Antworte auf:  f-Urbild Definition von curious_mind
Forum:  Relationen und Abbildungen, moderiert von: mire2 StrgAltEntf

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Themenübersicht
curious_mind
Aktiv
Dabei seit: 10.11.2012
Mitteilungen: 383
Herkunft:
 Beitrag No.12, eingetragen 2019-05-01 16:02    [Diesen Beitrag zitieren]

Ok, alles klar. Danke!


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6167
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.11, eingetragen 2019-05-01 15:52    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-05-01 15:40 - curious_mind in Beitrag No. 10 schreibt:
Jetzt bin ich nur verwirrter.

Also nochmal: Sei $f: A\to B$ und $B \subsetneq S$. (Insbesondere soll S also mehr Elemente enthalten als $f(A)$!)

1. Ist dann $f^{-1}(S)$ definiert?
2. Ist $f^{-1}(S)=f^{-1}(f(A))$?

3. Ich will von Euch keine Beispiele, sondern wissen, ob S beliebig sein kann.

4. Aus meinem bisherigen Verständnis heraus, musste S immer eine Teilmenge von $f(A)$ sein, weil sonst $f^{-1}(s)$ für diejenigen $s\in S\setminus f(A)$ gar nicht definiert ist.

5. Mein Skript definiert aber S gar nicht und folglich könnte S sogar gar keine Elemente enthalten, oder eben viel mehr als $f(A)$.

1. Ja
2. Ja
3. Ja, kann es.
3. Doch, es ist definiert. Es ist die leere Menge.
4. Ja, sowohl als auch.


curious_mind
Aktiv
Dabei seit: 10.11.2012
Mitteilungen: 383
Herkunft:
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-05-01 15:40    [Diesen Beitrag zitieren]

Jetzt bin ich nur verwirrter.

Also nochmal: Sei $f: A\to B$ und $B \subsetneq S$. (Insbesondere soll S also mehr Elemente enthalten als $f(A)$!)

1. Ist dann $f^{-1}(S)$ definiert?
2. Ist $f^{-1}(S)=f^{-1}(f(A))$?

Ich will von Euch keine Beispiele, sondern wissen, ob S beliebig sein kann.

Aus meinem bisherigen Verständnis heraus, musste S immer eine Teilmenge von $f(A)$ sein, weil sonst $f^{-1}(s)$ für diejenigen $s\in S\setminus f(A)$ gar nicht definiert ist.

Mein Skript definiert aber S gar nicht und folglich könnte S sogar gar keine Elemente enthalten, oder eben viel mehr als $f(A)$.


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4665
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.9, eingetragen 2019-05-01 13:13    [Diesen Beitrag zitieren]

@zippy, Nuramon:
Danke für die Hinweise, das war ein Irrtum meinerseits.

Ich habe meine Beiträge entsprechend angepasst.


Gruß, Diophant


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2327
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-05-01 13:11    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-05-01 13:00 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
2019-05-01 12:56 - curious_mind in Beitrag No. 5 schreibt:
D.h. also ihr setzt voraus, dass $S \subseteq B$ ist?

Das tut mein Skript nämlich nicht.
Ja. Das ergibt doch sonst keinerlei Sinn.
Warum ergibt das keinen Sinn? Siehe No.2.

2019-05-01 12:06 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:
Wie soll denn S mehr Elemente haben als \(f^{-1}(S)\)?
Wenn $S\not\subset f(A)$ gilt kann das schon passieren.

\(\endgroup\)

zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1405
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-05-01 13:06    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
2019-05-01 12:06 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:
Wie soll denn S mehr Elemente haben als \(f^{-1}(S)\)?

Betrachte $f\colon[0,10]\to[0,10]$, $x\mapsto x/2$. Die Menge $S=[0,10]\cap\mathbb Z$ enthält offenbar mehr Elemente als $f^{-1}(S)$.
\(\endgroup\)

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4665
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-05-01 13:00    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
2019-05-01 12:56 - curious_mind in Beitrag No. 5 schreibt:
D.h. also ihr setzt voraus, dass $S \subseteq B$ ist?

Das tut mein Skript nämlich nicht.

Ja. Das ergibt doch sonst keinerlei Sinn.

Sorry, ich hatte hier einen gedanklichen Hänger.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

curious_mind
Aktiv
Dabei seit: 10.11.2012
Mitteilungen: 383
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-01 12:56    [Diesen Beitrag zitieren]

D.h. also ihr setzt voraus, dass $S \subseteq B$ ist?

Das tut mein Skript nämlich nicht.


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4665
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-01 12:06    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

2019-05-01 11:55 - curious_mind in Beitrag No. 3 schreibt:
Ja, sorry. Habe es korrigiert. Hoffe jetzt ist die Frage klar.

hm, für mich ist sie alles andere als klar. Das Urbild von \(S\) besteht aus der Menge \(f^{-1}(S)\) aller \(x\in A\) mit \(f(x)\subseteq S\). \(S\subseteq B\) ist ja jetzt geklärt. Wie soll denn S mehr Elemente haben als \(f^{-1}(S)\)?

EDIT: doch das geht (war ein Denkfehler meinerseits). Siehe Beitrag #7 von zippy.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

curious_mind
Aktiv
Dabei seit: 10.11.2012
Mitteilungen: 383
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-01 11:55    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-04-30 21:57 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1 schreibt:
 Tippfehler?

Ja, sorry. Habe es korrigiert. Hoffe jetzt ist die Frage klar.


Ralip
Aktiv
Dabei seit: 13.03.2019
Mitteilungen: 81
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-30 22:26    [Diesen Beitrag zitieren]

Es ist doch auch möglich das Urbild zu definieren (auf die genau gleiche Weise), wenn S keine Teilmenge von B ist. Sind sie disjunkt, wäre das Urbild leer. Was spricht dagegen?

Weiter ist eine Funktion doch auch für leere Mengen A,B definiert. Bzw. kann man für die Funktion doch auch Definitionsmenge und Wertemenge angeben?
Es lässt sich doch auch dann problemlos ein Tripel (A,B,G) bilden, wobei G eine funktionale Relation auf A und B sei.


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2490
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-30 21:57    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

es ist $S\subseteq B$ und hat mit $A$ erstmal nichts zu tun.

Es ist aber $f^{-1}(S)\subseteq A$


In Wiki ist nämlich die Definition so wie ich sie kenne, also dass S⊆A ist.

Das hast du leider falsch verstanden. Tippfehler?


curious_mind
Aktiv
Dabei seit: 10.11.2012
Mitteilungen: 383
Herkunft:
 Themenstart: 2019-04-30 21:37    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Leute,

hier ein Ausschnitt aus dem Skript, wo ich nicht sicher bin, ob ich das verstehe:



Es geht um die Definition des Urbilds einer Funktion f. Hier wird die Menge S nicht definiert, sie muss also theoretisch gar nicht Teilmenge von B sein.

Das verunsichert mich, weil dann doch $f^{-1}(\{s\})$ für alle $s \in S\setminus B$ gar nicht definiert ist - oder zumindest dachte ich das bisher.

Frage: Ist es also völlig in Ordnung, wenn S mehr Elemente hat als A auch $f^{-1}(S)$ zu bilden?

In Wiki ist nämlich die Definition so wie ich sie kenne, also dass $S\subseteq B$ ist.


 
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