Antworte auf:  Vektorpotential bei gegebener Stromdichte berechnen von Physics1997
Forum:  Elektrodynamik, moderiert von: Ueli rlk

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Physics1997
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 Themenstart: 2019-06-13 13:34    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,
Ich rechne zurzeit zur Klausurvorbereitung ein paar Aufgaben in einem Buch (Nolting) zur Elektrodynamik. An der folgenden Aufgabe sitze ich nun schon eine Weile, da ich einige essenzielle Dinge nicht verstehe. Ich bin übrigens noch am Anfang der Klausurvorbereitung, weshalb einige Fragen möglicherweise trivial erscheinen.

Zur Aufgabe:
Berechnen Sie das Vektorpotential A(r) und die magnetische Induktion B(r) einer kreisförmigen Leiterschleife (Stromfaden). Die Stromdichte lautet in Zylinderkooridnaten ($ \rho, \phi$,z): j(r) = I $\delta(\rho - R) \delta (z) e_{\phi}$. Die Berechnung von A(r) führt auf ein elliptisches Integral, das nicht elementar gelöst werden kann. Schätzen Sie dieses für die Grenze $\rho << R$ Und $\rho >> R$ Mithilfe passender Taylorentwicklungen ab. Zeigen Sie, dass sich für $ \rho >> R$ Ein Dipolfeld ergibt. Geben Sie das entsprechende magnetische Dipolmoment an.

Zur Lösung:
1. Für den Einheitsvektor gilt: $e_{\phi}$=$(-sin \phi , cos \phi, 0)$. In der Lösung steht, dass es reicht, die y-Komponente des Vektorpotentials zu betrachten. An dieser Stelle verstehe ich nicht, warum das ausreichend ist.
Es wird deshalb $\phi$=0 gesetzt. Dann folgt:
$A_{y} = \frac{\mu_{0}}{2 \pi} \cdot \int d^{3}r‘ \frac{I \delta( \rho‘ - R) \delta (z‘) cos \phi‘}{|r-r‘|}$.
2. Es gilt in Zylinderkoordinaten für $\phi = 0$: r = $(\rho,0,z)$ und $r‘=(Rcos \phi‘, Rsin \phi‘, 0)$. Meine Frage hierzu ist: Warum ist z‘=0? Darf ich das willkürlich festlegen bzw. mein Koordinatensystem einfach so legen, dass es passt oder hat das einen speziellen nd, warum es Null sein muss?
3. Das Ganze wird dann in A eingesetzt und umgeformt. Dann wird die Abschätzung vorgenommen. In A haben wir einen Term $\frac{1}{\sqrt{R^2 + \rho^2 -2 \rho R cos \phi‘ +z^2}}$. Dieser wird dann erweitert mit $\frac{\sqrt{R^2+z^2}}{\sqrt{R^2+z^2}}$ und umgeformt, sodass gilt: $$ \frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}} \cdot \left(1+ \frac{\rho^2 -2 \rho R cos \phi‘}{R^2+z^2}\right)^{-1/2} $$. Dies wird dann abgeschätzt durch $\frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}} \cdot \left(1-\frac{\rho^2 - 2 \rho R cos \phi‘}{2(R^2+z^2)}\right)$. Und genau diese Abschätzung verstehe ich nicht. Wie ist sie zustande gekommen ?
Mein Ansatz wäre es an dieser Stelle gewesen, eine Taylorentwicklung durchzuführen (wie es auch in der Aufgabe steht), aber ich erhalte etwas anderes dafür.

Vielen Dank im Voraus! :)


 
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