkte auf Grund der Konstruktion die Koordinaten:
\[
A(0, 0)\quad ; \quad B(r, 0)\quad ; \quad C \left(\frac{r}{2}, \frac{\sqrt 3}{2}r \right)\quad ; \quad E(2r, 0)
\] Damit ergibt sich für den Abstand der Punkte $C$ und $E$: $CE = \sqrt 3 r$, sowie $AE = 2r$. Für die Punkte $F$ und $F'$ wird mit der Konstruktion für das Dreieck $AFE$
\[
AE = 2r \quad ; \quad AF = 2r \quad ; \quad EF = \sqrt 3 r
\] Der Schnittpunkt $M$ der Kreise um $F$ und $F'$ mit dem Radius $EF$ liegt aus Symmetriegründen auf der Strecke $AE$ (1).

<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=1.4]
\coordinate(a) at (0,0);
\coordinate(e) at (2,0);
\coordinate(f) at (1.2,1.8);
\coordinate(m) at (0.4,0);
\coordinate(h) at (1.2,0);
\draw (a) -- (e) -- (f) -- cycle;
\draw (h)--(f) -- (m);
\foreach \P in {a,e,f,m,h}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}
\node[below] at (a) {$A$};
\node[below] at (e) {$E$};
\node[below] at (m) {$M$};
\node[above] at (f) {$F$};
\node[above right] at (h) {$H$};
\node[below] at (0.2,0) {$m$};
\node[below] at (1.2,0) {$2r-m$};
\node[left] at ($(a)!0.5!(f)$) {$2r$};
\node[right] at ($(f)!0.75!(m)$) {$r \sqrt 3$};
\node[right] at (1.2,0.9) {$h$};
\end{tikzpicture}
</math>

Für den Punkt $M(m ; 0)$ ergibt sich dann in den zwei rechtwinkligen Dreiecken $AHF$ und $MFH$ für die Höhe $h$:
\[
h^2 = (2r)^2 - \left(m + \frac{2r-m}{2}\right)^2 \qquad ; \qquad
h^2 = (r \sqrt 3)^2 - \left(\frac{2r-m}{2}\right)^2
\] Gleichsetzen und Auflösen nach $m$ ergibt:
\[
m^2 + 4mr - 12r^2 = m^2 - 4mr - 8r^2
\] \[
m = \frac{r}{2}
\] Damit ist mit (1) $M$ Mittelpunkt der Strecke $AB$. w.z.b.w.

Ich bitte um Kontrolle.

Danke
Steffen

@Olga: Ich nehme es als 2. Lösung auf. Danke.


OlgaBarati
Aktiv
Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 143
Herkunft:
 Beitrag No.1827, eingetragen 2019-08-19 15:44    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 15 - V601015
An der Innenwand eines zylinderförmigen Glasgefäßes klebt 3 cm vom oberen Rande entfernt ein Tropfen Honig, während an der Außenwand auf einem genau gegenüberliegenden Punkt eine Fliege sitzt.
Welches ist der kürzeste Weg, auf dem die Fliege zu dem Honigtropfen laufen kann ?
Die Maße des Zylinders: h = 20 cm, d = 10 cm.

Alle Werte entsprechen der Maßangabe in cm.
Die Fliege muss zweimal den Höhenunterschied \(\Delta h=3\) und die Hälfte des Gefäßumfanges \(\frac{U}{2}=\frac{d\pi}{2}\approx 15,71 \) überwinden.
Mit der Aufteilung der zu überwindenden Strecke \(S\) in 2 gleiche Streckenabschnitte ergibt sich  mit dem Satz des Pythagoras \(c^2=a^2+b^2\) die kürzeste Verbindung  \[\frac{S}{2}=\sqrt{(\frac{d\pi}{4})^2+(\Delta h)^2}\] und somit für für die minimale Strecke \(S\) \[S=2\sqrt{\frac{25}{4}\pi^2+9}\approx 16,815.\]

EDIT: Da hat sich wohl was überschnitten, die Aufgabe steht nun schon als gelöst im Text.


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 967
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.1826, eingetragen 2019-08-19 12:24    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-19 11:55 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1825 schreibt:
@Steffen: Kann es sein, dass es in der Aufgabe 57 statt 75 heißen muss?
Ok, dieses Mal ist beim Mathe-Lehmann eine 57 und in der alten Kopie falsch.
Also 57 muss es heißen. Sorry.

LG Steffen


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5085
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.1825, eingetragen 2019-08-19 11:55    [Diesen Beitrag zitieren]

V611033

2019-08-19 09:59 - OlgaBarati in Beitrag No. 1822 schreibt:
@StrgAltEntf

Schätze hier ist die 364 anstelle von \(\frac{17380-52}{57}=304\) gesucht, wenn man den (vermuteten) Zahlendreher korrigiert.

Das ergibt tatsächlich mehr Sinn.

@Steffen: Kann es sein, dass es in der Aufgabe 57 statt 75 heißen muss?


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 967
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.1824, eingetragen 2019-08-19 10:16    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Hyperplot,
ich habe jetzt als erstes versucht, deine schöne Darstellung aufzunehmen

\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,10,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} %
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} %
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1);
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330}
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330}
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}

Leider bekomme ich bei

\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
usw.

die Fehlermeldung
Undefined control sequence. <argument> 90-\Winkel-\AlphaStart:\v\R

Allerdings habe ich bei

\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} %

ein } angefügt, da er dort schon meckerte. Da } an Ende, vor \end{document} wollte er gar nicht.

Ich habe wieder einmal keine Ahnung .

LG Steffen


HyperPlot
Aktiv
Dabei seit: 06.01.2019
Mitteilungen: 306
Herkunft: Kneedeep in the Dead
 Beitrag No.1823, eingetragen 2019-08-19 10:01    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-19 09:45 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1821 schreibt:
Hallo Hyperplot,

Hallo mawi, hallo MontyPythagoras!
(...)
Wegen einer Korrekturlösung kann ich gerade noch nichts versprechen. Da ich nicht weiß, wann ich dazu komme.
(...)

Brauchst Du auch nicht, denke ich. Wie ich in #1812 geschrieben habe, würde ich einfach die fehlerhaften Sätze aus der Lösung von Eckhard Specht löschen, und unten drunter schreiben "korrigiert von Hyperplot", und fertig. Und die Bilder sollten natürlich die Vollkreise zeigen statt der Möndchen, aber das würde Steffen vermutlich erledigen.

Ciao, Thomas

Naja, neues Bild heißt wahrscheinlich auch neuer Erklärungstext.

Ansonsten sollten Kreismittelpunkt und Radius -als Zusatzaufgabe- angegeben werden, als Funktion des Startwinkels.


OlgaBarati
Aktiv
Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 143
Herkunft:
 Beitrag No.1822, eingetragen 2019-08-19 09:59    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-18 22:31 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1816 schreibt:
V611033
Fritz ermittelt als Ergebnis einer Divisionsaufgabe 75 Rest 52. Er macht die Probe und erhält 17380. Das ist falsch; denn er hatte die Zahlen undeutlich geschrieben und bei der Probe beim Divisor im Zehner eine 6 als 0 gelesen. Wie heißt die Aufgabe? Wie haben Sie das Ergebnis gefunden?

Hier ist mir noch nicht klar, wie die Aufgabe zu verstehen ist.

Nehmen wir an, die Divisionsaufgabe lautet a/b. b ist der Divisor, richtig?
Dann ermittelt Fritz
a = 75 b + 52

Nun macht er die Probe:
75 b' + 52 = 17380
wobei sich b und b' irrtümlich bei der Zehnerstelle unterscheiden.

Aber irgendwie passt das nicht.

@StrgAltEntf

Schätze hier ist die 364 anstelle von \(\frac{17380-52}{57}=304\) gesucht, wenn man den (vermuteten) Zahlendreher korrigiert.
LG Olga


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1956
Herkunft: Hattingen
 Beitrag No.1821, eingetragen 2019-08-19 09:45    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Hyperplot,

Hallo mawi, hallo MontyPythagoras!
(...)
Wegen einer Korrekturlösung kann ich gerade noch nichts versprechen. Da ich nicht weiß, wann ich dazu komme.
(...)

Brauchst Du auch nicht, denke ich. Wie ich in #1812 geschrieben habe, würde ich einfach die fehlerhaften Sätze aus der Lösung von Eckhard Specht löschen, und unten drunter schreiben "korrigiert von Hyperplot", und fertig. Und die Bilder sollten natürlich die Vollkreise zeigen statt der Möndchen, aber das würde Steffen vermutlich erledigen.

Ciao,

Thomas


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 967
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.1820, eingetragen 2019-08-19 08:10    [Diesen Beitrag zitieren]

Bei nachfolgender Aufgabe habe ich ein veröffentlichtes Ergebnis von 1:2:3. Nun habe ich mich selbst versucht.

Aufgabe 3 - V611023

Die Vierecke $V_1$, $V_2$, $V_3$ stimmen in den Diagonalen $e$ und $f$ überein. In $V_1$ schneiden sich diese Diagonalen unter einem Winkel von $30^\circ$, in $V_2$ unter $45^\circ$, in $V_3$ unter $60^\circ$.
Wie verhalten sich die Flächeninhalte der drei Vierecke?

<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=0.8]
\coordinate(a) at (0,0);
\coordinate(a0) at (1.8,0);
\coordinate(c) at (4,0);
\coordinate(b) at ($(a0)!2.4cm!30:(c)$);
\coordinate(d) at ($(a0)!1.6cm!210:(c)$);
\draw (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- cycle;
\draw (a) -- (c);
\draw (b) -- (d);
\foreach \P in {a,b,c,d}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}
\node[left] at (a) {$A$};
\node[above] at (b) {$B$};
\node[right] at (c) {$C$};
\node[below] at (d) {$D$};
\node[below] at ($(a)!0.25!(c)$) {$e$};
\node[below] at ($(b)!0.15!(d)$) {$f$};
\draw pic [draw, angle radius=9mm, %angle eccentricity=1.3,
"$30^\circ$", ] {angle =c--a0--b};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=0.8]
\coordinate(a) at (0,0);
\coordinate(a0) at (1.8,0);
\coordinate(c) at (4,0);
\coordinate(b) at ($(a0)!2.4cm!45:(c)$);
\coordinate(d) at ($(a0)!1.6cm!225:(c)$);
\draw (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- cycle;
\draw (a) -- (c);
\draw (b) -- (d);
\foreach \P in {a,b,c,d}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}
\node[left] at (a) {$A$};
\node[above] at (b) {$B$};
\node[right] at (c) {$C$};
\node[below] at (d) {$D$};
\node[below] at ($(a)!0.25!(c)$) {$e$};
\node[below] at ($(b)!0.15!(d)$) {$f$};
\draw pic [draw, angle radius=9mm, %angle eccentricity=1.3,
"$45^\circ$", ] {angle =c--a0--b};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=0.8]
\coordinate(a) at (0,0);
\coordinate(a0) at (1.8,0);
\coordinate(c) at (4,0);
\coordinate(b) at ($(a0)!2.4cm!60:(c)$);
\coordinate(d) at ($(a0)!1.6cm!240:(c)$);
\draw (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- cycle;
\draw (a) -- (c);
\draw (b) -- (d);
\foreach \P in {a,b,c,d}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}
\node[left] at (a) {$A$};
\node[above] at (b) {$B$};
\node[right] at (c) {$C$};
\node[below] at (d) {$D$};
\node[below] at ($(a)!0.25!(c)$) {$e$};
\node[below] at ($(b)!0.15!(d)$) {$f$};
\draw pic [draw, angle radius=9mm, %angle eccentricity=1.3,
"$60^\circ$", ] {angle =c--a0--b};
\end{tikzpicture}
</math>

Jedes der Vierecke wird durch die Diagonalen in vier Teildreiecke zerlegt. Dabei entstehen die Diagonalenteile $e_1, e_2, f_1, f_2$ mit $e = e_1+e_2$ und $f= f_1+f_2$. Mit dem Schnittwinkel $\alpha$ der Diagonalen ergibt sich dann für den Flächeninhalt des Vierecks
\[
F = \frac{1}{2}e_1 \cdot f_1 \sin \alpha +
\frac{1}{2}e_2 \cdot f_2 \sin \alpha +
\frac{1}{2}e_1 \cdot f_2 \sin (180^\circ-\alpha) +
\frac{1}{2}e_2 \cdot f_1 \sin (180^\circ-\alpha)
\] \[
= \frac{1}{2}\sin \alpha \cdot (e_1f_1 + e_2f_2 + e_1f_2 + e_2f_1)
\] \[
= \frac{1}{2}\sin \alpha \cdot (e_1+ e_2)(f_1+f_2)
= \frac{1}{2}\sin \alpha \cdot e \cdot f
\] Damit folgt für die Verhältnisse der Flächeninhalte
\[
F_1:F_2 = \sin 30^\circ : \sin 45^\circ = \frac{1}{2} : \frac{1}{2} \sqrt 2 = 1 : \sqrt 2
\] \[
F_2:F_3 = \sin 45^\circ : \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sqrt 2 : \frac{1}{2} \sqrt 3 = \sqrt 2 : \sqrt 3
\] Die Flächeninhalte der drei Vierecke verhalten sich wie $1: \sqrt 2 : \sqrt 3$.

Nun komme ich aber ins Grübeln, denn wenn ich mir die Zeichnungen ansehe, sieht es (meiner Meinung nach) so aus, als wäre doch eher das Verhältnis 1:2:3 richtig, oder unterliege ich einer Täuschung?

Ich bitte um Kontrolle meiner Lösung.

Danke
Steffen


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
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Herkunft:
 Beitrag No.1819, eingetragen 2019-08-19 00:42    [Diesen Beitrag zitieren]


Aufgabe 1 - V611131

(Langer Text über volkswirtschaftliche Planung)

Vom Materialverbrauch ist es am günstigsten, zunächst das Baumaterial für die Wohnungen vom Typ B zu verwenden. Es ist
\[y \leq \dfrac{24000}{22} \approx 1090,9\] und somit werden 1090 Wohnungen vom Typ B gebaut. Damit muss
\[
  \begin{eqnarray*}
  5,23 x + 4,19 y & \leq & 8000; \\
  5,23 x          & \leq & 3432,9; \\
  x               & \leq & \dfrac{3432,9}{5,23} \approx 656,386
  \end{eqnarray*}
\] sein, also werden 656 Wohnungen vom Typ A gebaut. Es muss also \(x = 656\) und \(y = 1090\) gelten.

Wollte man nur Wohnungen vom Typ A bauen, wäre \(x < 1600\) und damit ist oben der günstigste Fall beschrieben, um die Gesamtanzahl zu maximieren.


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 36
Herkunft:
 Beitrag No.1818, eingetragen 2019-08-19 00:28    [Diesen Beitrag zitieren]


Aufgabe 1 - V611011

Im VEG Neuendorf werden \(82,5 \text{ha}\) mit Getreide, \(48,72 \text{ha}\) mit Hackfrüchten und \(20,47 \text{ha}\) mit Luzerne bestellt. Die Hackfruchtflächen sollen je Hektar \(34 \text{kg}\), die Luzerneflächen \(20 \text{kg}\) und die Getreideflächen \(17,5 \text{kg}\) Phosphorpentoxid (P_{2}O_{5}) erhalten.

Wieviele Dezitonnen Superphosphat werden benötigt, wenn dieses 17,3 Prozent Phosphorpentoxid enthält?

Für die Hackfruchtflächen werden \(48,72 \cdot 34 \text{kg} = 1656,48 \text{kg}\) \(P_{2}O_{5}\) benötigt. Für die Luzerneflächen werden \( 20,47 \cdot 20 \text{kg} = 409,40 \text{kg}\) \(P_{2}O_{5}\) benötigt. Für die Getreideflächen werden \(82,5 \cdot 17,5 \text{kg} = 1443,75 \text{kg}\) \(P_{2}O_{5}\) benötigt. Insgesamt werden somit \(3509,83 \text{kg}\) \(P_{2}O_{5}\) benötigt.

Superphosphat enthält 17,3 Prozent \(P_{2}O_{5}\), sodass insgesamt \( \dfrac{3509,63}{0,173} \text{kg} \approx 20286 \text{kg}\) Superphosphat benötigt werden. Da eine Dezitonne \(100 \text{kg}\) entspricht, werden \(202,86\) Dezitonnen Superphosphat benötigt.


HyperPlot
Aktiv
Dabei seit: 06.01.2019
Mitteilungen: 306
Herkunft: Kneedeep in the Dead
 Beitrag No.1817, eingetragen 2019-08-18 23:22    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-18 21:07 - mawi in Beitrag No. 1814 schreibt:
2019-08-18 20:35 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1812 schreibt:
Hallo Hyperplot,
2019-08-17 19:58 - HyperPlot in Beitrag No. 1779 schreibt:
Ich habe mawi angeschieben.
Falls die Musterlösung kommt, kann man weiter entscheiden.

Gesetz dem Falle, dass ich mit meiner Annahme richtig liege, kann ich dann ggf. eine neue Lösung mit geeigneten Graphiken erstellen. So oder so fehlen mir da einige Ergänzungen bei der Lösung.  

Ohnehin scheint mir die aktuelle Lösung (die, wie gesagt, vielleicht nicht stimmt) außergewöhnlich schwer für Klasse 10.

Ich habe mir die Aufgabe kurz angesehen. Ich bin auch zu dem Ergebnis gekommen, dass die Lösung zur Aufgabe 011034 von Eckard Specht falsch ist. Es gibt keinen Grund, eine Richtungsumkehr anzunehmen. Weder grafisch noch rechnerisch. Ich würde einfach den Absatz "Erreicht einer der Zeiger die vertikale Richtung, kehrt sich die Umlaufrichtung von S um. Insgesamt ergibt sich somit eine, im Bild gezeigte möndchenförmige Figur." ersatzlos streichen, und bei Teil b) den Satz "Der kleinere der beiden Bögen..." ebenso. Und natürlich sollte dann Hyperplot als Korrektor der Aufgabe genannt werden.

Ciao,

Thomas


Die Musterlösung habe ich nicht sondern nur eine überarbeitete Fassung aus dem Buch "Mathematische Olympiadeaufgaben" von Engel/Pirl:






Hallo mawi, hallo MontyPythagoras!

Ja, da es zunächst nur um die Zeichnung ging hatte ich die Fasskreise von Eckart Specht konstruiert und dann festgestellt, dass die Schnittpunkte für konkrete Startwinkel nicht mehr darauf liegen.

Da ich eh eine
Animation
2019-08-17 14:58 - HyperPlot in Beitrag No. 1769 schreibt:
2019-08-13 18:23 - stpolster in Beitrag No. 1745 schreibt:
Ich benötige dieses Bild in tikz:


Danke
Steffen



Die Fasskreise zur Sehne $|O_1 O_2|$ aus dem Bild oben lassen sich schon  konstruieren.

Wenn ich allerdings die Bahnkurve der Schnittpunkte aufzeichne, erhalte ich einen Kreis, dessen Radius vom Startwinkel des großen Zeigers abhängig ist. Auch habe ich verschiedene Radienverhältnisse von großer und kleiner Uhr getestet.

Entweder mache etwas falsch, ansonsten wage ich es, die in
mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/08/Loesungen_MaOlympiade.pdf
angegebene Lösung anzuzweifeln.


\pgfmathsetmacro\BetaStart{11} % Startwinkel große Uhr


\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % Startwinkel große Uhr




latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,10,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}



Ergänzung: Graphik als animierter PDF-Inhalt mit dem animate-Paket.

Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




Zunächst: Einfaches Beispiel mit dem animate-Paket


sub.tex
latex
% sub.tex
 
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\def\Range{0,30,60,90,120,360}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[]
%\useasboundingbox (-4,-4) rectangle (4,4);
\coordinate[] (M) at (0,0);
 
\draw[] (M) circle[radius=3];
\draw[name path=kreis] (M) circle[radius=1.4];
 
\draw[name path=zeiger] (M) -- (90-\Winkel:3);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=kreis and zeiger, name=S}] ;
\coordinate[label=left:$S_{\w}$] (S-\w) at (S-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\makeatother
 
\draw[red] plot[mark=*] coordinates{\List};
\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){List: \List};
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}


main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop,controls]{1}{sub}{}{}
\end{document}






Uhr-Beispiel mit dem animate-Paket
Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




sub.tex
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,3,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}
 



main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[]{article}
\usepackage{tikz}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop, controls]{1}{sub}{}{}
\end{document}






erstellen wollte, habe ich die Ortskurve dann punktweise konstruiert und gemerkt, dass ich einfache Kreise erhalte.

Wegen einer Korrekturlösung kann ich gerade noch nichts versprechen. Da ich nicht weiß, wann ich dazu komme.
In allen Fällen sollte auch Radius und Position des Kreismittelpunktes (abhängig vom Startwinkel) angegeben werden.

 

\(\endgroup\)

StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5085
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.1816, eingetragen 2019-08-18 22:31    [Diesen Beitrag zitieren]

V611033
Fritz ermittelt als Ergebnis einer Divisionsaufgabe 75 Rest 52. Er macht die Probe und erhält 17380. Das ist falsch; denn er hatte die Zahlen undeutlich geschrieben und bei der Probe beim Divisor im Zehner eine 6 als 0 gelesen. Wie heißt die Aufgabe? Wie haben Sie das Ergebnis gefunden?

Hier ist mir noch nicht klar, wie die Aufgabe zu verstehen ist.

Nehmen wir an, die Divisionsaufgabe lautet a/b. b ist der Divisor, richtig?
Dann ermittelt Fritz
a = 75 b + 52

Nun macht er die Probe:
75 b' + 52 = 17380
wobei sich b und b' irrtümlich bei der Zehnerstelle unterscheiden.

Aber irgendwie passt das nicht.


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1956
Herkunft: Hattingen
 Beitrag No.1815, eingetragen 2019-08-18 21:31    [Diesen Beitrag zitieren]

Schön ist anders. Maximal kompliziert, und auch nicht fehlerfrei. Zunächst wird dort nämlich der fett gezeichnete große Halbkreis mit $k$ bezeichnet, und weiter unten dann der dünn gezeichnete Kreis, der die Lösungsmenge darstellt, auch mit $k$. Das gibt mindestens Abzüge in der B-Note.

Ciao,

Thomas


mawi
Junior
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 17
Herkunft:
 Beitrag No.1814, eingetragen 2019-08-18 21:07    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-18 20:35 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1812 schreibt:
Hallo Hyperplot,
2019-08-17 19:58 - HyperPlot in Beitrag No. 1779 schreibt:
Ich habe mawi angeschieben.
Falls die Musterlösung kommt, kann man weiter entscheiden.

Gesetz dem Falle, dass ich mit meiner Annahme richtig liege, kann ich dann ggf. eine neue Lösung mit geeigneten Graphiken erstellen. So oder so fehlen mir da einige Ergänzungen bei der Lösung.  

Ohnehin scheint mir die aktuelle Lösung (die, wie gesagt, vielleicht nicht stimmt) außergewöhnlich schwer für Klasse 10.

Ich habe mir die Aufgabe kurz angesehen. Ich bin auch zu dem Ergebnis gekommen, dass die Lösung zur Aufgabe 011034 von Eckard Specht falsch ist. Es gibt keinen Grund, eine Richtungsumkehr anzunehmen. Weder grafisch noch rechnerisch. Ich würde einfach den Absatz "Erreicht einer der Zeiger die vertikale Richtung, kehrt sich die Umlaufrichtung von S um. Insgesamt ergibt sich somit eine, im Bild gezeigte möndchenförmige Figur." ersatzlos streichen, und bei Teil b) den Satz "Der kleinere der beiden Bögen..." ebenso. Und natürlich sollte dann Hyperplot als Korrektor der Aufgabe genannt werden.

Ciao,

Thomas


Die Musterlösung habe ich nicht sondern nur eine überarbeitete Fassung aus dem Buch "Mathematische Olympiadeaufgaben" von Engel/Pirl:





mawi
Junior
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 17
Herkunft:
 Beitrag No.1813, eingetragen 2019-08-18 20:50    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-02 20:13 - HyperPlot schreibt:
Bitte die Musterlösung posten für 171224 posten:

 Link zum Topic [Alte Olympiadeaufgaben]

Danke!






MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1956
Herkunft: Hattingen
 Beitrag No.1812, eingetragen 2019-08-18 20:35    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Hyperplot,
2019-08-17 19:58 - HyperPlot in Beitrag No. 1779 schreibt:
Ich habe mawi angeschieben.
Falls die Musterlösung kommt, kann man weiter entscheiden.

Gesetz dem Falle, dass ich mit meiner Annahme richtig liege, kann ich dann ggf. eine neue Lösung mit geeigneten Graphiken erstellen. So oder so fehlen mir da einige Ergänzungen bei der Lösung.  

Ohnehin scheint mir die aktuelle Lösung (die, wie gesagt, vielleicht nicht stimmt) außergewöhnlich schwer für Klasse 10.

Ich habe mir die Aufgabe kurz angesehen. Ich bin auch zu dem Ergebnis gekommen, dass die Lösung zur Aufgabe 011034 von Eckard Specht falsch ist. Es gibt keinen Grund, eine Richtungsumkehr anzunehmen. Weder grafisch noch rechnerisch. Ich würde einfach den Absatz "Erreicht einer der Zeiger die vertikale Richtung, kehrt sich die Umlaufrichtung von S um. Insgesamt ergibt sich somit eine, im Bild gezeigte möndchenförmige Figur." ersatzlos streichen, und bei Teil b) den Satz "Der kleinere der beiden Bögen..." ebenso. Und natürlich sollte dann Hyperplot als Korrektor der Aufgabe genannt werden.

Ciao,

Thomas


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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1598
Herkunft:
 Beitrag No.19, eingetragen 2019-04-22 17:03    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-22 14:36 - pzktupel in Beitrag No. 12 schreibt:
Aufgabe 041032:
Eine ganze Zahl schreibt sich im Dezimalsystem mit 300 Einsen und einer Anzahl von Nullen am Ende der Zahl.
Kann diese Zahl eine Quadratzahl sein?


Antwort : Nein, kann keine Quadratzahl sein....

Mein Vorschlag dazu:

Ausschlaggebend sind die 300 Einsen.

111....111 = (10^300-1)/9 , 10^300-1 müsste eine Quadratzahl ergeben

um Wurzel(10^300-1)/3 ganzzahlig bilden zu können. Da 10^300 eine Quadratzahl ist [(10^150)^2], ist um eins veringert dies keine mehr, da der Abstand zu nächsten kleineren QZ (2*10^150)-1 wäre.

Die Anzahl der Nullen wäre gerade und damit eine Potenz von 100.

Die Kurzdarstellung der Zahl ist also (10^300-1)*100^n / 9

Die Wurzel aus dieser, wie oben beschrieben, scheitert wegen 10^300-1
Diese Lösung ist unvollständig. Es müsste auch noch der Fall betrachtet werden, in dem die Anzahl der Nullen ungerade ist. Ich sehe auf Anhieb keine Möglichkeit diese Lücke zu reparieren, die nicht auf Betrachtung des Rests modulo 9 hinausläuft (siehe TomTom314s Lösung). Vielleicht hat jemand eine andere Idee.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]


Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1408
Herkunft:
 Beitrag No.18, eingetragen 2019-04-22 16:57    [Diesen Beitrag zitieren]

Huhu Steffen,

ich hoffe du hattest schöne Ostertage! Zu Aufgabe 041034:


Ein Anfang wäre es wohl Kandidat A zu betrachten, da dieser in 3 Aussagen vorkommt. Wenn A nun nicht volle Punktzahl hat, da muss von diesen 3 Aussagen eine mit beiden falschen Aussagen dabei sein. Wenn nun A und C beide falsch sind, dann müssten also F und D volle Punktzahl erhalten haben. Dann wären aber B und E beide leer ausgegangen, und somit hätten wir bei Aussage (4) wieder 2 verkehrte. Das funktioniert also nicht. Die gleiche Argumentation klappt auch für den Fall, dass A und F beide falsch sind und dass A und D beide falsch sind. A muss also volle Punktzahl erhalten haben und C, F und D nicht. Es fehlt dann also noch die Aussage, in der beide Angaben nicht stimmen. Nach Aussage (2) haben B und F volle Punktzahl erhalten und nach Aussage (4) B und E. B kann somit nicht volle Punktzahl erreicht haben, da in diesem Fall in beiden Aussagen eine Angabe richtig wäre. Somit hat B nicht volle Punktzahl erreicht. Dann hat E volle Punktzahl erreicht. Somit haben A und E volle Punktzahl erreicht.


Ich hoffe ich habe nichts übersehen. Ansonsten schiebe ich das einfach auf den Feiertag und das schöne Wetter!

Herzliche Grüße,

Küstenkind


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 967
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.17, eingetragen 2019-04-22 16:17    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-22 16:02 - pzktupel in Beitrag No. 16 schreibt:
@Steffen, bei meiner Lösung ist in Deiner Darstellung ein Fehler.
Danke für den Hinweis. Ist korrigiert.

LG Steffen


pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 968
Herkunft: Thüringen,Erfurter Raum
 Beitrag No.16, eingetragen 2019-04-22 16:02    [Diesen Beitrag zitieren]

@Steffen, bei meiner Lösung ist in Deiner Darstellung ein Fehler. Bei der einen Wurzel müsste eine 9 statt 3 im Nenner stehen...oder das Wurzelzeichen kleiner darstellen.

Sehr lobenswert, Deine Bemühungen !


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 967
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.15, eingetragen 2019-04-22 15:39    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,
Danke für die weiteren Lösungen. Die Hilfe ist großartig.

Ich habe jetzt die Lösungen in einer Datei zusammengefasst.
siehe mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=20525
Ich werde auch die nachfolgenden Lösungen ergänzen und die Datei ständig aktualisieren.

Im Moment steht als Name des Lösenden euer Matheplanet-Name. Selbstverständlich ändere ich dies gern auf euren richtigen Namen ab. Schreibt einfach eine PN.

Da ich euch nicht zu viel "einspannen" möchte, werde ich ab und an einmal einige neue Aufgaben nennen. Vielleicht nehme ich auch Aufgaben der 4.Stufe, also etwas anspruchsvollere.

Vielen Dank nochmals.
Steffen


TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1483
Herkunft:
 Beitrag No.14, eingetragen 2019-04-22 15:22    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 041036:
Das Volumen des Tretraeders ist gegeben durch $V=\frac{1}{3}G\cdot h$, wobei $G$ die Grundfläche bezeichnet. Durch einen Punkt im inneren zerfällt der Tetraeder in 4 Teiltetraeder mit Grundfläche $G$ und den Höhen $a,b,c,d$. Da der ganze Tetraeder regelmäßig ist, haben alle 4 Teilteraeder ebenfalls die Grundfläche $G$. Es gilt die Gleichung $V=V_a+V_b+V_c+V_d$, wobei $V_*$ das Volumen der Teiltetraeder mit der entsprechenden Höhe ist. Nach anwenden der Volumenformel erhalten wir
\[\frac{1}{3}G\cdot h=\frac{1}{3}G\cdot a+\frac{1}{3}G\cdot b+\frac{1}{3}G\cdot c+\frac{1}{3}G\cdot d\] und nach kürzen $h=a+b+c+d$.



TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1483
Herkunft:
 Beitrag No.13, eingetragen 2019-04-22 14:48    [Diesen Beitrag zitieren]

@TomTom134: Mehr Aufgaben? :-)  Ich habe noch eine große Menge.
Das habe ich befürchtet. Es ist auf jeden Fall eine angenehme Abwechslung zu Dreiecken.

Da ich so vorlaut war:

Aufgabe 041032:
Die Zahl n hat die Quersumme 300. Da 300 durch 3 aber nicht durch 9 teilbar ist, gilt dieses auch für n. Daher kann n keine Quadratzahl sein.


Aufgabe 041035:
Wenn $a$ nicht durch 3 teilbar ist, hat a die Gestalt $3n+1$ oder $3n+2$. Durch quadrieren der Gleichungen sehen wir, dass $a^2$ dann in beiden Fällen die Gestalt $3m+1$ hat ($m=9n^2+6n$ oder $m=9n^2+12n$). Wenn $a$ und $b$ beide nicht durch 3 teilbar sind, hat $a^2+b^2$ die Gestalt $3N+2$. Wenn $a$ durch 3 teilbar und $b$ nicht durch 3 teilbar ist, hat $a^2+b^2$ die Gestalt $3N+1$. In beiden Fällen ist $a^2+b^2$ nicht durch 3 teilbar. Also folgt aus "$a^2+b^2$ durch 3 teilbar" bereits, dass $a$ und $b$ durch 3 teilbar sind.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]


pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 968
Herkunft: Thüringen,Erfurter Raum
 Beitrag No.12, eingetragen 2019-04-22 14:36    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 041032:
Eine ganze Zahl schreibt sich im Dezimalsystem mit 300 Einsen und einer Anzahl von Nullen am Ende der Zahl.
Kann diese Zahl eine Quadratzahl sein?


Antwort : Nein, kann keine Quadratzahl sein....

Mein Vorschlag dazu:

Ausschlaggebend sind die 300 Einsen.

111....111 = (10^300-1)/9 , 10^300-1 müsste eine Quadratzahl ergeben

um Wurzel(10^300-1)/3 ganzzahlig bilden zu können. Da 10^300 eine Quadratzahl ist [(10^150)^2], ist um eins veringert dies keine mehr, da der Abstand zu nächsten kleineren QZ (2*10^150)-1 wäre.

Die Anzahl der Nullen wäre gerade und damit eine Potenz von 100.

Die Kurzdarstellung der Zahl ist also (10^300-1)*100^n / 9

Die Wurzel aus dieser, wie oben beschrieben, scheitert wegen 10^300-1

_________________________________

Aufgabe 041035:
Ist die folgende Aussage richtig?
Für alle ganzen Zahlen a und b gilt:
Wenn a2+b2 durch 3 teilbar ist, dann sind auch a und b durch 3 teilbar.

Ja, ist richtig.

Wir betrachten die Restklasse bei a MOD 3, diese sind 0,1,2
Betrachtet wird a=0 MOD 3 und b=0 MOD 3

I  (a+0)^2=a²   -> MOD 3 REST 0
II (a+1)=a²+2a+1-> MOD 3 REST 1,da a(a+2) Teiler 3 hat
III(a+2)=a²+4a+4-> MOD 3 REST 1,da a(a+4) Teiler 3 hat

analog für b

I  (b+0)^2=b²   -> MOD 3 REST 0
II (b+1)=b²+2b+1-> MOD 3 REST 1,da b(b+2) Teiler 3 hat
III(b+2)=b²+4b+4-> MOD 3 REST 1,da b(b+4) Teiler 3 hat

Man erkennt,nur für a MOD 3=0 und b MOD 3=0 ist die Addition von a²+b² durch 3 teilbar.







Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 435
Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
 Beitrag No.11, eingetragen 2019-04-22 14:17    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo
Lösungsvorschlag für 060935 a)

fed-Code einblenden


gruß Caban


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 967
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-04-22 13:59    [Diesen Beitrag zitieren]

Vielen Dank für die vielen Lösungen. Auf euch ist eben Verlass.
Ich werde alles so schnell wie möglich aufnehmen.

@Kornkreis: Danke für das Angebot. Jede Lösung ist herzlich willkommen.
@TomTom134: Mehr Aufgaben? smile  Ich habe noch eine große Menge.

Aufgabe 060935:
Auf dem Kreis k bewegen sich der Punkt A mit der gleichförmigen Geschwindigkeit v1 und der Punkt B mit der gleichförmigen Geschwindigkeit v2, wobei \(v_1 \neq v_2\) ist.
Bewegen sich beide Punkte im gleichen Umlaufsinn (etwa im Uhrzeigersinn), so überholt der Punkt A den Punkt B jeweils nach 56 min. Bewegen sich beide Punkte in verschiedenem Umlaufsinn, so begegnen sie
einander jeweils nach 8 min. Dabei verringert bzw. vergrößert sich ihr auf der Kreislinie gemessener Abstand voneinander in je 24 s um 14 m.
a) Wie lang ist der Kreisumfang?
b) Wie groß sind die Geschwindigkeiten v1 und v2 (in m/min)?

Aufgabe 060936:
In einer Ebene sind ein Kreis k, eine Gerade g sowie ein Punkt A auf g gegeben.
Man konstruiere einen Kreis k', der erstens k berührt und zweitens g in A berührt. Man untersuche, wie viele solcher Kreise k' es bei den verschiedenen Lagemöglichkeiten von k, g und A geben kann.

Aufgabe 041034:
Von sechs Schülern einer Schule, die an der zweiten Stufe der Mathematikolympiade teilnahmen, erreichten zwei die volle Punktzahl. Die Schüler seien zur Abkürzung mit A, B, C, D, E und F bezeichnet.
Auf die Frage, welche beiden Schüler die volle Punktzahl erreicht haben, wurden die folgenden fünf verschiedenen Antworten gegeben:
(1) A und C,
(2) B und F,
(3) F und A,
(4) B und E,
(5) D und A.
Nun wissen wir, daß in genau einer Antwort beide Angaben falsch sind, während in den übrigen vier Antworten jeweils genau eine Angabe zutrifft.
Welche beiden Schüler erreichten die volle Punktzahl ?

Aufgabe 041031:
Ein Fußgänger geht (mit konstanter Geschwindigkeit) um 9.00 Uhr von A nach dem 12, 75 km entfernten B.
Auf der gleichen Straße fährt um 9.26 Uhr ein Straßenbahnzug von A nach B ab. Er überholt den Fußgänger um 9.36 Uhr und fährt nach 4 Minuten Aufenthalt in B wieder zurück. Dabei begegnet er dem Fußgänger um 10.30 Uhr.
a) Wieviel Kilometer legen der Fußgänger und der Straßenbahnzug durchschnittlich in der Stunde zurück?
b) In welcher Entfernung von A überholt der Straßenbahnzug den Fußgänger, und wo begegnet er ihm bei der Rückfahrt?

Aufgabe 041032:
Eine ganze Zahl schreibt sich im Dezimalsystem mit 300 Einsen und einer Anzahl von Nullen am Ende der Zahl.
Kann diese Zahl eine Quadratzahl sein?

Aufgabe 041035:
Ist die folgende Aussage richtig?
Für alle ganzen Zahlen a und b gilt:
Wenn \(a^2+b^2\) durch 3 teilbar ist, dann sind auch a und b durch 3 teilbar.

Aufgabe 041036:
Ein regelmäßiges Tetraeder habe die Höhe h. Ein Punkt im Innern des Tetraeders habe von den Seitenflächen die Abstände a, b, c und d.
Man beweise: a + b + c + d = h!

Nochmals vielen Dank.
Steffen


Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.9, eingetragen 2019-04-22 13:37    [Diesen Beitrag zitieren]



Aufgabe 020915

<math>
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={anchor=east}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=west}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %

\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\alpha$"
] {angle =B--A--C};
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$"
] {angle =C--B--A};
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\gamma$"
] {angle =A--C--B};


% Umreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={below}{}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];

% Tangente in A
\draw[] (A) -- ($(A)!2 cm!90:(U)$) coordinate(Ya);
\draw[] (A) -- ($(A)!-\a cm!90:(U)$) coordinate(Xa);
% Tangente in B
\draw[] (B) -- ($(B)!\a cm!90:(U)$) coordinate[Punkt={below}{D}] (D);
\draw[] (B) -- ($(B)!-2cm!90:(U)$) coordinate(Xb);
% Tangente in C
\draw[] (C) -- ($(C)!3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Yc);
\draw[] (C) -- ($(C)!-3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Xc);
% Parallele durch D
\draw [name path=parallele] (D) -- +($2*(Xc)-2*(C)$) -- +($2*(Yc)-2*(C)$);

\draw[name path=AAs] (A) -- ($(C)!2.3*\a cm!(A)$);
\path[name intersections={of=parallele and AAs, name=As}] ;
\coordinate[Punkt={anchor=west}{A"}] (As) at (As-1);

\draw[name path=BBs] (B) -- ($(C)!1.5*\a cm!(B)$);
\path[name intersections={of=parallele and BBs, name=Bs}] ;
\coordinate[Punkt={below=3pt}{B"}] (Bs) at (Bs-1);

% Dreieck DAA"
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\gamma$", red, double,
] {angle =D--A--B};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$"
] {angle =As--A--D};

\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$", red, double,
] {angle =Xc--C--A}; % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$", blue,
] {angle =D--As--A}; % Z-Winkel

% Dreieck DBB"
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\gamma$", red, double,
] {angle =A--B--D};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\alpha$",
] {angle =D--B--Bs};

\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\alpha$", red, double,
] {angle =B--C--Yc};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\alpha$", blue,
] {angle =B--Bs--D}; % Z-Winkel

% Seitenlngen
\path[] (As) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (A) -- (D) node[midway, right]{$x$};

\path[] (Bs) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (B) -- (D) node[midway, left]{$x$};


\draw[densely dashed] (D) circle[radius=\a];

%% Punkte
\foreach \P in {D,As, Bs,A,B,C}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\node[below of=D, xshift=-10mm,
anchor=north west, align=left,
text width=1.2*\a cm, fill=black!1,
draw
]{Aus dem Sehnentangentenwinkelsatz (Sehnentangentenwinkel = Umfangswinkel) folgen zunchst die Sehnentangentenwinkel (rot eingezeichnet) bei  $A,\, B$ und $C$. \\
Die Winkel bei $A"$ und $B"$ folgen als Wechsel- bzw. Z-Winkel (blau eingezeichnet) der Winkel bei $C$. \\
Damit ist gezeigt, dass $DAA"$ und $DBB"$ gleichschenklige Dreiecke sind. \\[1em]
Haben die Schenkel im gleichschenkligen Dreieck $DAA"$ die Lnge $x$, so folgt durch Betrachtung des gleichschenkligen Dreieck $DBA$, dass auch das gleichschenklige Dreieck $DBB"$ Schenkel der Lnge $x$ hat. \\
Also haben die Punkte $A,B,A",B"$ alle samt von $D$ den selben Abstand, womit $D$ Mittelpunkt eines Kreises ist, der diese Punkte enthlt.
};
\end{tikzpicture}
</math>

LaTeX
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{5} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\coordinate[Punkt={anchor=east}{A}] (A) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={anchor=west}{B}] (B) at (\c,0); 
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %
 
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\alpha$"
] {angle =B--A--C}; 
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$"
] {angle =C--B--A}; 
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\gamma$"
] {angle =A--C--B}; 
 
 
% Umreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % 
 
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %  
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %    
 
\coordinate[Punkt={below}{}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); 
 
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %  
\draw[] (U) circle[radius=\R];
 
% Tangente in A
\draw[] (A) -- ($(A)!2 cm!90:(U)$) coordinate(Ya);
\draw[] (A) -- ($(A)!-\a cm!90:(U)$) coordinate(Xa);
% Tangente in B
\draw[] (B) -- ($(B)!\a cm!90:(U)$) coordinate[Punkt={below}{D}] (D);
\draw[] (B) -- ($(B)!-2cm!90:(U)$) coordinate(Xb);
% Tangente in C
\draw[] (C) -- ($(C)!3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Yc);
\draw[] (C) -- ($(C)!-3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Xc);
% Parallele durch D
\draw [name path=parallele] (D) -- +($2*(Xc)-2*(C)$) -- +($2*(Yc)-2*(C)$);
 
\draw[name path=AAs] (A) -- ($(C)!2.3*\a cm!(A)$);
\path[name intersections={of=parallele and AAs, name=As}] ;
\coordinate[Punkt={anchor=west}{A'}] (As) at (As-1); 
 
\draw[name path=BBs] (B) -- ($(C)!1.5*\a cm!(B)$);
\path[name intersections={of=parallele and BBs, name=Bs}] ;
\coordinate[Punkt={below=3pt}{B'}] (Bs) at (Bs-1); 
 
% Dreieck DAA'
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\gamma$", red, double, 
] {angle =D--A--B};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$"
] {angle =As--A--D}; 
 
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$", red, double,  
] {angle =Xc--C--A}; % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$", blue, 
] {angle =D--As--A}; % Z-Winkel
 
% Dreieck DBB'
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\gamma$", red, double, 
] {angle =A--B--D};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\alpha$", 
] {angle =D--B--Bs};
 
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\alpha$", red, double, 
] {angle =B--C--Yc};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\alpha$", blue, 
] {angle =B--Bs--D}; % Z-Winkel
 
% Seitenlängen
\path[] (As) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (A) -- (D) node[midway, right]{$x$};
 
\path[] (Bs) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (B) -- (D) node[midway, left]{$x$};
 
 
\draw[densely dashed] (D) circle[radius=\a];
 
%% Punkte
\foreach \P in {D,As, Bs,A,B,C}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
\node[below of=D, xshift=-10mm, 
anchor=north west, align=left, 
text width=1.2*\a cm, fill=black!1,
draw
]{Aus dem Sehnentangentenwinkelsatz (Sehnentangentenwinkel = Umfangswinkel) folgen zunächst die Sehnentangentenwinkel (rot eingezeichnet) bei  $A,\, B$ und $C$. \\
Die Winkel bei $A'$ und $B'$ folgen als Wechsel- bzw. Z-Winkel (blau eingezeichnet) der Winkel bei $C$. \\
Damit ist gezeigt, dass $DAA'$ und $DBB'$ gleichschenklige Dreiecke sind. \\[1em]
Haben die Schenkel im gleichschenkligen Dreieck $DAA'$ die Länge $x$, so folgt durch Betrachtung des gleichschenkligen Dreieck $DBA$, dass auch das gleichschenklige Dreieck $DBB'$ Schenkel der Länge $x$ hat. \\
Also haben die Punkte $A,B,A',B'$ alle samt von $D$ den selben Abstand, womit $D$ Mittelpunkt eines Kreises ist, der diese Punkte enthält. 
};
\end{tikzpicture}
 
\end{document}




TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1483
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-04-22 12:56    [Diesen Beitrag zitieren]

Vielleicht hat der eine oder andere Lust und Freude dabei zu helfen. Außer einer ehrenvollen Erwähnung kann ich aber nichts bieten.

Mehr Aufgaben!!!  smile  smile  smile Bei diesen Aufgabentypen wirst Du hier - denke ich - reichlich fleißige Helfer finden.

zu Aufgabe 060932: Ich vermute, dass die Behauptung immer noch gilt, wenn nur gefordert wird, dass die 4 Umkreisradien gleich sind. Ein Beweis oder Gegenbeispiel würde mich interessieren.


TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1483
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-04-22 12:35    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 060933:
Beweisen Sie die folgende Behauptung:
In keinem rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Hypotenuse kleiner als das \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)-fache der Summe der Kathetenlängen.
Nach Normierung der Hypotenuse auf 1 ist die Ungleichung $1\geq\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+\sqrt{1-x^2})$ zu zeigen, wobei $x,y$ die Kathetenlängen bezeichnet ($x^2+y^2 = 1$). Aus $0\leq x \leq 1$ folgt $\sqrt{2}-x>0$ und $1-x^2\geq 0$. Somit gilt die folgende Äquivalenz.

$1\geq\frac{1}{\sqrt{2}}(x+\sqrt{1-x^2})\iff\\ (\sqrt{2}-x)^2 \geq 1-x^2 \iff\\ 0\geq-1 +2\sqrt{2}x -2x^2 = -2(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2\iff\\ 0\leq(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2$.

Die letzte Zeile ist für alle $x\in\IR$ wahr. q.e.d.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


philippw
Senior
Dabei seit: 01.06.2005
Mitteilungen: 1089
Herkunft: Hoyerswerda
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-04-22 12:13    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart schreibt:
Aufgabe 060932:
Beweisen Sie die folgende Behauptung:
Sind bei einem (nicht notwendigerweise regelmäßigen) Tetraeder ABCD die Umfänge aller seiner vier Seitenflächen untereinander gleich, dann sind diese Flächen zueinander kongruent.

060932
Der Umfang sei u, die Seitenlängen seinen a,b,c,d,e,f, sodass u=a+b+c=a+e+f=b+d+f=c+d+e. Addiere die ersten beiden Umfänge und ziehe die anderen beiden Umfänge ab, und wir erhalten: 0=u+u-u-u=a+b+c+a+e+f-b-d-f-c-d-e=2a-2d, also a=d. Analog erhält man b=e und c=f. Also haben alle vier Dreiecke Seiten mit Längen a, b und c. Dreiecke mit den gleichen Seitenlängen sind bekanntlich kongruent.


Kornkreis
Senior
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 787
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-22 11:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich hatte in meiner Olympiadensucht vor einigen Jahren unter anderem eine riesige Menge alter Aufgaben der Klassenstufen 10 und 11-12 (Landesrunde und nationale Runde) gelöst, meistens Zahlentheorie, Kombinatorik und Funktionalgleichungen. Am Anfang hatte ich ein paar Lösungen zur Kontrolle auch ins Matheboard und auf den Matheplaneten geschrieben.
Davon könnte ich ja dann mal die Links raussuchen und auch meine Notizen zu den anderen Aufgaben rauskramen. Ich hatte aber die Jahrgänge nicht flächendeckend bearbeitet, sondern Aufgaben nach Interesse ausgewählt.


pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 968
Herkunft: Thüringen,Erfurter Raum
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-22 10:42    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke Vercassivelaunos, ich habe es "gezeigt" in der Ergänzung.


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 596
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-22 10:38    [Diesen Beitrag zitieren]
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Hallo stpolster,

ich habe mir mal Aufgabe 060931 angeschaut:


Zwei Primzahlen p1 und p2 (mit p1 > p2) heißen Primzahlzwillinge, wenn p1 − p2 = 2 gilt.
Beweisen Sie, dass für alle Primzahlzwillinge p1 und p2, für die p2 > 3 ist, stets die Summe p1 + p2 durch 12 teilbar ist!

Lösung:

Für die Uni: (Das wäre dann so eine Einstiegs-Klausuraufgabe vom Typ "Beherrschen Sie Moduloarithmetik?")
Es ist zu zeigen, dass  $p_1+p_2=0\mod12$. Dafür zeigen wir getrennt, dass $p_1+p_2=0\mod3$ und $p_1+p_2=0\mod 4$. (Das reicht wegen der Teilerfremdheit von 3 und 4).

$0\mod3$:
Es gilt $p_1,p_2>3$, also $p_1,p_2\neq0\mod3$. Das führt $p_2=1\mod3$ zum Widerspruch, denn dann wäre $p_1=p_2+2=1+2=3=0\mod 3$. Es muss also $p_2=-1\mod3$ sein. Dann ist $p_1=-1+2=1\mod3$, und damit $p_1+p_2=-1+1=0\mod3$.

$0\mod4$:
Da $p_1,p_2>2$ gilt $p_1=p_2=1\mod2$, und damit $p_1,p_2=\pm1\mod4$ (beachte, dass nicht unbedingt $p_1=p_2\mod4$). Falls $p_2=1\mod4$, dann ist $p_1=p_2+2=3=-1\mod4$, und damit $p_1+p_2=0\mod4$. Ist hingegen $p_2=-1\mod4$, dann ist $p_1=p_2+2=1\mod4$, und wieder $p_1+p_2=0\mod4$.

Für die Schule:
Wir zeigen, dass $p_1+p_2$ sowohl durch 4, als auch durch 3 teilbar ist. Da 4 und 3 teilerfremd sind, muss dann nämlich $p_1+p_2$ durch $4\cdot3=12$ teilbar sein.

Teilbarkeit durch 3:
Da beide Primzahlen größer als drei sind, sind sie nicht durch 3 teilbar. Damit ist $p_2$ entweder von der Form $p_2=3k+1$ oder $p_2=3k+2$ mit einer natürlichen Zahl $k$. Da $p_1-p_2=2$ ist $p_1=p_2+2$. Also ist $p_1$ von der Form $p_1=p_2+2=3k+1+2=3(k+1)$ oder $p_1=p2_+2=3k+2+2=3(k+1)+1$.
Der erste Fall kann nicht sein, denn dann wäre $p_1$ durch 3 teilbar, und somit keine Primzahl. Im zweiten Fall ist aber $p_1+p_2$ von der Form $p_1+p_2=3(k+1)+1+3k+2=2\cdot3(k+1)$, ist also durch 3 teilbar.

Teilbarkeit durch 4:
Da beide Primzahlen größer als 3 sind, sind sie nicht durch 2 teilbar. Damit ist $p_2$ von der Form $p_2=2k+1$. Dann ist $p_1=p_2+2=2k+3$. Dann ist $p_1+p_2=2k+1+2k+3=4k+4=4(k+1)$, also durch 4 teilbar.

Damit ist $p_1+p_2$ durch 3 und durch 4 teilbar, und damit auch durch $12$.


Viele Grüße,
Vercassivelaunos

Nachtrag: Wenn man direkt verwendet, dass alle PZ außer 2 und 3 von der Form $6k\pm1$ sind, dann ist pzktupels Beweis natürlich um längen eleganter. Ich schätze aber mal, dass man das in der Olympiade erst zeigen müsste.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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pzktupel
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 Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-22 10:30    [Diesen Beitrag zitieren]

@StrgAltEntf
Das ist extrem elegant, gefällt mir !


@Steffen
Aufgabe 060931:
Zwei Primzahlen p1 und p2 (mit p1 > p2) heißen Primzahlzwillinge, wenn p1 − p2 = 2 gilt.
Beweisen Sie, dass für alle Primzahlzwillinge p1 und p2, für die p2 > 3 ist, stets die Summe p1 + p2 durch 12 teilbar ist!

Als Laie würde ich sagen.


Alle Primzahlen sind der Form 6n-1 oder 6n+1 (außer 2 und 3), diese haben im Fall der Zwillinge einen Abstand von 2.

Da p1<p2 muss p1=6n-1 besitzen.

(6n-1)+(6n+1)=12n, somit ist die Summe p1+p2 in der Tat durch 12 teilbar.

6n-1 ist kongruent 6n+5 (mod 6)

"Beweis", das Primzahlen nur der Form 6n+1,6n+5 sind:

Um alle Zahlen zu untersuchen ermittelt man Teiler von

6n+0,hat Teiler 2,3
6n+1
6n+2,hat Teiler 2
6n+3,hat Teiler 3
6n+4,hat Teiler 2
6n+5

Damit ist der Restklassenring für MOD 6 abgeschlossen und es verbleiben als mögliche Primzahlen
6n+1 und 6n+5

Anmerkung:
Um 6n-1 auszugrenzen, verwendet man für p2=6n+1 einfach p2=6n+7 und p1=6n+5

p1+p2=(6n+5)+(6n+7)=12(n+1), 12 ist somit Teiler von p2+p1


StrgAltEntf
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 Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-22 10:12    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Steffen,

2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart schreibt:
Aufgabe 060934:
Zeigen Sie, dass es unter allen Zahlen der Form 2p + 1, wobei p eine Primzahl ist, genau eine Kubikzahl gibt!

Das ist einfach.
Sei \(2p+1=a^3\). Dann ist \(a\) ungerade und es gilt \(p = \frac{a^3-1}2 = \frac{a-1}2(a^2+a+1)\). Da \(p\) prim, muss \(\frac{a-1}2=1\) oder \(a^2+a+1=1\) gelten. Da \(a^2+a+1>1\) folgt \(a=3\) und somit \(p=13\). In der Tat ist \(13\) prim und es gilt \(2\cdot13+1=3^3\).


Grüße
StrgAltEntf


stpolster
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 Themenstart: 2019-04-22 08:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,
ich bin seit einiger Zeit an der Zusammenstellung von Lösungen zu alten Mathematik-Olympiadeaufgaben. Durch Manuela Kugel ( www.olympiade-mathematik.de/ ) wurden in extrem fleißiger Arbeit alle Aufgaben zusammengetragen. Bei einigen fehlen noch die Lösungen.

Ich habe nun begonnen, die eine oder andere Lösung zu ermitteln und in LaTex zu setzen. Das Bereitstellen aller Lösungen übersteigt aber mein Zeitvolumen und vor alle meine mathematischen Fähigkeiten.

Vielleicht hat der eine oder andere Lust und Freude dabei zu helfen. Außer einer ehrenvollen Erwähnung kann ich aber nichts bieten.

Aufgaben ohne Lösungen findet man in den Texten www.olympiade-mathematik.de/ oder bei mir mathematikalpha.de/mathematikaufgaben . Es kann ja sein, dass Klassenstufe 9 zu einfach ist.

neuer Link: Download der ungelösten Aufgaben

Ich würde diese Lösungen in eine Datei übernehmen (Latex würde mir die Arbeit erleichtern) und wie gesagt, den "Löser" lobend erwähnen.
Sobald eine Klassenstufe eines Jahrgangs komplett ist, füge ich die PDF-Datei in die Datei der Aufgaben und stelle sie online.

Sollte jemand von euch Interesse haben, würde es mich freuen.

LG und schöne Rest-Ostern
Steffen

Alle eure Lösungen, inkl. der Aufgaben, findet ihr unter:
mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=20525
Sollte eine alte Datei angezeigt werden, bitte mit der F5-Taste im Browser die Datei erneut laden.


 
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