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Antworte auf:  Determinante ist + -1 von Bibi90
Forum:  Determinanten, moderiert von: Fabi Dune ligning

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Themenübersicht
Bibi90
Aktiv
Dabei seit: 17.11.2017
Mitteilungen: 203
Herkunft:
 Beitrag No.11, eingetragen 2019-04-26 15:51    [Diesen Beitrag zitieren]

Ok dankeschön


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4889
Herkunft:
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-04-26 14:49    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-26 14:09 - Bibi90 in Beitrag No. 9 schreibt:
Also das n ist element der ganzen Zahlen und hat nichts mit der Matrix zu tun.
Das habe ich vergessen hinzuschreiben. Für n gerade erhalte ich dann 1 und für n ungerade -1.
Ist es besser, wenn ich das n weglasse?

Klar ist das besser, denn jeder fragt sich hier, so wie ich, wo das $n$ plötzlich herkommt. Du solltest einfach nur $\det(A)=\pm 1$ angeben, das genügt vollauf.


Zur Rückrichtung.

Mir ist schon klar, dass adj(A) ganzzahlig sein muss. Allerdings weiß ich nicht wie ich das hier hinschreiben kann. Kannst du mir da helfen?

Da gibt es nichts zum hinschreiben, außer eben, dass die Matrixelemente von adj(A) nach deren Definition (s. hier) ganzzahlig sind, da sie aus den Elementen von $A$ nur mithilfe von Addition, Subtraktion und Multiplikation gebildet werden. Es kommt also damit wirklich nur auf den Vorfaktor $1/\det(A)$ an.


Bibi90
Aktiv
Dabei seit: 17.11.2017
Mitteilungen: 203
Herkunft:
 Beitrag No.9, eingetragen 2019-04-26 14:09    [Diesen Beitrag zitieren]

Also das n ist element der ganzen Zahlen und hat nichts mit der Matrix zu tun.
Das habe ich vergessen hinzuschreiben. Für n gerade erhalte ich dann 1 und für n ungerade -1.
Ist es besser, wenn ich das n weglasse?

Zur Rückrichtung.

Mir ist schon klar, dass adj(A) ganzzahlig sein muss. Allerdings weiß ich nicht wie ich das hier hinschreiben kann. Kannst du mir da helfen?


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4889
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-04-26 13:13    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-26 09:44 - Bibi90 in Beitrag No. 6 schreibt:
Ok ich glaub ich habe es jetzt besser verstanden.

Es gilt ja
1= det(A*B)=det(A)*det(B) --> 1/det(B)= det(A)
Da A element Z gilt auch det(A) element Z somit folgt
det(A)=(-1)^n --> det(A)=+-1

Stimmt das so?

Wo kommt denn das $n$ hier her? Falls es die Zeilenanzahl von $A$ ist, ist das natürlich Unsinn. Noch einmal: Es geht darum, die Teiler von 1 innerhalb der ganzen Zahlen zu bestimmen!


Die Rückrichtung.
Sei det(A)= +-1. Da die Determinante ungleich null ist, ist A invertierbar. Es gilt
A^(-1)= 1/det(A) * adj(A)
A^(-1)= 1/(-1)^n * adj(A)
Doch wie geht es dann weiter?

Offenbar ist dir hier nicht klar, dass adj(A) nur mehr ganzzahlige Einträge hat, es steht oder fällt also alles mit der Ganzzahligkeit des Vorfaktors 1/det(A).


Bibi90
Aktiv
Dabei seit: 17.11.2017
Mitteilungen: 203
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-04-26 13:02    [Diesen Beitrag zitieren]

Kann mir niemand sagen ob das so stimmt? Und wie die Rückrichtung weiter geht?


Bibi90
Aktiv
Dabei seit: 17.11.2017
Mitteilungen: 203
Herkunft:
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-04-26 09:44    [Diesen Beitrag zitieren]

Ok ich glaub ich habe es jetzt besser verstanden.

Es gilt ja
1= det(A*B)=det(A)*det(B) --> 1/det(B)= det(A)
Da A element Z gilt auch det(A) element Z somit folgt
det(A)=(-1)^n --> det(A)=+-1

Stimmt das so?

Die Rückrichtung.
Sei det(A)= +-1. Da die Determinante ungleich null ist, ist A invertierbar. Es gilt
A^(-1)= 1/det(A) * adj(A)
A^(-1)= 1/(-1)^n * adj(A)
Doch wie geht es dann weiter?


Creasy
Senior
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 319
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-26 06:52    [Diesen Beitrag zitieren]

Alternativ kann man auch diese Formel über die cramersche Regel verwenden und feststellen dass die adjunkte Matrix auch Einträge in Z hat.


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 590
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-26 00:42    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Wobei hier dann noch die Rückrichtung fehlt, also $\det A=\pm1\Rightarrow$ $A$ invertierbar. Dafür würde ich auf das charakteristische Polynom $\chi_A$ schauen, und dass $\det A=\chi_A(0)$ (warum?) und $\chi_A(A)=0$.
\(\endgroup\)

Goswin
Senior
Dabei seit: 18.09.2008
Mitteilungen: 1309
Herkunft: Chile, Ulm
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-25 23:48    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-25 21:20 - Bibi90 im Themenstart schreibt:
A ist invertierbar über Z wenn es B gibt mit A *B = B* A = E.
Zeigen soll ich nun A ist invertierbar über Z genau dann wenn det(A)= + - 1.

Ich nehme einmal an, "invertierbar über Z" setzt voraus, dass sowohl <math>A\in\mathbb{Z}_{nn}</math> als auch <math>B\in\mathbb{Z}_{nn}</math> sein muss. Dann gilt aber auch <math>\det(A)\in\mathbb{Z}</math> und <math>\det(B)\in\mathbb{Z}</math>.


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4889
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-25 23:19    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-25 21:27 - BerndLiefert in Beitrag No. 1 schreibt:
wenn A invertierbar ist, was kannst du dann über det(A) aussagen? Betrachte dazu det(A*A^-1)...

Aber genau das macht der TS ja oben, mit dem einzigen Unterschied, dass er $B$ statt $A^{-1}$ schreibt. Das Problem scheint mir also eher darin zu liegen, dass er entweder aus $\det(A)\det(B)=1$ nicht den Schluss zieht, dass $\det(A)$ dann ein Teiler von 1 in $\mathbb Z$ sein muss oder aber ein Problem damit hat, diese Teiler von 1 zu bestimmen.  eek


BerndLiefert
Senior
Dabei seit: 21.10.2014
Mitteilungen: 437
Herkunft: Lehramtplanet
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-25 21:27    [Diesen Beitrag zitieren]

Moin,

wenn A invertierbar ist, was kannst du dann über det(A) aussagen? Betrachte dazu det(A*A^-1)...


Bibi90
Aktiv
Dabei seit: 17.11.2017
Mitteilungen: 203
Herkunft:
 Themenstart: 2019-04-25 21:20    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo

ich komme leider gerade nicht weiter.
A ist invertierbar über Z wenn es B gibt mit A *B = B* A = E.
Zeigen soll ich nun A ist invertierbar über Z genau dann wenn det(A)= + - 1.

Es ist
det(E)=1=det(A*B)=det(A)*det(B)=det(B)*det(A)=det(B*A)
doch was bringt mir das für den Beweis?


 
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