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MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1975
Herkunft: Hattingen
 Beitrag No.1870, eingetragen 2019-08-21 15:14    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 4 - V611034
Zeichnen Sie einen Kreis und außerhalb dieses Kreises den Punkt $A$. Verbinden Sie den Punkt $A$ mit dem Mittelpunkt $M$ des Kreises. Gesucht ist der auf der Zentralen $AM$ gelegene Punkt $X$, bei dem für die von diesem Punkt an den Kreis gelegten Tangenten gilt, dass die Tangentenabschnitte $XT_1$ bzw. $XT_2$ gleich dem Abstand des Punktes $X$ vom Punkt $A$ sind. ($T_1$ und $T_2$ sind die Berührungspunkte der Tangenten.)
Begründen Sie Ihre Konstruktion.

1. Man zeichne Punkt $B$ so, dass die Strecke $AB$ die Länge $r$ (Radius des Kreises) habe und senkrecht stehe auf der Strecke $AM$, siehe Skizze.
2. Vom Punkt $B$ zeichne man eine Gerade durch $M$.
3. Man konstruiere den Mittelpunkt $C$ der Strecke $MB$.
4. Man zeichne eine Senkrechte auf die Gerade $MB$ durch den Punkt $C$.
5. Der Schnittpunkt dieser Geraden (grün) mit der Geraden $AM$ ist der gesuchte Punkt $X$.

Begründung:
Man erkennt, dass der Streckenzug $MT_1XAB$ symmetrisch ist bezüglich der "grünen" Geraden $CX$. $a$ und $r$ stehen senkrecht aufeinander sowohl im Punkt $T_1$ als auch im Punkt $A$. $T_1$ und $X$ sind zwar anfangs noch unbekannt, aber der Punkt $C$ auf der Symmetrieachse lässt sich mit obigen Schritten einfach konstruieren.

Ciao,

Thomas


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1975
Herkunft: Hattingen
 Beitrag No.1869, eingetragen 2019-08-21 13:44    [Diesen Beitrag zitieren]

@OlgaBarati: Stimmt.
@ochen: Stimmt auch.

Steffen, bitte entsprechend ergänzen/korrigieren.

Ciao,

Thomas


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2304
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 Beitrag No.1868, eingetragen 2019-08-21 12:49    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

in Aufgabe 1 - V611221 b) werden meiner Meinung nach noch nicht alle Punkte erfasst. Alle Punkte, die auf den die Breitenkreisen liegen, die 300km nördlich von den Breitenkreisen mit Umfang 150km oder 100 km oder 75km entfernt sind, haben auch die geforderte Eigenschaft.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1866 begonnen.]


OlgaBarati
Aktiv
Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 148
Herkunft:
 Beitrag No.1867, eingetragen 2019-08-21 12:43    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-20 19:19 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1860 schreibt:
Aufgabe 2 - V611132
Der im Schnitt abgebildete Blechbehälter (Hohlzylinder mit aufgesetzter Kugelkappe, Abbildung) soll durch Tiefziehen aus einer Blechscheibe hergestellt werden.
a) Wie groß ist allgemein der Durchmesser der Blechscheibe?
b) Berechnen Sie den Zahlenwert für $d = 230 mm$, $h_1 = 70 mm$, $h_2 = 110 mm$!
Anmerkung: Die Blechscheibe, aus der der Behälter durch Tiefziehen gezogen wird, hat dieselbe Fläche wie der Blechbehälter.
a) Die Gesamtfläche des Blechbehälters ist
$$A=\pi dh_2+\pi (\tfrac14d^2+h_1^2)$$Diese Fläche soll gleich der Fläche der kreisförmigen Blechscheibe sein, deren Durchmesser $D$ sei. Daher gilt:
$$\pi D^2=\pi dh_2+\pi (\tfrac14d^2+h_1^2)$$$$D=\sqrt{\tfrac14d^2+h_1^2+dh_2}$$b) Der Durchmesser der Blechscheibe betrug $D=208,4\text{mm}$.

Ciao,

Thomas

Vertue ich mich hier peinlich oder muss es für \(D\) tatsächlich so aussehen ?
\[A=\pi dh_2+\pi (\tfrac14d^2+h_1^2)\] \[\frac{D^2\pi}{4}=\pi dh_2+\pi (\tfrac14d^2+h_1^2)\] \[D=2\sqrt{\tfrac14d^2+h_1^2+dh_2}\] Der Durchmesser der Blechscheibe betrug $D=416,8\text{mm}$.

oLGa


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 972
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.1866, eingetragen 2019-08-21 08:54    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich habe mein Parabelproblem gelöst.
<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=1,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },]
\def \parameter {2.5}
\def \kreisradius {2.9}
\begin{scope}[rotate=30]
\coordinate(m) at (0,0);
\draw (m) circle (2);
\coordinate(b) at (4,-3);
\coordinate(c) at (-3,-3);
\coordinate(a) at ($(c)!0.3!(b)$);
\coordinate(f) at ($(b)!(m)!(c)$);
\coordinate(f0) at ($(f)!-2cm!90:(c)$);
\coordinate(b0) at ($(f0)+(b)-(f)$);
\coordinate(c0) at ($(f0)+(c)-(f)$);
\coordinate(mx) at ($(m)+(a)-(f)$);
\coordinate(p) at ($(f0)+(0,\parameter)$);
\coordinate(p0) at ($(p)!6cm!90:(f)$);
\coordinate(p1) at ($(p)!-6cm!90:(f)$);
\draw (b) -- (c);
\draw (b0) -- (c0);
\draw ($(m)!1.2!(f)$) -- ($(f)!1.2!(m)$);
\draw ($(mx)!1.2!(a)$) -- ($(a)!1.2!(mx)$);
\node[left] at (m) {$M_k$};
\node[right] at (b) {$g$};
\node[below] at (a) {$A$};
\node[right] at (f0) {$F_0$};
\node[right] at (f) {$F$};
\node[left] at ($(f)!1.2!(m)$) {$h$};
\node[left] at ($(a)!1.2!(mx)$) {$l$};
\draw[name path=kreis, draw=none] (m) circle (\parameter);
\path[name path=gerade, overlay, draw=none] (p1) -- (p0);
\path[name intersections={of=kreis and gerade, name=D}];
\coordinate (s1) at (D-1);
\coordinate (s2) at (D-2);
\draw[blue, name path=parabel] (s1) parabola bend
($(f0)!0.5!(m)$) (s2);
\path[name path=gerade, overlay, draw=none] (a) -- (mx);
\path[name intersections={of=parabel and gerade, name=D}];
\coordinate[Punkt={below}{M}] (b1) at (D-1);
\draw[red] (b1) circle[radius=\kreisradius];
\foreach \P in {a,m,f,f0,b1}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
</math>
Für den roten Kreis wollte ich
            \node[red, draw] at (b1) [circle through=(a)] {};
nutzen. Hier funktioniert das aber nicht.

LG Steffen


OlgaBarati
Aktiv
Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 148
Herkunft:
 Beitrag No.1865, eingetragen 2019-08-21 08:03    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-20 20:36 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1861 schreibt:
2019-08-20 09:52 - OlgaBarati in Beitrag No. 1840 schreibt:
\showon Aufgabe 5 - V611125

a) Das Additions- und das Divisionszeichen.



Teil b würde ich etwas allgemeiner angehen.

Gesucht sind (rationale) Zahlen \(a,b,c\) mit \(b\neq0\) und
(1) \(a+b=c\)
(2) \(a:b=c\)

Gleichsetzen von (1) und (2) liefert \(a+b=a:b\) und daraus
\[a=\frac{b^2}{1-b}\] Dies in (1) eingesetzt ergibt \(\frac{b^2}{1-b}+b=c\) und daraus
\[c=\frac b{1-b}\] Für jedes \(b\neq0,1\) ergibt sich damit eine Aufgabe
\[\frac{b^2}{1-b}\ ?\ b=\frac b{1-b}\] Wählt man \(0<b<1\), so sind alle Werte \(a,b,c\) zudem positiv.

c)
Mit \(b=\frac13\) ergibt sich \(a=\frac16\) und \(c=\frac12\) und damit die Aufgabe
\[\frac16?\frac13=\frac12\] Mit \(b=\frac35\) ergibt sich \(a=\frac9{10}\) und \(c=\frac32\) und damit die Aufgabe
\[\frac9{10}?\frac35=\frac32\]
d)
\(a,b,c\) können nicht alle positive ganze Zahlen sein, da für eine ganze Zahl \(b>1\) die Zahl \(c=\frac b{1-b}\) negativ ist. (Zudem ist \(1-b\) kein Teiler von \(b\); \(c\) ist also nocht nicht einmal ganz.)

Ja,so ist es besser.
@Steffen, bitte meine Lösung durch diese von StrgAltEntf erstellte Lösung ersetzen.

Danke.
oLGa


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2304
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 Beitrag No.1864, eingetragen 2019-08-20 23:46    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-20 10:41 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1845 schreibt:
Aufgabe 1 - V611221
Ein Flugzeug fliegt zunächst 300 km in Richtung Süden, ändert dann seinen Kurs und fliegt 300 km in Richtung Osten und dann wieder 300 km in Richtung Norden. Es ist an seinem Ausgangspunkt wieder angelangt!
Wo befindet sich der Ausgangspunkt, falls der Flug
a) über der nördlichen,
b) über der südlichen Halbkugel erfolgt?
(Erdradius r = 6370 km)
Hinweis: Die Aufgabe b) hat unendlich viele Lösungen.
b) Hier gilt sinngemäß das gleiche wie unter a), nämlich dass der Flug Richtung Osten entlang eines Breitenkreises erfolgt. Auf der Südhalbkugel ist die Rückkehr an den Ausgangspunkt nur möglich, wenn der Punkt, an dem von Flugrichtung Süd auf Ost gewechselt wird, derselbe ist wie der, wo die Flugrichtung von Ost auf Nord wechselt. Der Breitenkreis muss also einen Umfang von 300km haben.

Der Umfang des Breitenkreises könnte doch auch ein Teiler von 300km (z.B. 150km oder 100km) sein. Dann würde das Flugzeug nicht nur einmal sondern zwei- oder dreimal entlang des Breitenkreises fliegen.


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 972
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.1863, eingetragen 2019-08-20 22:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich benötige mathematische + tikz Hilfe.
Für die Aufgabe 060936 möchte ich das Bild zeichnen. Bisher habe ich:

<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=1,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },]
\coordinate(m) at (0,0);
\draw (m) circle (2);
\coordinate(b) at (5,0);
\coordinate(c) at (-2,-4);
\coordinate(a) at ($(c)!0.3!(b)$);
\coordinate(f) at ($(b)!(m)!(c)$);
\coordinate(f0) at ($(f)!-2cm!90:(c)$);
\coordinate(b0) at ($(f0)+(b)-(f)$);
\coordinate(c0) at ($(f0)+(c)-(f)$);
\coordinate(mx) at ($(m)+(a)-(f)$);
\draw (b) -- (c);
\draw (b0) -- (c0);
\draw ($(m)!1.2!(f)$) -- ($(f)!1.2!(m)$);
\draw ($(mx)!1.2!(a)$) -- ($(a)!1.2!(mx)$);
\foreach \P in {a,m,f,f0,mx}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}
\node[left] at (m) {$M_k$};
\node[right] at (b) {$g$};
\node[above] at (a) {$A$};
\node[above] at (f0) {$F_0$};
\node[above] at (f) {$F$};
\node[left] at ($(f)!1.2!(m)$) {$h$};
\node[left] at ($(a)!1.2!(mx)$) {$l$};
\end{tikzpicture}
</math>

Nun muss ich die Parabel zeichnen, deren Punkte von $M_k$ und der zu $g$ parallelen Geraden durch $F_0$ den gleichen Abstand. Ich habe nicht einmal eine Grundidee.
Als "Höhepunkt" benötige ich dann noch den Schnittpunkt der Geraden $l$ mit der Parabel. Keine Ahnung.

Kann jemand helfen?
Danke
Steffen

Nachtrag:
Es ist nicht exakt und außerdem getrickst, aber wer sieht das dem Bild schon an: razz
<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=1,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },]
\begin{scope}[rotate=30]
\coordinate(m) at (0,0);
\draw (m) circle (2);
\coordinate(b) at (4,-3);
\coordinate(c) at (-3,-3);
\coordinate(a) at ($(c)!0.3!(b)$);
\coordinate(f) at ($(b)!(m)!(c)$);
\coordinate(f0) at ($(f)!-2cm!90:(c)$);
\coordinate(b0) at ($(f0)+(b)-(f)$);
\coordinate(c0) at ($(f0)+(c)-(f)$);
\coordinate(mx) at ($(m)+(a)-(f)$);
\draw (b) -- (c);
\draw (b0) -- (c0);
\draw ($(m)!1.2!(f)$) -- ($(f)!1.2!(m)$);
\draw ($(mx)!1.2!(a)$) -- ($(a)!1.2!(mx)$);
\node[left] at (m) {$M_k$};
\node[right] at (b) {$g$};
\node[below left] at (a) {$A$};
\node[right] at (f0) {$F_0$};
\node[below right] at (f) {$F$};
\node[left] at ($(f)!1.2!(m)$) {$h$};
\node[left] at ($(a)!1.2!(mx)$) {$l$};
\draw[blue, name path=parabel] ($(f0)!0.4!135:(b0)$) parabola bend
($(f0)!0.5!(m)$) ($(f0)!0.4!45:(b0)$);
%\draw[name path=kreis] (20:13) arc (20:85:13);
\path[name path=gerade, overlay, draw=none] (a) -- (mx);
\path[name intersections={of=parabel and gerade, name=D}];
\coordinate[Punkt={below}{M}] (b1) at (D-1);
\draw[red] (b1) circle[radius=2.9];
\foreach \P in {a,m,f,f0,b1}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
</math>
Die zusätzliche Drehung ist sinnlos. Sieht aber komplizierter aus. biggrin


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1975
Herkunft: Hattingen
 Beitrag No.1862, eingetragen 2019-08-20 20:46    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 4 - V611124
Zeichnen Sie ein Parallelogramm!
Konstruieren Sie auf der Grundlinie (bzw. auf ihrer Verlängerung dieses Parallelogramms den Punkt, von dem aus die Gegenseite und eine der beiden anderen unter gleichem Winkel erscheinen!
Beweisen Sie die Richtigkeit der Konstruktion!

Den gesuchten Punkt $H$ konstruiert man wie folgt:
1. Zeichne eine Senkrechte von $C$ auf die Gerade $AB$. Der Schnittpunkt ist $E$.
2. Konstruiere den Mittelpunkt $F$ der Strecke $CD$.
3. Zeichne einen Halbkreis um den Punkt $F$ vom Punkt $C$ zum Punkt $D$. Der Schnittpunkt der Kreise ist $G$.
4. Zeichne eine Gerade durch die Punkte $D$ und $G$. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Gerade $AB$ ist der gesuchte Punkt $H$.

Begründung:
Die Gerade $HC$ muss die Winkelhalbierende der Geraden $HE$ und $HG$ sein. Das ist der Fall, weil die Dreiecke $HEC$ und $HCG$ kongruent sind, da sie in $G$ und $E$ einen rechten Winkel aufweisen, die Seite $HC$ gemeinsam haben und eine weitere Seite ($CG$ bzw. $CE$) gleich lang ist (SSW). Damit der Winkel $\angle DGC$ rechtwinklig ist, wurde wegen des Satzes von Thales der Kreis um den Mittelpunkt $F$ mit dem Kreis um $C$ geschnitten.

Ciao,

Thomas


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5086
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.1861, eingetragen 2019-08-20 20:36    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-20 09:52 - OlgaBarati in Beitrag No. 1840 schreibt:
Aufgabe 5 - V611125
\[\frac{169}{30}\;\;?\;\;\frac{13}{15}=\frac{13}{2}\] a) Welche der Rechenzeichen (+, −, ·, :) können anstelle des Fragezeichens stehen?
b) Geben Sie ein allgemeines Verfahren an, gleichartige Aufgaben zu bilden!
Es sollen die gleichen Rechenzeichen anstelle des Fragezeichens eingesetzt werden wie bei der Lösung a.
c) Bilden Sie nach diesem Verfahren zwei Aufgaben!
d) Können die Glieder der Aufgabe auch sämtlich positive ganze Zahlen sein? Begründen Sie Ihre Antwort!

Lösungsversuch
a) Das Additions- und das Divisionszeichen.

b) Mit den gewählten Variablen ergeben sich
\[\frac{a}{b}+\frac{x}{y}=\frac{x}{2}\] \[\frac{a}{b}:\frac{x}{y}=\frac{x}{2}\] und damit direkt \(a=x^2\) und \(b=2y\) und \(x=y-2.\)
\[\frac{x^2}{2x+4}+\frac{x}{x+2}=\frac{x}{2}\;\;\;(1)\] \[\frac{x^2}{2x+4}:\frac{x}{x+2}=\frac{x}{2}\;\;\;(2)\]
c) Seien für \(x\) die Zahlen beliebig gewählt.

\(x=15\)
\[\frac{225}{34}+\frac{15}{17}=\frac{15}{2}\] \[\frac{225}{34}:\frac{15}{17}=\frac{15}{2}\] \(x=29\)
\[\frac{841}{62}+\frac{29}{31}=\frac{29}{2}\] \[\frac{841}{62}:\frac{29}{31}=\frac{29}{2}\]
d) Es genügt zu zeigen dass zwei Glieder nicht gleichzeitig positiv ganzzahlig sind.

\(\forall x\in \mathbb{R_+}:\frac{x}{x+2}<1.\)
\(\forall x\in \mathbb{R_-}:\frac{x}{2}<0.\)
oLGa

Teil b würde ich etwas allgemeiner angehen.

Gesucht sind (rationale) Zahlen \(a,b,c\) mit \(b\neq0\) und
(1) \(a+b=c\)
(2) \(a:b=c\)

Gleichsetzen von (1) und (2) liefert \(a+b=a:b\) und daraus
\[a=\frac{b^2}{1-b}\] Dies in (1) eingesetzt ergibt \(\frac{b^2}{1-b}+b=c\) und daraus
\[c=\frac b{1-b}\] Für jedes \(b\neq0,1\) ergibt sich damit eine Aufgabe
\[\frac{b^2}{1-b}\ ?\ b=\frac b{1-b}\] Wählt man \(0<b<1\), so sind alle Werte \(a,b,c\) zudem positiv.

c)
Mit \(b=\frac13\) ergibt sich \(a=\frac16\) und \(c=\frac12\) und damit die Aufgabe
\[\frac16?\frac13=\frac12\] Mit \(b=\frac35\) ergibt sich \(a=\frac9{10}\) und \(c=\frac32\) und damit die Aufgabe
\[\frac9{10}?\frac35=\frac32\]
d)
\(a,b,c\) können nicht alle positive ganze Zahlen sein, da für eine ganze Zahl \(b>1\) die Zahl \(c=\frac b{1-b}\) negativ ist. (Zudem ist \(1-b\) kein Teiler von \(b\); \(c\) ist also nocht nicht einmal ganz.)


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1975
Herkunft: Hattingen
 Beitrag No.1860, eingetragen 2019-08-20 19:19    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 2 - V611132
Der im Schnitt abgebildete Blechbehälter (Hohlzylinder mit aufgesetzter Kugelkappe, Abbildung) soll durch Tiefziehen aus einer Blechscheibe hergestellt werden.
a) Wie groß ist allgemein der Durchmesser der Blechscheibe?
b) Berechnen Sie den Zahlenwert für $d = 230 mm$, $h_1 = 70 mm$, $h_2 = 110 mm$!
Anmerkung: Die Blechscheibe, aus der der Behälter durch Tiefziehen gezogen wird, hat dieselbe Fläche wie der Blechbehälter.
a) Die Gesamtfläche des Blechbehälters ist
$$A=\pi dh_2+\pi (\tfrac14d^2+h_1^2)$$Diese Fläche soll gleich der Fläche der kreisförmigen Blechscheibe sein, deren Durchmesser $D$ sei. Daher gilt:
$$\pi D^2=\pi dh_2+\pi (\tfrac14d^2+h_1^2)$$$$D=\sqrt{\tfrac14d^2+h_1^2+dh_2}$$b) Der Durchmesser der Blechscheibe betrug $D=208,4\text{mm}$.

Ciao,

Thomas


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1975
Herkunft: Hattingen
 Beitrag No.1859, eingetragen 2019-08-20 19:04    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 4 - V611224
Zeichnen Sie ein beliebiges Dreieck, das einen Winkel von 60° enthält! Konstruieren Sie nun über allen drei Seiten gleichseitige Dreiecke, so ist die Summe der Flächen des ursprünglichen Dreiecks und des über der Gegenseite des Winkels von 60° konstruierten Dreiecks gleich der Summe der Flächen der beiden übrigen Dreiecke.
Beweisen Sie diese Behauptung!

Der Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks $BEC$ ist
$$A_{BEC}=\tfrac{\sqrt3}4a^2$$Die anderen Flächen der gleichseitigen Dreiecke berechnen sich in gleicher Weise. Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ lautet
$$A_{ABC}=\tfrac12ch=\tfrac12bc\sin60°=\tfrac{\sqrt3}4bc$$Daher soll gelten:
$$\tfrac{\sqrt3}4bc+\tfrac{\sqrt3}4a^2=\tfrac{\sqrt3}4b^2+\tfrac{\sqrt3}4c^2$$$$a^2=b^2+c^2-bc$$Laut dem Kosinussatz gilt außerdem
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos60°$$Da $\cos60°=\tfrac12$ ist, ist die obige Gleichung tatsächlich erfüllt. q.e.d.

Ciao,

Thomas


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 972
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.1858, eingetragen 2019-08-20 17:27    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich habe alles übernommen und hoffe nichts übersehen zu haben.
Danke für die vielen Lösungen.

LG Steffen


cyrix
Senior
Dabei seit: 31.07.2004
Mitteilungen: 3290
Herkunft: Flensburg
 Beitrag No.1857, eingetragen 2019-08-20 17:19    [Diesen Beitrag zitieren]

Damit dürfte auch jedem Interessierten, der noch keinen Kontakt mit weiterführender Mathematik von der Uni hatte, klar sein, was hier passiert. Freut mich. :) (Insbesondere auch, dass du nicht die Fehler in meiner Darstellung übernommen, sondern die Lücken gestopft hast. :) )

(Und ja, es mag einen etwas ärgern, dass durch die etwas ausschweifendere Beschreibung die Kürze und Klarheit der Sprache etwas verloren gehen mag. Aber ich denke, dass man dennoch gut damit leben kann. :) )

Cyrix


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4897
Herkunft:
 Beitrag No.1856, eingetragen 2019-08-20 14:25    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-20 13:35 - cyrix in Beitrag No. 1854 schreibt:
ich würde z.B. einfach statt <math>f\circ \tilde{f} \circ g=g</math> folgendes schreiben:

Nun kann man ... (3) für alle reellen Zahlen <math>x</math> auch als <math>f(\tilde{f}(g(x)))=g(x)</math> schreiben. Da <math>g(x)</math> mit <math>x</math> aber alle reellen Zahlen durchläuft, muss also für alle reelle Zahlen <math>x</math> auch <math>f(\tilde{f}(x))=x</math> gelten, sodass <math>\tilde{f}</math> die Umkehrfunktion von <math>f</math> ist.

Cyrix

Ja danke, ich habe das mal so in #1852 übernommen, auch wenn der ursprünglich sehr strukturelle Ansatz dadurch aus meiner Sicht leicht "verwässert" wird. Aber wenn so tatsächlich die Lösung "zugänglicher" wird, dann mache ich das natürlich.  wink

Anm.: Allerdings sieht man allein aus $f(\tilde f(x))=x$ m.E. noch nicht, dass $f$ die Umkehrfunktion von $\tilde f$ ist, ich habe das Ganze daher noch ein bisschen umformuliert.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1854 begonnen.]


HyperPlot
Aktiv
Dabei seit: 06.01.2019
Mitteilungen: 310
Herkunft: Kneedeep in the Dead
 Beitrag No.1855, eingetragen 2019-08-20 14:19    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-20 09:22 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1839 schreibt:
Aufgabe V601012:

Zeichnen Sie in ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge $a$ den größtmöglichen Rhombus!
a) Stellen Sie eine Formel für den Flächeninhalt und den Umfang des Rhombus auf!
b) Wie viel Prozent der Sechseckfläche nimmt der Rhombus ein?


Oder mit TikZ:

<math>
\begin{tikzpicture}[background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,]
\node[draw, minimum size=4.3cm,regular polygon,regular polygon sides=6, shape border rotate=0] (vieleck) {};

\foreach \Seite in {2,3}
\node[left] at (vieleck.side \Seite) {$a$};

\draw[thin] (vieleck.center) -- (vieleck.side 1) node[midway, left]{$h$};
\draw[thin] (vieleck.center) -- (vieleck.side 4);

\draw[blue] (vieleck.side 1) -- (vieleck.corner 3) node[midway, below]{$b$} -- (vieleck.side 4) -- (vieleck.corner 6) --cycle;

\foreach \Seite in {4,1}
\draw[fill=black!1] (vieleck.side \Seite) circle(1.5pt);

\foreach \Ecke in {1,...,6}{
\draw[thin] (vieleck.center) -- (vieleck.corner \Ecke);
\draw[fill=black!1] (vieleck.corner \Ecke) circle(1.5pt);
}
\end{tikzpicture}
</math>

latex
% \usetikzlibrary{shapes}
 
\begin{tikzpicture}[]
\node[draw, minimum size=4.3cm,regular polygon,regular polygon sides=6, shape border rotate=0] (vieleck) {};
 
\foreach \Seite in {2,3}
\node[left] at (vieleck.side \Seite) {$a$};
 
\draw[thin] (vieleck.center) -- (vieleck.side 1) node[midway, left]{$h$};
\draw[thin] (vieleck.center) -- (vieleck.side 4);
 
\draw[blue] (vieleck.side 1) -- (vieleck.corner 3) node[midway, below]{$b$} -- (vieleck.side 4) -- (vieleck.corner 6) --cycle;
 
\foreach \Seite in {4,1}
\draw[fill=black!1] (vieleck.side \Seite) circle(1.5pt);
 
\foreach \Ecke in {1,...,6}{
\draw[thin] (vieleck.center) -- (vieleck.corner \Ecke);
\draw[fill=black!1] (vieleck.corner \Ecke) circle(1.5pt);
}
\end{tikzpicture}

\(\endgroup\)

cyrix
Senior
Dabei seit: 31.07.2004
Mitteilungen: 3290
Herkunft: Flensburg
 Beitrag No.1854, eingetragen 2019-08-20 13:35    [Diesen Beitrag zitieren]

Moin weird,

ich würde z.B. einfach statt <math>f\circ \tilde{f} \circ g=g</math> folgendes schreiben:

Nun kann man ... (3) für alle reellen Zahlen <math>x</math> auch als <math>f(\tilde{f}(g(x)))=g(x)</math> schreiben. Da <math>g(x)</math> mit <math>x</math> aber alle reellen Zahlen durchläuft, muss also für alle reelle Zahlen <math>x</math> auch <math>f(\tilde{f}(x))=x</math> gelten, sodass <math>\tilde{f}</math> die Umkehrfunktion von <math>f</math> ist.

Cyrix


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
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 Beitrag No.1853, eingetragen 2019-08-20 13:24    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-20 12:33 - cyrix in Beitrag No. 1850 schreibt:
@weird: Ich fidne deine Lösung auch sehr nett. smile Jedoch dürfte tatsächlich eher wenigen Schülerinnen und Schülern die Schreibweise der Hintereinanderausführung zweier funktionen (oder der Begriff der Surjektivität) etwas sagen. Sprich: Wenn du inhaltlich genau deine Lösungsidee nachvollziehst, aber zwei/ drei Worte mehr verlierst, kann man deutlich mehr leserinnen und Lesern deine Lösung nahe bringen! smile

Cyrix

Ich habe jetzt mal einen Lösungsvorschlag in #1852 gemacht, der aber ganz auf der Komposition von Funktionen aufbaut, da ich deine Anregung oben zu diesem Zeitpunkt noch nicht gelesen hatte. Wenn jemand dieses Konzept der Komposition von Funktionen fremd ist und ihm auch Begriffe wie "surjektiv" oder "selbstinvers" bei Funktionen wenig sagen, wird er vermutlich damit wenig anfangen können, das ist schon richtig, aber ich vermute mal, dass er dann auch insgesamt mit der Aufgabe ein Problem hat, da diese im Kern doch darauf aufbaut, wenngleich man natürlich alles irgendwie "umschreiben" kann.

Aber ich habe natürlich absolut nichts dagegen und fände es sogar begrüssenswert, wenn jemand eine aus seiner Sicht mehr "schülergerechte" Alternativlösung - nach meiner Idee oder unabhängig davon - anbietet.  wink


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4897
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 Beitrag No.1852, eingetragen 2019-08-20 13:08    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-08-20 11:13 - Nuramon in Beitrag No. 1848 schreibt:
@weird: Gute Beobachtung. Schreibst du den ersten Teil auch noch auf, damit stpolster die Lösung direkt so eintragen kann?
Am Ende fehlt auch noch die berühmt-berüchtigte Probe (oder zumindest eine Bemerkung, dass diese notwendig ist), die man bei Funktionalgleichungen praktisch immer machen muss.

Ok, hier also dann meine vollständige Lösung, wobei der Anfang wie gesagt noch mit Musterlösung in #1834 übereinstimmt.

Lösung zu 321233A
Gelten die Voraussetzungen der Aufgabe für ein $x\in\mathbb R$, dann offensichtlich auch für $-x$ und durch Einsetzen in
\[2f\left(\frac{x^2+x-1}{x^2-x-1}\right)-3f\left(\frac{x^2-x-1}{x^2+x-1}\right)=5\left(x-\frac1x\right)\quad (1)\] erhält man
\[2f\left(\frac{x^2-x-1}{x^2+x-1}\right)-3f\left(\frac{x^2+x-1}{x^2-x-1}\right)=-5\left(x-\frac1x\right)\quad (2)\] also insgesamt ein lineares Gleichungssystem in $f\left(\frac{x^2+x-1}{x^2-x-1}\right)$ und $f\left(\frac{x^2-x-1}{x^2+x-1}\right)$, aus dem sich insbesondere
\[f\left(\frac{x^2+x-1}{x^2-x-1}\right)=x-\frac1x\quad (3)\] ergibt. Nun kann man (3) unter Zuhilfenahme der Abbildungen
\[\tilde f:\mathbb R\setminus\{1\}\to \mathbb R\quad \text{mit}\quad x\mapsto \frac{x+1}{x-1}\quad (4)\] bzw.
\[g:\mathbb R\setminus\{0\}\to \mathbb R\quad \text{mit}\quad x\mapsto x-\frac1x\quad (5)\] auch in der Form
\[f(\tilde{f}(g(x)))=g(x)\quad (x\in\mathbb R\setminus\{0\})\quad (6)\] schreiben, wie man leicht nachrechnet. Da aber $g(x)$ für $x\ne 0$ alle reellen Zahlen durchläuft, muss also für alle reelle Zahlen $x\ne 1$ auch $f(\tilde{f}(x))=x$ gelten. Andererseits gilt aber auch $\tilde f(\tilde f(x))=x$ für alle $x\ne 1$, wie man sofort nachrechnet, womit sich wegen $f(\tilde f(x))=\tilde f(\tilde f(x))$ ähnlich wie vorher schlussendlich
\[f(x)=\tilde f(x)=\frac{x+1}{x-1} \quad (x\in \mathbb R\setminus\{1\})\quad (7)\] ergibt. Durch Einsetzen in (1) kann man sich schließlich noch davon überzeugen, dass dies auch tatsächlich eine Lösung unserer Funktionalgleichung hier ist.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1848 begonnen.]
\(\endgroup\)

OlgaBarati
Aktiv
Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 148
Herkunft:
 Beitrag No.1851, eingetragen 2019-08-20 12:39    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 1 - V611121
Bei Bodenuntersuchungen in der Agrochemie wendet man die sogenannte stufenweise Verdünnung an. Man schwemmt 1 cm³ einer Bodenprobe (x) mit 10 cm³ chemisch reinem Wasser (y) auf. Von der so erhaltenen Mischung nimmt man wieder 1 cm³ und schwemmt es ebenfalls mit 10 cm³ reinem Wasser auf!
a) Wie oft muss man diese Aufschwemmung vornehmen, um ein Mischverhältnis von etwa 1 : 2000000 zu erreichen?
b) Wieviel Bakterien sind dabei in 1 cm³ der Aufschwemmung durchschnittlich vorhanden, wenn 1 cm³ der unverdünnten Bodenprobe etwa 10 Millionen Bakterien enthält ?
Lösungsversuch
a) Mit x=1 cm³, y=10 cm³, x+y=11 cm³ ist das Verhältnis 1:10 und für das Mischungsverhältnis 1:2000000 ergibt sich damit:
\[\big(\frac{1}{11}\big)^n=\frac{1}{2000000}\] \[n=\frac{\log{(2000000)}}{\log{(11)}}\approx 6\]
b)\[n_{Bak}= \frac{10000000}{2000000}=5\]
oLGa

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1849 begonnen.]


cyrix
Senior
Dabei seit: 31.07.2004
Mitteilungen: 3290
Herkunft: Flensburg
 Beitrag No.1850, eingetragen 2019-08-20 12:33    [Diesen Beitrag zitieren]

@weird: Ich fidne deine Lösung auch sehr nett. :) Jedoch dürfte tatsächlich eher wenigen Schülerinnen und Schülern die Schreibweise der Hintereinanderausführung zweier funktionen (oder der Begriff der Surjektivität) etwas sagen. Sprich: Wenn du inhaltlich genau deine Lösungsidee nachvollziehst, aber zwei/ drei Worte mehr verlierst, kann man deutlich mehr leserinnen und Lesern deine Lösung nahe bringen! :)

Cyrix


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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1602
Herkunft:
 Beitrag No.19, eingetragen 2019-04-22 17:03    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-22 14:36 - pzktupel in Beitrag No. 12 schreibt:
Aufgabe 041032:
Eine ganze Zahl schreibt sich im Dezimalsystem mit 300 Einsen und einer Anzahl von Nullen am Ende der Zahl.
Kann diese Zahl eine Quadratzahl sein?


Antwort : Nein, kann keine Quadratzahl sein....

Mein Vorschlag dazu:

Ausschlaggebend sind die 300 Einsen.

111....111 = (10^300-1)/9 , 10^300-1 müsste eine Quadratzahl ergeben

um Wurzel(10^300-1)/3 ganzzahlig bilden zu können. Da 10^300 eine Quadratzahl ist [(10^150)^2], ist um eins veringert dies keine mehr, da der Abstand zu nächsten kleineren QZ (2*10^150)-1 wäre.

Die Anzahl der Nullen wäre gerade und damit eine Potenz von 100.

Die Kurzdarstellung der Zahl ist also (10^300-1)*100^n / 9

Die Wurzel aus dieser, wie oben beschrieben, scheitert wegen 10^300-1
Diese Lösung ist unvollständig. Es müsste auch noch der Fall betrachtet werden, in dem die Anzahl der Nullen ungerade ist. Ich sehe auf Anhieb keine Möglichkeit diese Lücke zu reparieren, die nicht auf Betrachtung des Rests modulo 9 hinausläuft (siehe TomTom314s Lösung). Vielleicht hat jemand eine andere Idee.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]


Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1408
Herkunft:
 Beitrag No.18, eingetragen 2019-04-22 16:57    [Diesen Beitrag zitieren]

Huhu Steffen,

ich hoffe du hattest schöne Ostertage! Zu Aufgabe 041034:


Ein Anfang wäre es wohl Kandidat A zu betrachten, da dieser in 3 Aussagen vorkommt. Wenn A nun nicht volle Punktzahl hat, da muss von diesen 3 Aussagen eine mit beiden falschen Aussagen dabei sein. Wenn nun A und C beide falsch sind, dann müssten also F und D volle Punktzahl erhalten haben. Dann wären aber B und E beide leer ausgegangen, und somit hätten wir bei Aussage (4) wieder 2 verkehrte. Das funktioniert also nicht. Die gleiche Argumentation klappt auch für den Fall, dass A und F beide falsch sind und dass A und D beide falsch sind. A muss also volle Punktzahl erhalten haben und C, F und D nicht. Es fehlt dann also noch die Aussage, in der beide Angaben nicht stimmen. Nach Aussage (2) haben B und F volle Punktzahl erhalten und nach Aussage (4) B und E. B kann somit nicht volle Punktzahl erreicht haben, da in diesem Fall in beiden Aussagen eine Angabe richtig wäre. Somit hat B nicht volle Punktzahl erreicht. Dann hat E volle Punktzahl erreicht. Somit haben A und E volle Punktzahl erreicht.


Ich hoffe ich habe nichts übersehen. Ansonsten schiebe ich das einfach auf den Feiertag und das schöne Wetter!

Herzliche Grüße,

Küstenkind


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 972
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.17, eingetragen 2019-04-22 16:17    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-22 16:02 - pzktupel in Beitrag No. 16 schreibt:
@Steffen, bei meiner Lösung ist in Deiner Darstellung ein Fehler.
Danke für den Hinweis. Ist korrigiert.

LG Steffen


pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 968
Herkunft: Thüringen,Erfurter Raum
 Beitrag No.16, eingetragen 2019-04-22 16:02    [Diesen Beitrag zitieren]

@Steffen, bei meiner Lösung ist in Deiner Darstellung ein Fehler. Bei der einen Wurzel müsste eine 9 statt 3 im Nenner stehen...oder das Wurzelzeichen kleiner darstellen.

Sehr lobenswert, Deine Bemühungen !


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 972
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.15, eingetragen 2019-04-22 15:39    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,
Danke für die weiteren Lösungen. Die Hilfe ist großartig.

Ich habe jetzt die Lösungen in einer Datei zusammengefasst.
siehe mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=20525
Ich werde auch die nachfolgenden Lösungen ergänzen und die Datei ständig aktualisieren.

Im Moment steht als Name des Lösenden euer Matheplanet-Name. Selbstverständlich ändere ich dies gern auf euren richtigen Namen ab. Schreibt einfach eine PN.

Da ich euch nicht zu viel "einspannen" möchte, werde ich ab und an einmal einige neue Aufgaben nennen. Vielleicht nehme ich auch Aufgaben der 4.Stufe, also etwas anspruchsvollere.

Vielen Dank nochmals.
Steffen


TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1483
Herkunft:
 Beitrag No.14, eingetragen 2019-04-22 15:22    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 041036:
Das Volumen des Tretraeders ist gegeben durch $V=\frac{1}{3}G\cdot h$, wobei $G$ die Grundfläche bezeichnet. Durch einen Punkt im inneren zerfällt der Tetraeder in 4 Teiltetraeder mit Grundfläche $G$ und den Höhen $a,b,c,d$. Da der ganze Tetraeder regelmäßig ist, haben alle 4 Teilteraeder ebenfalls die Grundfläche $G$. Es gilt die Gleichung $V=V_a+V_b+V_c+V_d$, wobei $V_*$ das Volumen der Teiltetraeder mit der entsprechenden Höhe ist. Nach anwenden der Volumenformel erhalten wir
\[\frac{1}{3}G\cdot h=\frac{1}{3}G\cdot a+\frac{1}{3}G\cdot b+\frac{1}{3}G\cdot c+\frac{1}{3}G\cdot d\] und nach kürzen $h=a+b+c+d$.



TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1483
Herkunft:
 Beitrag No.13, eingetragen 2019-04-22 14:48    [Diesen Beitrag zitieren]

@TomTom134: Mehr Aufgaben? :-)  Ich habe noch eine große Menge.
Das habe ich befürchtet. Es ist auf jeden Fall eine angenehme Abwechslung zu Dreiecken.

Da ich so vorlaut war:

Aufgabe 041032:
Die Zahl n hat die Quersumme 300. Da 300 durch 3 aber nicht durch 9 teilbar ist, gilt dieses auch für n. Daher kann n keine Quadratzahl sein.


Aufgabe 041035:
Wenn $a$ nicht durch 3 teilbar ist, hat a die Gestalt $3n+1$ oder $3n+2$. Durch quadrieren der Gleichungen sehen wir, dass $a^2$ dann in beiden Fällen die Gestalt $3m+1$ hat ($m=9n^2+6n$ oder $m=9n^2+12n$). Wenn $a$ und $b$ beide nicht durch 3 teilbar sind, hat $a^2+b^2$ die Gestalt $3N+2$. Wenn $a$ durch 3 teilbar und $b$ nicht durch 3 teilbar ist, hat $a^2+b^2$ die Gestalt $3N+1$. In beiden Fällen ist $a^2+b^2$ nicht durch 3 teilbar. Also folgt aus "$a^2+b^2$ durch 3 teilbar" bereits, dass $a$ und $b$ durch 3 teilbar sind.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]


pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 968
Herkunft: Thüringen,Erfurter Raum
 Beitrag No.12, eingetragen 2019-04-22 14:36    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 041032:
Eine ganze Zahl schreibt sich im Dezimalsystem mit 300 Einsen und einer Anzahl von Nullen am Ende der Zahl.
Kann diese Zahl eine Quadratzahl sein?


Antwort : Nein, kann keine Quadratzahl sein....

Mein Vorschlag dazu:

Ausschlaggebend sind die 300 Einsen.

111....111 = (10^300-1)/9 , 10^300-1 müsste eine Quadratzahl ergeben

um Wurzel(10^300-1)/3 ganzzahlig bilden zu können. Da 10^300 eine Quadratzahl ist [(10^150)^2], ist um eins veringert dies keine mehr, da der Abstand zu nächsten kleineren QZ (2*10^150)-1 wäre.

Die Anzahl der Nullen wäre gerade und damit eine Potenz von 100.

Die Kurzdarstellung der Zahl ist also (10^300-1)*100^n / 9

Die Wurzel aus dieser, wie oben beschrieben, scheitert wegen 10^300-1

_________________________________

Aufgabe 041035:
Ist die folgende Aussage richtig?
Für alle ganzen Zahlen a und b gilt:
Wenn a2+b2 durch 3 teilbar ist, dann sind auch a und b durch 3 teilbar.

Ja, ist richtig.

Wir betrachten die Restklasse bei a MOD 3, diese sind 0,1,2
Betrachtet wird a=0 MOD 3 und b=0 MOD 3

I  (a+0)^2=a²   -> MOD 3 REST 0
II (a+1)=a²+2a+1-> MOD 3 REST 1,da a(a+2) Teiler 3 hat
III(a+2)=a²+4a+4-> MOD 3 REST 1,da a(a+4) Teiler 3 hat

analog für b

I  (b+0)^2=b²   -> MOD 3 REST 0
II (b+1)=b²+2b+1-> MOD 3 REST 1,da b(b+2) Teiler 3 hat
III(b+2)=b²+4b+4-> MOD 3 REST 1,da b(b+4) Teiler 3 hat

Man erkennt,nur für a MOD 3=0 und b MOD 3=0 ist die Addition von a²+b² durch 3 teilbar.







Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 436
Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
 Beitrag No.11, eingetragen 2019-04-22 14:17    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo
Lösungsvorschlag für 060935 a)

fed-Code einblenden


gruß Caban


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 972
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-04-22 13:59    [Diesen Beitrag zitieren]

Vielen Dank für die vielen Lösungen. Auf euch ist eben Verlass.
Ich werde alles so schnell wie möglich aufnehmen.

@Kornkreis: Danke für das Angebot. Jede Lösung ist herzlich willkommen.
@TomTom134: Mehr Aufgaben? smile  Ich habe noch eine große Menge.

Aufgabe 060935:
Auf dem Kreis k bewegen sich der Punkt A mit der gleichförmigen Geschwindigkeit v1 und der Punkt B mit der gleichförmigen Geschwindigkeit v2, wobei \(v_1 \neq v_2\) ist.
Bewegen sich beide Punkte im gleichen Umlaufsinn (etwa im Uhrzeigersinn), so überholt der Punkt A den Punkt B jeweils nach 56 min. Bewegen sich beide Punkte in verschiedenem Umlaufsinn, so begegnen sie
einander jeweils nach 8 min. Dabei verringert bzw. vergrößert sich ihr auf der Kreislinie gemessener Abstand voneinander in je 24 s um 14 m.
a) Wie lang ist der Kreisumfang?
b) Wie groß sind die Geschwindigkeiten v1 und v2 (in m/min)?

Aufgabe 060936:
In einer Ebene sind ein Kreis k, eine Gerade g sowie ein Punkt A auf g gegeben.
Man konstruiere einen Kreis k', der erstens k berührt und zweitens g in A berührt. Man untersuche, wie viele solcher Kreise k' es bei den verschiedenen Lagemöglichkeiten von k, g und A geben kann.

Aufgabe 041034:
Von sechs Schülern einer Schule, die an der zweiten Stufe der Mathematikolympiade teilnahmen, erreichten zwei die volle Punktzahl. Die Schüler seien zur Abkürzung mit A, B, C, D, E und F bezeichnet.
Auf die Frage, welche beiden Schüler die volle Punktzahl erreicht haben, wurden die folgenden fünf verschiedenen Antworten gegeben:
(1) A und C,
(2) B und F,
(3) F und A,
(4) B und E,
(5) D und A.
Nun wissen wir, daß in genau einer Antwort beide Angaben falsch sind, während in den übrigen vier Antworten jeweils genau eine Angabe zutrifft.
Welche beiden Schüler erreichten die volle Punktzahl ?

Aufgabe 041031:
Ein Fußgänger geht (mit konstanter Geschwindigkeit) um 9.00 Uhr von A nach dem 12, 75 km entfernten B.
Auf der gleichen Straße fährt um 9.26 Uhr ein Straßenbahnzug von A nach B ab. Er überholt den Fußgänger um 9.36 Uhr und fährt nach 4 Minuten Aufenthalt in B wieder zurück. Dabei begegnet er dem Fußgänger um 10.30 Uhr.
a) Wieviel Kilometer legen der Fußgänger und der Straßenbahnzug durchschnittlich in der Stunde zurück?
b) In welcher Entfernung von A überholt der Straßenbahnzug den Fußgänger, und wo begegnet er ihm bei der Rückfahrt?

Aufgabe 041032:
Eine ganze Zahl schreibt sich im Dezimalsystem mit 300 Einsen und einer Anzahl von Nullen am Ende der Zahl.
Kann diese Zahl eine Quadratzahl sein?

Aufgabe 041035:
Ist die folgende Aussage richtig?
Für alle ganzen Zahlen a und b gilt:
Wenn \(a^2+b^2\) durch 3 teilbar ist, dann sind auch a und b durch 3 teilbar.

Aufgabe 041036:
Ein regelmäßiges Tetraeder habe die Höhe h. Ein Punkt im Innern des Tetraeders habe von den Seitenflächen die Abstände a, b, c und d.
Man beweise: a + b + c + d = h!

Nochmals vielen Dank.
Steffen


Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.9, eingetragen 2019-04-22 13:37    [Diesen Beitrag zitieren]



Aufgabe 020915

<math>
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={anchor=east}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=west}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %

\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\alpha$"
] {angle =B--A--C};
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$"
] {angle =C--B--A};
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\gamma$"
] {angle =A--C--B};


% Umreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={below}{}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];

% Tangente in A
\draw[] (A) -- ($(A)!2 cm!90:(U)$) coordinate(Ya);
\draw[] (A) -- ($(A)!-\a cm!90:(U)$) coordinate(Xa);
% Tangente in B
\draw[] (B) -- ($(B)!\a cm!90:(U)$) coordinate[Punkt={below}{D}] (D);
\draw[] (B) -- ($(B)!-2cm!90:(U)$) coordinate(Xb);
% Tangente in C
\draw[] (C) -- ($(C)!3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Yc);
\draw[] (C) -- ($(C)!-3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Xc);
% Parallele durch D
\draw [name path=parallele] (D) -- +($2*(Xc)-2*(C)$) -- +($2*(Yc)-2*(C)$);

\draw[name path=AAs] (A) -- ($(C)!2.3*\a cm!(A)$);
\path[name intersections={of=parallele and AAs, name=As}] ;
\coordinate[Punkt={anchor=west}{A"}] (As) at (As-1);

\draw[name path=BBs] (B) -- ($(C)!1.5*\a cm!(B)$);
\path[name intersections={of=parallele and BBs, name=Bs}] ;
\coordinate[Punkt={below=3pt}{B"}] (Bs) at (Bs-1);

% Dreieck DAA"
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\gamma$", red, double,
] {angle =D--A--B};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$"
] {angle =As--A--D};

\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$", red, double,
] {angle =Xc--C--A}; % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$", blue,
] {angle =D--As--A}; % Z-Winkel

% Dreieck DBB"
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\gamma$", red, double,
] {angle =A--B--D};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\alpha$",
] {angle =D--B--Bs};

\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\alpha$", red, double,
] {angle =B--C--Yc};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\alpha$", blue,
] {angle =B--Bs--D}; % Z-Winkel

% Seitenlngen
\path[] (As) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (A) -- (D) node[midway, right]{$x$};

\path[] (Bs) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (B) -- (D) node[midway, left]{$x$};


\draw[densely dashed] (D) circle[radius=\a];

%% Punkte
\foreach \P in {D,As, Bs,A,B,C}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\node[below of=D, xshift=-10mm,
anchor=north west, align=left,
text width=1.2*\a cm, fill=black!1,
draw
]{Aus dem Sehnentangentenwinkelsatz (Sehnentangentenwinkel = Umfangswinkel) folgen zunchst die Sehnentangentenwinkel (rot eingezeichnet) bei  $A,\, B$ und $C$. \\
Die Winkel bei $A"$ und $B"$ folgen als Wechsel- bzw. Z-Winkel (blau eingezeichnet) der Winkel bei $C$. \\
Damit ist gezeigt, dass $DAA"$ und $DBB"$ gleichschenklige Dreiecke sind. \\[1em]
Haben die Schenkel im gleichschenkligen Dreieck $DAA"$ die Lnge $x$, so folgt durch Betrachtung des gleichschenkligen Dreieck $DBA$, dass auch das gleichschenklige Dreieck $DBB"$ Schenkel der Lnge $x$ hat. \\
Also haben die Punkte $A,B,A",B"$ alle samt von $D$ den selben Abstand, womit $D$ Mittelpunkt eines Kreises ist, der diese Punkte enthlt.
};
\end{tikzpicture}
</math>

LaTeX
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{5} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\coordinate[Punkt={anchor=east}{A}] (A) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={anchor=west}{B}] (B) at (\c,0); 
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %
 
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\alpha$"
] {angle =B--A--C}; 
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$"
] {angle =C--B--A}; 
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\gamma$"
] {angle =A--C--B}; 
 
 
% Umreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % 
 
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %  
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %    
 
\coordinate[Punkt={below}{}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); 
 
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %  
\draw[] (U) circle[radius=\R];
 
% Tangente in A
\draw[] (A) -- ($(A)!2 cm!90:(U)$) coordinate(Ya);
\draw[] (A) -- ($(A)!-\a cm!90:(U)$) coordinate(Xa);
% Tangente in B
\draw[] (B) -- ($(B)!\a cm!90:(U)$) coordinate[Punkt={below}{D}] (D);
\draw[] (B) -- ($(B)!-2cm!90:(U)$) coordinate(Xb);
% Tangente in C
\draw[] (C) -- ($(C)!3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Yc);
\draw[] (C) -- ($(C)!-3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Xc);
% Parallele durch D
\draw [name path=parallele] (D) -- +($2*(Xc)-2*(C)$) -- +($2*(Yc)-2*(C)$);
 
\draw[name path=AAs] (A) -- ($(C)!2.3*\a cm!(A)$);
\path[name intersections={of=parallele and AAs, name=As}] ;
\coordinate[Punkt={anchor=west}{A'}] (As) at (As-1); 
 
\draw[name path=BBs] (B) -- ($(C)!1.5*\a cm!(B)$);
\path[name intersections={of=parallele and BBs, name=Bs}] ;
\coordinate[Punkt={below=3pt}{B'}] (Bs) at (Bs-1); 
 
% Dreieck DAA'
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\gamma$", red, double, 
] {angle =D--A--B};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$"
] {angle =As--A--D}; 
 
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$", red, double,  
] {angle =Xc--C--A}; % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$", blue, 
] {angle =D--As--A}; % Z-Winkel
 
% Dreieck DBB'
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\gamma$", red, double, 
] {angle =A--B--D};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\alpha$", 
] {angle =D--B--Bs};
 
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\alpha$", red, double, 
] {angle =B--C--Yc};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\alpha$", blue, 
] {angle =B--Bs--D}; % Z-Winkel
 
% Seitenlängen
\path[] (As) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (A) -- (D) node[midway, right]{$x$};
 
\path[] (Bs) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (B) -- (D) node[midway, left]{$x$};
 
 
\draw[densely dashed] (D) circle[radius=\a];
 
%% Punkte
\foreach \P in {D,As, Bs,A,B,C}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
\node[below of=D, xshift=-10mm, 
anchor=north west, align=left, 
text width=1.2*\a cm, fill=black!1,
draw
]{Aus dem Sehnentangentenwinkelsatz (Sehnentangentenwinkel = Umfangswinkel) folgen zunächst die Sehnentangentenwinkel (rot eingezeichnet) bei  $A,\, B$ und $C$. \\
Die Winkel bei $A'$ und $B'$ folgen als Wechsel- bzw. Z-Winkel (blau eingezeichnet) der Winkel bei $C$. \\
Damit ist gezeigt, dass $DAA'$ und $DBB'$ gleichschenklige Dreiecke sind. \\[1em]
Haben die Schenkel im gleichschenkligen Dreieck $DAA'$ die Länge $x$, so folgt durch Betrachtung des gleichschenkligen Dreieck $DBA$, dass auch das gleichschenklige Dreieck $DBB'$ Schenkel der Länge $x$ hat. \\
Also haben die Punkte $A,B,A',B'$ alle samt von $D$ den selben Abstand, womit $D$ Mittelpunkt eines Kreises ist, der diese Punkte enthält. 
};
\end{tikzpicture}
 
\end{document}




TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1483
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-04-22 12:56    [Diesen Beitrag zitieren]

Vielleicht hat der eine oder andere Lust und Freude dabei zu helfen. Außer einer ehrenvollen Erwähnung kann ich aber nichts bieten.

Mehr Aufgaben!!!  smile  smile  smile Bei diesen Aufgabentypen wirst Du hier - denke ich - reichlich fleißige Helfer finden.

zu Aufgabe 060932: Ich vermute, dass die Behauptung immer noch gilt, wenn nur gefordert wird, dass die 4 Umkreisradien gleich sind. Ein Beweis oder Gegenbeispiel würde mich interessieren.


TomTom314
Senior
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1483
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-04-22 12:35    [Diesen Beitrag zitieren]

Aufgabe 060933:
Beweisen Sie die folgende Behauptung:
In keinem rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Hypotenuse kleiner als das \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)-fache der Summe der Kathetenlängen.
Nach Normierung der Hypotenuse auf 1 ist die Ungleichung $1\geq\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+\sqrt{1-x^2})$ zu zeigen, wobei $x,y$ die Kathetenlängen bezeichnet ($x^2+y^2 = 1$). Aus $0\leq x \leq 1$ folgt $\sqrt{2}-x>0$ und $1-x^2\geq 0$. Somit gilt die folgende Äquivalenz.

$1\geq\frac{1}{\sqrt{2}}(x+\sqrt{1-x^2})\iff\\ (\sqrt{2}-x)^2 \geq 1-x^2 \iff\\ 0\geq-1 +2\sqrt{2}x -2x^2 = -2(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2\iff\\ 0\leq(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2$.

Die letzte Zeile ist für alle $x\in\IR$ wahr. q.e.d.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


philippw
Senior
Dabei seit: 01.06.2005
Mitteilungen: 1090
Herkunft: Hoyerswerda
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-04-22 12:13    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart schreibt:
Aufgabe 060932:
Beweisen Sie die folgende Behauptung:
Sind bei einem (nicht notwendigerweise regelmäßigen) Tetraeder ABCD die Umfänge aller seiner vier Seitenflächen untereinander gleich, dann sind diese Flächen zueinander kongruent.

060932
Der Umfang sei u, die Seitenlängen seinen a,b,c,d,e,f, sodass u=a+b+c=a+e+f=b+d+f=c+d+e. Addiere die ersten beiden Umfänge und ziehe die anderen beiden Umfänge ab, und wir erhalten: 0=u+u-u-u=a+b+c+a+e+f-b-d-f-c-d-e=2a-2d, also a=d. Analog erhält man b=e und c=f. Also haben alle vier Dreiecke Seiten mit Längen a, b und c. Dreiecke mit den gleichen Seitenlängen sind bekanntlich kongruent.


Kornkreis
Senior
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 789
Herkunft: Chemnitz
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-22 11:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich hatte in meiner Olympiadensucht vor einigen Jahren unter anderem eine riesige Menge alter Aufgaben der Klassenstufen 10 und 11-12 (Landesrunde und nationale Runde) gelöst, meistens Zahlentheorie, Kombinatorik und Funktionalgleichungen. Am Anfang hatte ich ein paar Lösungen zur Kontrolle auch ins Matheboard und auf den Matheplaneten geschrieben.
Davon könnte ich ja dann mal die Links raussuchen und auch meine Notizen zu den anderen Aufgaben rauskramen. Ich hatte aber die Jahrgänge nicht flächendeckend bearbeitet, sondern Aufgaben nach Interesse ausgewählt.


pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 968
Herkunft: Thüringen,Erfurter Raum
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-22 10:42    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke Vercassivelaunos, ich habe es "gezeigt" in der Ergänzung.


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 596
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-22 10:38    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Hallo stpolster,

ich habe mir mal Aufgabe 060931 angeschaut:


Zwei Primzahlen p1 und p2 (mit p1 > p2) heißen Primzahlzwillinge, wenn p1 − p2 = 2 gilt.
Beweisen Sie, dass für alle Primzahlzwillinge p1 und p2, für die p2 > 3 ist, stets die Summe p1 + p2 durch 12 teilbar ist!

Lösung:

Für die Uni: (Das wäre dann so eine Einstiegs-Klausuraufgabe vom Typ "Beherrschen Sie Moduloarithmetik?")
Es ist zu zeigen, dass  $p_1+p_2=0\mod12$. Dafür zeigen wir getrennt, dass $p_1+p_2=0\mod3$ und $p_1+p_2=0\mod 4$. (Das reicht wegen der Teilerfremdheit von 3 und 4).

$0\mod3$:
Es gilt $p_1,p_2>3$, also $p_1,p_2\neq0\mod3$. Das führt $p_2=1\mod3$ zum Widerspruch, denn dann wäre $p_1=p_2+2=1+2=3=0\mod 3$. Es muss also $p_2=-1\mod3$ sein. Dann ist $p_1=-1+2=1\mod3$, und damit $p_1+p_2=-1+1=0\mod3$.

$0\mod4$:
Da $p_1,p_2>2$ gilt $p_1=p_2=1\mod2$, und damit $p_1,p_2=\pm1\mod4$ (beachte, dass nicht unbedingt $p_1=p_2\mod4$). Falls $p_2=1\mod4$, dann ist $p_1=p_2+2=3=-1\mod4$, und damit $p_1+p_2=0\mod4$. Ist hingegen $p_2=-1\mod4$, dann ist $p_1=p_2+2=1\mod4$, und wieder $p_1+p_2=0\mod4$.

Für die Schule:
Wir zeigen, dass $p_1+p_2$ sowohl durch 4, als auch durch 3 teilbar ist. Da 4 und 3 teilerfremd sind, muss dann nämlich $p_1+p_2$ durch $4\cdot3=12$ teilbar sein.

Teilbarkeit durch 3:
Da beide Primzahlen größer als drei sind, sind sie nicht durch 3 teilbar. Damit ist $p_2$ entweder von der Form $p_2=3k+1$ oder $p_2=3k+2$ mit einer natürlichen Zahl $k$. Da $p_1-p_2=2$ ist $p_1=p_2+2$. Also ist $p_1$ von der Form $p_1=p_2+2=3k+1+2=3(k+1)$ oder $p_1=p2_+2=3k+2+2=3(k+1)+1$.
Der erste Fall kann nicht sein, denn dann wäre $p_1$ durch 3 teilbar, und somit keine Primzahl. Im zweiten Fall ist aber $p_1+p_2$ von der Form $p_1+p_2=3(k+1)+1+3k+2=2\cdot3(k+1)$, ist also durch 3 teilbar.

Teilbarkeit durch 4:
Da beide Primzahlen größer als 3 sind, sind sie nicht durch 2 teilbar. Damit ist $p_2$ von der Form $p_2=2k+1$. Dann ist $p_1=p_2+2=2k+3$. Dann ist $p_1+p_2=2k+1+2k+3=4k+4=4(k+1)$, also durch 4 teilbar.

Damit ist $p_1+p_2$ durch 3 und durch 4 teilbar, und damit auch durch $12$.


Viele Grüße,
Vercassivelaunos

Nachtrag: Wenn man direkt verwendet, dass alle PZ außer 2 und 3 von der Form $6k\pm1$ sind, dann ist pzktupels Beweis natürlich um längen eleganter. Ich schätze aber mal, dass man das in der Olympiade erst zeigen müsste.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)

pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 968
Herkunft: Thüringen,Erfurter Raum
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-22 10:30    [Diesen Beitrag zitieren]

@StrgAltEntf
Das ist extrem elegant, gefällt mir !


@Steffen
Aufgabe 060931:
Zwei Primzahlen p1 und p2 (mit p1 > p2) heißen Primzahlzwillinge, wenn p1 − p2 = 2 gilt.
Beweisen Sie, dass für alle Primzahlzwillinge p1 und p2, für die p2 > 3 ist, stets die Summe p1 + p2 durch 12 teilbar ist!

Als Laie würde ich sagen.


Alle Primzahlen sind der Form 6n-1 oder 6n+1 (außer 2 und 3), diese haben im Fall der Zwillinge einen Abstand von 2.

Da p1<p2 muss p1=6n-1 besitzen.

(6n-1)+(6n+1)=12n, somit ist die Summe p1+p2 in der Tat durch 12 teilbar.

6n-1 ist kongruent 6n+5 (mod 6)

"Beweis", das Primzahlen nur der Form 6n+1,6n+5 sind:

Um alle Zahlen zu untersuchen ermittelt man Teiler von

6n+0,hat Teiler 2,3
6n+1
6n+2,hat Teiler 2
6n+3,hat Teiler 3
6n+4,hat Teiler 2
6n+5

Damit ist der Restklassenring für MOD 6 abgeschlossen und es verbleiben als mögliche Primzahlen
6n+1 und 6n+5

Anmerkung:
Um 6n-1 auszugrenzen, verwendet man für p2=6n+1 einfach p2=6n+7 und p1=6n+5

p1+p2=(6n+5)+(6n+7)=12(n+1), 12 ist somit Teiler von p2+p1


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5086
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-22 10:12    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Steffen,

2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart schreibt:
Aufgabe 060934:
Zeigen Sie, dass es unter allen Zahlen der Form 2p + 1, wobei p eine Primzahl ist, genau eine Kubikzahl gibt!

Das ist einfach.
Sei \(2p+1=a^3\). Dann ist \(a\) ungerade und es gilt \(p = \frac{a^3-1}2 = \frac{a-1}2(a^2+a+1)\). Da \(p\) prim, muss \(\frac{a-1}2=1\) oder \(a^2+a+1=1\) gelten. Da \(a^2+a+1>1\) folgt \(a=3\) und somit \(p=13\). In der Tat ist \(13\) prim und es gilt \(2\cdot13+1=3^3\).


Grüße
StrgAltEntf


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 972
Herkunft: Chemnitz
 Themenstart: 2019-04-22 08:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,
ich bin seit einiger Zeit an der Zusammenstellung von Lösungen zu alten Mathematik-Olympiadeaufgaben. Durch Manuela Kugel ( www.olympiade-mathematik.de/ ) wurden in extrem fleißiger Arbeit alle Aufgaben zusammengetragen. Bei einigen fehlen noch die Lösungen.

Ich habe nun begonnen, die eine oder andere Lösung zu ermitteln und in LaTex zu setzen. Das Bereitstellen aller Lösungen übersteigt aber mein Zeitvolumen und vor alle meine mathematischen Fähigkeiten.

Vielleicht hat der eine oder andere Lust und Freude dabei zu helfen. Außer einer ehrenvollen Erwähnung kann ich aber nichts bieten.

Aufgaben ohne Lösungen findet man in den Texten www.olympiade-mathematik.de/ oder bei mir mathematikalpha.de/mathematikaufgaben . Es kann ja sein, dass Klassenstufe 9 zu einfach ist.

neuer Link: Download der ungelösten Aufgaben

Ich würde diese Lösungen in eine Datei übernehmen (Latex würde mir die Arbeit erleichtern) und wie gesagt, den "Löser" lobend erwähnen.
Sobald eine Klassenstufe eines Jahrgangs komplett ist, füge ich die PDF-Datei in die Datei der Aufgaben und stelle sie online.

Sollte jemand von euch Interesse haben, würde es mich freuen.

LG und schöne Rest-Ostern
Steffen

Alle eure Lösungen, inkl. der Aufgaben, findet ihr unter:
mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=20525
Sollte eine alte Datei angezeigt werden, bitte mit der F5-Taste im Browser die Datei erneut laden.


 
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