Die Mathe-Redaktion - 22.11.2019 15:48 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 697 Gäste und 22 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 

Antworte auf:  Beispiele für spezielle Ringe gesucht von Moritz21
Forum:  Ringe, moderiert von: Buri Gockel

[Zur Forum-Gliederung] [Wie man Fragen beantwortet]

  Alle registrierten Mitglieder können Mitteilungen schreiben.
Benutzername:
Passwort:
Nachricht-Icon:                     
                    
                  
Nachricht:


 

Erledigt J


Eingabehilfen (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-Bereich] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-Bereich][show-Bereich] [Quelltext [num.]][?]
 Zeige Vorschau      Schreibe im fedgeoFormeleditor oder mit Latex.

Wähle Smilies für Deine Nachricht: :-) :-( :-D ;-) :-0 8-) :-? :-P :-|
Optionen: Deaktiviere HTML in dieser Nachricht
Deaktiviere MATHML in dieser Nachricht. Wenn Dein Text $-Zeichen enthält, die nicht LaTeX-Formeln begrenzen.
Deaktiviere Smilies in dieser Nachricht
Zeige die Signatur (Kann in 'Mein Profil' editiert werden.)
    [Abbrechen]
 
Beachte bitte die [Forumregeln]


Themenübersicht
Dune
Senior
Dabei seit: 30.03.2009
Mitteilungen: 3050
Herkunft: Rostock
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-06-13 15:55    [Diesen Beitrag zitieren]

@TomTom:

Du meinst vermutlich Folgendes: Sei $A$ eine $R$-Algebra ($R$ kommutativ) und $M$ ein $A$-Modul. Dann gibt es einen kanonischen Homomorphismus $A \to \mathrm{End}_R(M)$ von $R$-Algebren.

Umgekehrt macht jeder $R$-Homomorphismus $A \to \mathrm{End}_R(M)$ einen $R$-Modul $M$ zu einem $A$-Modul.

VG Dune


Ex_Senior
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-13 13:19    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

ich meine es gibt einen Satz der in etwa wie folgt lautet: Sei $R$ ein nicht kommutativer Ring und $R$ ein endlich erzeugter $S$-Modul. Dann ist $R$ ein Quotient / Unterring von $M_n(S)$. Für $S=\IZ,\IQ,\mathbb{F}_p$ muß man dann nach weniger trivialen Beispielen suchen, wie z.B. das von DavidM aus #1.

Ich meine so etwas in der Darstellungstheorie gelesen zu haben - kann aber komplett falsch liegen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


xiao_shi_tou_
Senior
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1131
Herkunft: Bonn
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-13 13:15    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\( \)
Hi.
Ein wichtiges Beispiel für einen nicht kommutativen Ring mit $1$:

Sei $F$ ein Körper (oder Ring) der Charakteristik $p>0$, zum Beispiel $\F_p(t)$.
Sei $F\{\tau\}$ der Polynomring in $\tau$, wobei Multiplikation nicht wie üblich, sondern wie folgt definiert sei:
$\tau a=a^p\tau$.
Das heißt, man stellt sich die Variable wie eine Abbildung vor die $a$ auf $a^p$ schickt.
In der Tat kann man $\tau$ als den Frobenius Homomorphismus $F\to F,a\mapsto a^p$ auffassen.
Nun ist klar, dass $1\in F$ das Einselement ist und dass der Ring nicht kommutativ sein kann.

Falls es dich interessiert:
Als interessante Übung kannst du nun nachrechnen, dass dieser Ring isomorph ist zu dem Ring der additiven Polynome:
$F_{add}[T]\defeq \set{f(T)\in F[T]}{\exists g\in F[T]\colon f(T)=g(T^p)}$.
Die Multiplikation im ring der Additiven Polynome ist durch Verkettung von Polynomen gegeben und der Isomorphismus wird durch $\tau\mapsto T^p$ gegeben.

Bemerkung:
Ringe ohne $1$ werden oft nicht als Ringe bezeichnet und haben kaum eine Bedeutung. Nicht Kommutative Ringe gibt es hingegen schon mehr.
Beachte, dass die Theorie sich drastisch vereinfacht wenn man annimmt, dass ein Ring kommutativ und mit $1$ ist. Das sieht man schon an der Gestalt der Ideale in Ringen mit und ohne $1$.  
\(\endgroup\)

Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1630
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-13 12:50    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

ein einfaches Beispiel für 3) ist: $(2M_n(\IZ), +,\cdot)$. Dabei ist $M_n(\IZ)$ die Menge der $n\times n$-Matrizen mit ganzzahligen Einträgen.
\(\endgroup\)

Creasy
Senior
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 425
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-13 12:36    [Diesen Beitrag zitieren]

Hey,

bei 1) kann man auch Schiefkörper nehmen, z.B. die Quaternionen



DavidM
Senior
Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 259
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-13 11:44    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Moritz,

ein Beispiel für 2) ist der Ring aller stetigen Funktionen $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mit kompaktem Träger, das heißt $\{x \in \mathbb{R} | f(x) \neq 0 \}$ ist beschränkt. Addition und multplikation sind dabei punktweise definiert.

Viele Grüße,
David


Moritz21
Aktiv
Dabei seit: 30.06.2018
Mitteilungen: 64
Herkunft:
 Themenstart: 2019-06-13 10:32    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo biggrin

Ich schaue im Internet nach Beispiele für folgende Ringe:

1) Nicht-kommutativer Ring mit Eins (außer Matrizenring)

2) Kommutativer Ring ohne Eins (außer $(2 \mathbb{Z}, +, \cdot)$)

3) Nicht- kommutativer Ring ohne Eins


zur 1) und 2) habe ich Beispiele gefunden, aber ich frage mich, ob es vielleicht noch mehr gibt, weil ich überall nur diese gefunden habe (also Matrizenring und $(2 \mathbb{Z}, +, \cdot)$).


Zu 3) habe ich leider  noch nichts gefunden und selber kann ich mir kein Beispiel herleiten, weil jeder Ring, der mir einfällt, entweder das Einselement enthält oder kommutativ ist.


Kann mir da jemand helfen? Das wäre klasse!


mfg, Moritz


 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]