Antworte auf:  Integral von Funktionenfolge von Luki5811
Forum:  Konvergenz, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 935
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-20 17:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Ja, diese Folge ist nur punktweise konvergent. Bei diesem speziellen Beispiel vertauschen Integration und Grenzwert trotzdem (es kommt in beiden Fällen 0 raus). Du musst dir eine andere Folge ausdenken. Versuche am besten eine Folge zu finden, die gegen 0 konvergiert, aber deren Integral nicht gegen 0 konvergiert.

(Kampfpudel hat schon eine solche Funktionenfolge angegeben, aber ich empfehle dir, selber eine zu suchen, bevor du dir sein Beispiel im Detail anschaust)


Luki5811
Aktiv
Dabei seit: 13.10.2017
Mitteilungen: 49
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-20 16:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Eine punktweise konvergente Funktionenfolge auf [0,1] wäre doch zum Beispiel f: x -> x^n , oder?
Diese würde sich dann f = 1 wenn c=1 und sonst f=0 annähern


Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1712
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-20 14:48    [Diesen Beitrag zitieren]

Schau dir etwa \(f_n(x)= n \cdot \chi_{[0,\frac{1}{n}]}(x)\) an, wobei \(\chi\) die charakteristische Funktion ist.


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 935
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-20 13:33    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Hallo Luki5811,

Wenn $f_n$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert, dann vertauschen Integral und Grenzwert. Wenn die Konvergenz nur punktweise ist, dann nicht zwingend. Du wirst also eine punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergente Funktionenfolge benötigen.
\(\endgroup\)

Luki5811
Aktiv
Dabei seit: 13.10.2017
Mitteilungen: 49
Herkunft:
 Themenstart: 2019-05-20 13:16    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo!

Ich suche eine Funktionenfolge von [0,1] nach R von der das Integral existiert, aber bei der gilt :
Limes n gegen unendlich vom Integral von fn ist Ungleich Integral von f

Wann genau spielt hier das Vertauschen von limes und Integral eine Rolle?


Danke schonmal
Mfg


 
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