Die Mathe-Redaktion - 16.10.2019 19:41 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 623 Gäste und 20 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 

Antworte auf:  Produktionsketten von shin
Forum:  Matrizenrechnung, moderiert von: Fabi Dune ligning

[Zur Forum-Gliederung] [Wie man Fragen beantwortet]

  Alle registrierten Mitglieder können Mitteilungen schreiben.
Benutzername:
Passwort:
Nachricht-Icon:                     
                    
                  
Nachricht:


 

Erledigt J


Eingabehilfen (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-Bereich] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-Bereich][show-Bereich] [Quelltext [num.]][?]
 Zeige Vorschau      Schreibe im fedgeoFormeleditor oder mit Latex.

Wähle Smilies für Deine Nachricht: :-) :-( :-D ;-) :-0 8-) :-? :-P :-|
Optionen: Deaktiviere HTML in dieser Nachricht
Deaktiviere MATHML in dieser Nachricht. Wenn Dein Text $-Zeichen enthält, die nicht LaTeX-Formeln begrenzen.
Deaktiviere Smilies in dieser Nachricht
Zeige die Signatur (Kann in 'Mein Profil' editiert werden.)
    [Abbrechen]
 
Beachte bitte die [Forumregeln]


Themenübersicht
StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5167
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.11, eingetragen 2019-05-28 23:45    [Diesen Beitrag zitieren]

Nachdenken ist immer gut  smile

2019-05-28 09:22 - shin in Beitrag No. 10 schreibt:
Jetzt habe ich abschließend aber noch eine blöde Frage:

Wie kommt man denn darauf?
Na ja, eigentlich ist das Gleichungssystem (B), (C), (D), (E) aus Beitrag #7 nichts anderes als die Matrizengleichung \(Mx=0\). Nimm etwa

(vierte Zeile von M)*x = 0 für x = (a, b, c, d, e).

Dann steht da
(ae, be, ce, de, -pe)*(a, b, c, d, e) = ae*a + be*b + ce*c + de*d - pe*e = 0.

Oder äquivalent:
ae*a + be*b + ce*c + de*d = pe*e

In deinem Ausgangsbeispiel ist ae = 0, be = 8, ce = 0, de = 8, pe = 36. Die Gleichung lautet also
8*b + 8*d = 36*e

Dies ist Gleichung (E) aus #7.



shin
Junior
Dabei seit: 25.05.2019
Mitteilungen: 6
Herkunft:
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-05-28 09:22    [Diesen Beitrag zitieren]

Vielen Dank!

Das entspricht glaube ich ganz gut dem, was ich gesucht habe :)

Jetzt habe ich abschließend aber noch eine blöde Frage:

Wie kommt man denn darauf? Das ist viel viel einfacher als meine Lösung. Die funktioniert zwar auch, ist aber vergleichsweise kompliziert. Ich bin da durch Nachdenken draufgekommen (was ich mal als Erfolg verbuche), aber irgendwie komme ich nur auf "durch die Brust ins Auge"-Lösungen :D


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5167
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.9, eingetragen 2019-05-27 20:19    [Diesen Beitrag zitieren]

Um ein lineares Gl.system wirst du wohl nicht herumkommen. Und das ist ja auch nichts weiter als eine Matrizengleichung. Schematisch kannst du wie folgt vorgehen:
Voraussetzung
  Bedarfe      Produktion
   B  C  D  E  
A ab ac ad ae   pa
B    bc bd be   pb
C cb    cd ce   pc
D db dc    de   pd
E eb ec ed      pe

Hierbei bezeichnet xy die Anzahl der Y-Produkte, die X in einer Zeiteinheit benötigt und px die Anzahl der Produkte, die X in einer Zeiteinheit (in deinem Beispiel 360 Tage) herstellen kann, sofern genug Rohstoffe vorhanden sind. (Siehe Beitrag #1 für dein gegebenes Beispiel. Ersetze dort die Leerstellen durch Nullen.) Es wird hier angenommen, dass A-Produkte nicht weiterverarbeitet werden.

Dies führt auf die Matrix M (4 Zeilen, 5 Spalten):
ab -pb  cb  db  eb
ac  bc -pc  dc  ec
ad  bd  cd -pd  ed
ae  be  ce  de -pe

Jetzt löst du das homogene Gl.system Mx = 0 und erhältst, sofern die Matrix M den Rang 4 hat, einen Lösungsvektor x' = (a',b',c',d',e') mit rationalen Einträgen, der nicht der Nullvektor ist. Multiplikation mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner und Division durch den ggT der Zähler der a',b',c',d',e' liefert dann eine Lösung x = (a,b,c,d,e) von Mx = 0 mit ganzzahligen Koordinaten. Dies entspricht den gesuchten Anzahlen der Fabriken.

Hoffe, das ist das, was du suchst smile


shin
Junior
Dabei seit: 25.05.2019
Mitteilungen: 6
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-05-27 10:26    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke für die ausführliche Berechnung, allerdings war mir das klar. Ich meinte etwas anderes:

Bei meinem Vorgehen, ebenso wie bei deinem, müssen Gleichungen aufgestellt werden, um die jeweilige Anzahl an Fabriken zu bestimmen. Dein Weg ist dabei einfacher, da er die zeitlichen Unterschiede eliminiert. Daher ist er meinem vorzuziehen (beide Wege liefern identische Ergebnisse).

Ich hatte die Hoffnung, dass es eine einfache Matrizen-Gleichung gibt, bei der ich nur die Parameter der einzelnen Fabriken eintrage und dann als Ergebnis einen Vektor erhalte, der mir die jeweilige Anzahl an Fabriken liefert. Dabei geht es explizit darum, NICHT die einzelnen Gleichungen aufstellen zu müssen. Habe ich die Gleichungen, dann ist es ja nur noch das lösen eines Linearen Gleichungssystems (was ja mit einer Matrix-Gleichung \(A\vec{x}=\vec{b}\) geht.)

Verstehst du was ich meine?


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5167
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-05-26 22:55    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo shin,

ehrlich gesagt habe ich deine Argumentation nicht genau verstanden. Aber so kompliziert ist das alles nicht.

Seien also a,...,e die Anzahlen der A,...,E-Fabriken. Gewünscht ist, dass keine der Fabriken Überproduktion hat, noch dass ein Mangel der Produkte besteht. Wir hatten ja bereits, dass dann gelten muss
(C) \(3c=4a\)
(B) \(8b=9c+24a\)

Weiter gilt dann entsprechend
(D) \(16d=16b\iff d=b\)
(E) \(36e=8b+8d\iff 9e=2b+2d\)

Wegen (D) und (E) gilt
(E') \(9e=4b\)

Wegen (C) muss es ein \(k\) geben mit \(a=3k,c=4k\). Aus (B) folgt dann
(B') \(8b=36k+72k=108k\iff 2b=27k\).

Aus (B') folgt, dass es ein \(\ell\) gibt mit \(b=27\ell,k=2\ell\) und somit
(D') \(d=27\ell\)
(E'') \(9e=108\ell\iff e=12\ell\)

Außerdem
\(a=3k=6\ell\)
\(c=4k=8\ell\)

Zusammenfassend:
\(a=6\ell,b=27\ell,c=8\ell,d=27\ell,e=12\ell\).
(Man vergewissere sich noch einmal, dass damit die Gleichungen (B), (C), (D) und (E) erfüllt sind.)

Und für \(\ell=1\) schließlich
\(a=6,b=27,c=8,d=27,e=12\).


shin
Junior
Dabei seit: 25.05.2019
Mitteilungen: 6
Herkunft:
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-05-26 16:02    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke!

Durch das Aufstellen der einzelnen Gleichungen ist es aber ähnlich aufwendig wie mein Ansatz. Allerdings tritt doch eine gewisse Vereinfachung auf, dadurch, dass du die Zeiten zunächst vereinheitlichst. Darauf hätte ich auch kommen können :D, danke!

Es gibt aber dann keine "simple" Matrix-Gleichung, die mir das Aufstellen der einzelnen Gleichungen abnimmt, oder?


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5167
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-25 21:14    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-05-25 19:56 - shin in Beitrag No. 4 schreibt:
Da habe ich nun zwei Fragen:

1. Was war denn dein Gedankengang bezüglich der Tabelle?

1.1 Woher weiß man denn, dass bei einer A Fabrik ein Überschuß/Mangel an C entsteht?

2. Wie rechnet man damit nun die Anzahl der Fabriken aus? Wenn ich das richtig verstehe, dann bezieht sich das nur auf jeweils eine Fabrik, oder?

1. Die Tabelle enthält nicht mehr Information als dein Graph, ist vielleicht auch weniger intuitiv. Ich war nur zu bequem, ein Bild zu malen  wink

1.1 Das weiß man nur, wenn es nur eine einzige A-Fabrik gibt. Wenn A in 30 Tagen 2 C-Produkte benötigt, sind es in 360 Tagen 24 C-Produkte. Aber eine C-Fabrik produziert in 360 Tagen bei voller Auslastung 18 Produkte. Eine C-Fabrik ist also zu wenig und zwei sind zu viel.

2. Die Tabelle bezieht sich auf jeweils eine Fabrik. Damit es etwa bei C-Produkten keinen Überschuss und keinen Mangel gibt, müsste für die Anzahl a der A-Fabriken und die Anzahl c der C-Fabriken gelten: \(18c=24a\), also \(3c=4a\) Solche Gleichungen kannst du dann auch für die Anzahlen b, d, e der B-, D- bzw. E-Fabriken aufstellen. Z. B. muss gelten: \(8b=9c+24a\), damit der Bedarf an B-Produkten gedeckt wird und kein Überschusss produziert wird. Du erhältst so ein Gleichungssytsem mit den Variablen a,...,e, für das ganzzahlige Lösungen gesucht sind.


shin
Junior
Dabei seit: 25.05.2019
Mitteilungen: 6
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-25 19:56    [Diesen Beitrag zitieren]

Da habe ich nun zwei Fragen:

1. Was war denn dein Gedankengang bezüglich der Tabelle?

1.1 Woher weiß man denn, dass bei einer A Fabrik ein Überschuß/Mangel an C entsteht?

2. Wie rechnet man damit nun die Anzahl der Fabriken aus? Wenn ich das richtig verstehe, dann bezieht sich das nur auf jeweils eine Fabrik, oder?


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5167
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-25 18:46    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-05-25 18:35 - shin in Beitrag No. 2 schreibt:
Deine Tabelle muss ich mir jetzt mal noch angucken.

Die erste Zeile ist wie folgt zu lesen:
In 360 Tagen produziert eine A-Fabrik 12 Produkte und benötigt dafür je 24 B- und C-Produkte.


shin
Junior
Dabei seit: 25.05.2019
Mitteilungen: 6
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-25 18:35    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke für deine Antwort :)

Nein E braucht nichts, ist sozusagen ein Rohstoff-Produzent. Die Anzahl der A-Fabriken ist nicht auf 1 limitiert. Sie steigt automatisch an, wenn man die Brüche auf natürliche Zahlen umstellt. Deine Tabelle muss ich mir jetzt mal noch angucken.


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5167
Herkunft: Milchstraße
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-25 17:53    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo shin,

willkommen auf dem Matheplaneten!

Ich würde das ganze erst einmal normieren. Was passiert in n Tagen, wobei n = kgV(30, 40, 45, 10) = 360? Dann sieht es wie folgt aus.
Bedarfe in 360 Tagen:
    B  C  D  E Produktion
A  24 24          12
B        16  8     8
C   9             18
D            8    16
E                 36
Rückfrage:
- Fabrik E benötigt zur Produktion keine Rohstoffe oder Zwischenprodukte?
- Soll es genau eine Fabrik vom Typ A geben? Falls ja, dann gibt es entweder einen Mangel an C-Produkten (falls es nur eine C-Fabrik gibt) oder einen Überschuss (falls es mindestens zwei C-Fabriken gibt).


shin
Junior
Dabei seit: 25.05.2019
Mitteilungen: 6
Herkunft:
 Themenstart: 2019-05-25 17:08    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo!

Sicher kennt der ein oder andere PC-Spiele die sich mit Wirtschaftssimulation beschäftigen (Anno z.B.). Da ich solche Spiele auch gerne mal spiele und es mich reizt die Produktionsketten so effizient wie möglich zu erstellen, dachte ich mir, dass sich das doch sehr gut eignet um etwas mathematisch dazuzulernen. Spielerisch lernen sozusagen :)

Es geht um folgende Produktionskette:



Das Diagramm liest sich dabei so:

Fabrik A stellt in 30 Tagen ein Produkt \(P_A\) her und verbraucht dabei (in diesen 30 Tagen) 2 \(P_B\) und 2 \(P_C\). D.h. die Zahl in der Klammer gibt den jeweiligen Output an und die blauen Pfeile den Verbrauch der Fabrik. Ziel ist es nun die Anzahl der einzelnen Fabriken auszurechnen, so dass weder eine Überproduktion oder ein Mangel der Zwischenprodukte und Rohstoffe (Fabrik B-E) für die Produktion in A entsteht. Ausgerechnet habe ich das bisher wie folgt (an den Beispielen A, B und C):

fed-Code einblenden

Für D und E entsprechend. Abschließend muss man die einzelnen Brüche auf natürliche Zahlen bringen. Dieses Vorgehen funktioniert, ist allerdings für komplexe Produktionsketten recht aufwendig.

Jetzt weiß ich, dass es für die Berechnung von Produktionsprozessen verschiedene Modelle der linearen Algebra gibt, Leontief-Modell, Prozessmatrizen, etc. Leider scheinen diese nur die Produktionsmengen und nicht die Anzahl der Fabriken zu berechnen und außerdem spielt dort nie die Produktionsdauer eine Rolle.

Ich bin also auf der Suche nach einer Möglichkeit, die obige Berechnung relativ kompakt (elegant?) mit Matrizen durchführen zu können. Meine eigenen Versuche sind daran gescheitert, dass die einzelnen Schichten eine Auswirkung auf die darunterliegenden haben (z.B. geht \(x_C\) in die Berechnung von \(x_B\) ein). Meine Recherche im Netz blieb leider ebenfalls erfolglos, wahrscheinlich hauptsächlich, weil ich nicht weiß nach welchen Stichworten ich suchen muss :)

Wie würde man mein Anliegen denn umsetzen und ist das mit der Verflechtung der einzelnen Schichten mit Matrizen überhaupt möglich?

Vielen Dank!
shin



 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]