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Antworte auf:  Einseitige Einheiten in Ringen von PhilipKempe
Forum:  Ringe, moderiert von: Buri Gockel

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Themenübersicht
PhilipKempe
Aktiv
Dabei seit: 01.07.2018
Mitteilungen: 60
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-06-20 09:19    [Diesen Beitrag zitieren]

Tut mir Leid für die späte Rückmeldung. Musste mich noch um ein anderes Übungsblatt kümmern.

Ich bedanke mich herzlich für deine Mühe und Geduld. Deine Antwort hat mir sehr geholfen.



Schönen Tag noch,

Phillip


ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2758
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-06-13 20:20    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

der eigentliche Grund dafür ist, dass Summen von vornherein nur endlich sein können. Wenn $G$ eine abelsche Gruppe (einschließlich Ringe, Körper, Vektorräume etc.) ist, kann man mit $a,b\in G$ die Summe $a+b\in G$ bilden. Per Induktion folgt daraus, dass man das beliebig oft machen kann: $(\cdots((a_1 + a_2) + a_3) + \cdots + a_n)$, wegen der Assoziativität kann man die Klammern weglassen: $a_1 + a_2 + \ldots + a_n$, und wegen der Kommutativität kann man die Summe in jeder beliebigen Reihenfolge bilden.

[Das bedeutet eigentlich, dass unendliche Summen immer undefiniert sind. Man müsste, wenn man abzählbar viele $a_i$ hat, von denen nur endlich viele ungleich Null sind, korrekterweise die Summe auf eine endliche Teilmenge der Indizes, so dass alle Nichtnullsummanden eingeschlossen sind, einschränken, z.B. $\sum_{i : a_i\neq 0} a_i$, aber das macht fast niemand, weil jeder weiß, was gemeint ist.]

Reihen sind keine Summen, sondern erstmal nur formale Objekte, denen man einen Reihenwert zuordnen kann, indem man die Folge der (jeweils endlichen!) Partialsummen betrachtet. Man braucht, um über Konvergenz reden zu können, auch noch andere Eigenschaften, die eine allgemeine abelsche Gruppe nicht mitbringt: Beträge, Ungleichungen, Vollständigkeit. Man muss sich über absolute Konvergenz Gedanken machen. Und so weiter. Übrigens geht eine divergente Reihe nicht notwendig ins Unendliche, sie kann auch einfach wild hin- und herspringen, ohne zu konvergieren, z.B. $\sum_{i=0}^\infty (-1)^i$.


PhilipKempe
Aktiv
Dabei seit: 01.07.2018
Mitteilungen: 60
Herkunft:
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-06-13 19:37    [Diesen Beitrag zitieren]

non

Ja, deshalb machen sie die Einschränkung, dass $R$ eben nur diejenigen unendlichen Matrizen enthalten darf, die in jeder Zeile und Spalte höchstens endlich viele Nichtnulleinträge haben. Der Grund ist, dass man diese Matrizen multiplizieren können möchte, und dazu Summen $\sum_{k=1}^\infty a_{ik} b_{kj}$ -- mit jeweils nur endlich vielen (Nichtnull-)Summanden -- bilden muss.


Okay, danke für die Erklärung. Ich versuche es mal in eigenen Worten zu fassen, um zu sehen, och ich das richtig verstanden habe.


Diese Matrizen der Größe "abzählbar $\times$ abzählbar" müssen in jeder Spalte und Zeile höchstens endlich viele Nicht- Nullen haben.

Grund
______

Man möchte die Matrizen miteinander multiplizieren können. Bei Matrizen dieser Größe muss man dazu die Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_{ik} b_{kj}$ bilden.

Nun kann es sein, dass wenn zwei Matrizen unendlich viele Nicht-Nullen haben, dass die Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_{ik} b_{kj}$ divergiert, also ins Unendliche wächst.

Dann hätte unsere neue Matrix den Eintrag "unendlich". Aber da "unendlich" keine Zahl ist (insbesondere keine reelle Zahl), ist die Multiplikation mit solchen Matrizen sinnlos.


Ich bitte um Entschuldigung,dass ich mich nicht mathematisch korrekt ausgedrückt habe. Wäre das grob die Begründung oder wie könnte man das am besten begründen?



Der Rest ist sonst, denke ich, klar.


mfg, Phillip



Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 622
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-12 19:27    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}\)
Nein, $v_i$ sind keine Vektoren. $v=(v_1,v_2,\dots)$ ist ein Vektor, und $v_i$ sind seine Komponenten. Die Matrizen $A$ und $B$ wirken dann in gewohnter Weise auf diesen Vektor.
\(\endgroup\)

ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2758
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-12 14:23    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-06-12 13:42 - PhilipKempe in Beitrag No. 3 schreibt:
" $R$ bestehe aus allen Matrizen der Größe „abzählbar-mal-abzählbar“ mit Komponenten in den reellen Zahlen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte nur endlich viele Nicht-Nullen stehen (insgesamt dürfen dabei unendlich viele Nicht-Nullen enthalten sein). "


Das verstehe ich nicht... Wenn wir von einer Matrix der Größe „abzählbar-mal-abzählbar“ reden, dann ist jede Zeile und jede Spalte unendlich. Also kann auch jede Spalte und jede Zeile unendlich viele Nicht - Nullen haben.
Ja, deshalb machen sie die Einschränkung, dass $R$ eben nur diejenigen unendlichen Matrizen enthalten darf, die in jeder Zeile und Spalte höchstens endlich viele Nichtnulleinträge haben. Der Grund ist, dass man diese Matrizen multiplizieren können möchte, und dazu Summen $\sum_{k=1}^\infty a_{ik} b_{kj}$ -- mit jeweils nur endlich vielen (Nichtnull-)Summanden -- bilden muss.


PhilipKempe
Aktiv
Dabei seit: 01.07.2018
Mitteilungen: 60
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-12 13:42    [Diesen Beitrag zitieren]

Okay... Ich bedanke mich für eure Hilfe. Das ist für mich noch etwas komisch, weil man ja mit der Unendlichkeit spielt.



unendlich viele Einträge» vs. «letzter Eintrag» -- merkst du selber, oder?



Ja, jetzt merke ich es. Aber das ist für mich noch nicht richtig greifbar, weil das für mich eine Art "unvollständige" Matrix ist.

Aber ich muss mich daran gewöhnen.




2019-06-12 12:54 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo PhilipKempe,

der Witz an der "unendlichen" Matrix ist eben, dass es kein "letztes" Diagonalelement gibt, es sind also alle Diagonalelemente 1. Vielleicht ist es besser die Matrizen als lineare Abbildungen zu betrachten, zum Beispiel auf $\R^\N$, dem Raum der reellen Folgen. Dieser enthält Vektoren mit unendlich vielen Einträgen: Jeder Vektor ist eine Folge, ihre Folgenglieder sind die Vektorkomponenten. Zum Beispiel identifiziert man die Folge $(a_n)_n,~a_n=\frac{1}{n}$ mit dem Vektor $(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots)$.
Jetzt sind die beiden gegebenen Matrizen wie folgt als lineare Abbildung zu interpretieren: Wendet man $A$ auf $(v_1,v_2,v_3,\dots)$ an, so erhält man $(v_2,v_3,v_4,\dots)$. Wendet man hingegen $B$ auf $(v_1,v_2,v_3,\dots)$ an, so erhält man $(0,v_1,v_2,\dots)$.
Jetzt ist klar: Wendet man erst $B$ an, und dann $A$, so hängt man zuerst eine 0 an den Anfang und entfernt sie wieder. Man erhält also die ursprüngliche Folge zurück, also ist $AB$ die Identitätsabbildung (mit der darstellenden Matrix $E$). Wendet man aber zuerst $A$ an und dann $B$, so entfernt man $v_1$ und hängt anschließend eine 0 an. Man erhält also statt der ursprünglichen Folge $(0,v_2,v_3,\dots)$, also ist $BA$ nicht die Identitätsabbildung.
Also ist $AB=E$, aber $BA\neq E$.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Ja, das macht Sinn. Kann ich nachvollziehen smile Dankeschön!

Hier sollen die Vektoren $v_{i}$ mit $i \in \mathbb{N}$ für die Zeilen der Matrix stehen, oder?

Trotzdem frage ich mich noch, ob es doch kein Beispiel für einseitige Einheiten gibt, in dem man mit endlichen Elementen rumspielt  wink  

Oder gibt es in der Mathematik für manche Themen nur Beispiele, in denen man mit der Unendlichkeit argumentieren muss?





EDIT:

Auf Wikipedia im Beispiel steht noch folgendes:

" $R$ bestehe aus allen Matrizen der Größe „abzählbar-mal-abzählbar“ mit Komponenten in den reellen Zahlen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte nur endlich viele Nicht-Nullen stehen (insgesamt dürfen dabei unendlich viele Nicht-Nullen enthalten sein). "


Das verstehe ich nicht... Wenn wir von einer Matrix der Größe „abzählbar-mal-abzählbar“ reden, dann ist jede Zeile und jede Spalte unendlich. Also kann auch jede Spalte und jede Zeile unendlich viele Nicht - Nullen haben.

Oder wo liegt der Haken?

lg, phillip


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 622
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-12 12:54    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}\)
Hallo PhilipKempe,

der Witz an der "unendlichen" Matrix ist eben, dass es kein "letztes" Diagonalelement gibt, es sind also alle Diagonalelemente 1. Vielleicht ist es besser die Matrizen als lineare Abbildungen zu betrachten, zum Beispiel auf $\R^\N$, dem Raum der reellen Folgen. Dieser enthält Vektoren mit unendlich vielen Einträgen: Jeder Vektor ist eine Folge, ihre Folgenglieder sind die Vektorkomponenten. Zum Beispiel identifiziert man die Folge $(a_n)_n,~a_n=\frac{1}{n}$ mit dem Vektor $(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots)$.
Jetzt sind die beiden gegebenen Matrizen wie folgt als lineare Abbildung zu interpretieren: Wendet man $A$ auf $(v_1,v_2,v_3,\dots)$ an, so erhält man $(v_2,v_3,v_4,\dots)$. Wendet man hingegen $B$ auf $(v_1,v_2,v_3,\dots)$ an, so erhält man $(0,v_1,v_2,\dots)$.
Jetzt ist klar: Wendet man erst $B$ an, und dann $A$, so hängt man zuerst eine 0 an den Anfang und entfernt sie wieder. Man erhält also die ursprüngliche Folge zurück, also ist $AB$ die Identitätsabbildung (mit der darstellenden Matrix $E$). Wendet man aber zuerst $A$ an und dann $B$, so entfernt man $v_1$ und hängt anschließend eine 0 an. Man erhält also statt der ursprünglichen Folge $(0,v_2,v_3,\dots)$, also ist $BA$ nicht die Identitätsabbildung.
Also ist $AB=E$, aber $BA\neq E$.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)

ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2758
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-12 12:42    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-06-12 12:38 - PhilipKempe im Themenstart schreibt:
Muss die Matrix $A$ unendlich sein? Oder kann ich auch beispielsweise eine $4 \times 4$ - Matrix nehmen, die die selbe Konstruktion hat?
Ja, sonst würde man da sicher nicht aus Spaß von einer "abzählbar×abzählbar"-Matrix reden. Auch sollte aus der linearen Algebra bekannt sein, dass bei (endlich-großen) quadratischen Matrizen eine einseitige Inverse immer auch beidseitig ist.


Ich komme nicht auf die Einheitsmatrix. Und wenn ich die selbe Matrix nehme, nur mit unendlich vielen Einträge, dann werde ich sicher nicht die Einheitsmatrix herausbekommen, weil der letzte Eintrag der Ergebnismatrix eine Null und keine Eins sein wird.
«unendlich viele Einträge» vs. «letzter Eintrag» -- merkst du selber, oder?



[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Ringe' von ligning]


PhilipKempe
Aktiv
Dabei seit: 01.07.2018
Mitteilungen: 60
Herkunft:
 Themenstart: 2019-06-12 12:38    [Diesen Beitrag zitieren]

Guten Morgen, liebe Community :-D


Vor einigen Tagen habe ich eine Frage gestellt, in der es auch um Einheiten in Ringen ging. Da gab es auch wirklich nette Leute,  die mir geholfen haben.

Dann habe ich ein Beispiel zur Rechts-und Linkseinheit in nicht-kommutativen unitären Ringen auf Wikipedia gefunden, den ich nicht ganz verstehe.

Diese Frage habe ich im letzten Post noch gestellt, aber leider meldet sich da keiner mehr. Mich interessiert das Beispiel aber brennend.


Das Beispiel ging so:






Meine erste Frage hier wäre:

Muss die Matrix $A$ unendlich sein? Oder kann ich auch beispielsweise eine $4 \times 4$ - Matrix nehmen, die die selbe Konstruktion hat?

Wenn ich das aber mache, dann habe ich:



$A = \left( \begin{array}{rrrr}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right)$ und $B := A^{T} = \left( \begin{array}{rrrr}
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{array}\right)$


$A \cdot B = \left( \begin{array}{rrrr}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{rrrr}
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{array}\right) = \left( \begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right) \neq \left( \begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right) = E$

Ich komme nicht auf die Einheitsmatrix. Und wenn ich die selbe Matrix nehme, nur mit unendlich vielen Einträge, dann werde ich sicher nicht die Einheitsmatrix herausbekommen, weil der letzte Eintrag der Ergebnismatrix eine Null und keine Eins sein wird.

Ich verstehe nicht, warum das trotzdem behauptet wird.

Kann mir da jemand vielleicht helfen?



Das ist nämlich das einzige Bespiel zu Rechts-und Linkseinheiten, das ich gefunden habe.

Mfg, Philip


 
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