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Antworte auf:  Gleichmäßige Konvergenz von dome1504
Forum:  Konvergenz, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11364
Herkunft: Bayern
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-06-29 20:48    [Diesen Beitrag zitieren]

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Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 644
Herkunft:
 Beitrag No.9, eingetragen 2019-06-29 18:54    [Diesen Beitrag zitieren]
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im entsprechenden Intervall

Das ist der Knackpunkt. Es existiert zwar ein Intervall, in dem $f(x_0)$ tatsächlich das Maximum/Minimum ist. Aber man hat keine Garantie, dass dieses Intervall $[0,\infty)$ ist. Du hast also gezeigt, dass es sich um ein Maximum/Minimum handelt. Die Frage ist: Ist es auch globales?
Dafür kannst du den Satz von Maximum und Minimum mit einem Widerspruchsbeweis benutzen. Du musst nur ein geeignetes kompaktes Intervall finden, auf den du ihn anwenden kannst:

Sei $x_0$ die bereits gefundene Extremalstelle. Angenommen, es gebe ein $x\in(x_0,\infty)$, sodass $y:=f(x)>f(x_0)$. Dann sei $x_1$ das kleinste Element von $(x_0,\infty)$, sodass $f(x_1)=y$. Dann betrachte das Intervall $I:=[x_0,x_1]$.
$x_0$ kann auf $I$ keine Minimalstelle sein, da $x_0$ ja schon ein lokales Maximum ist. $x_1$ kann ebenfalls keine Minimalstelle auf $I$ sein (warum, kannst du dir mit dem Zwischenwertsatz überlegen). Die Minimalstelle $x_2$ von $f$ auf $I$ muss also in $(x_0,x_1)$ liegen. Dann müsste dort aber $f'(x_2)=0$ werden. Du hast aber bereits alle Nullstellen von $f'$ gefunden, und in $(x_0,\infty)$ liegen keine davon. Ein Widerspruch. Also nimmt $f$ auf $(x_0,\infty)$ keinen größeren Wert als $f(x_0)$ an.

Dann musst du noch argumentieren, wieso auch auf $[0,x_0)$ ebenfalls kein größerer Wert angenommen werden kann.
\(\endgroup\)

dome1504
Aktiv
Dabei seit: 25.12.2018
Mitteilungen: 49
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-06-29 16:48    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

den Satz hatten wir unter einem anderen Namen. Allerdings gilt dieser doch nur für kompakte Intervalle, oder? Mithilfe der Taylorentwicklung bis zum 2 Glied kann doch jede zweimal stetig diffbare Funktion approximiert werden. Zwar geht das Restglied nicht gegen null aber das ist ja auch nicht wichtig. Ist die zweite Ableitung kleiner oder größer null, folgt f(x_0 + h)=f(x_0) + f'(x_0)h + f''(x_0 + v*h)*h^2 = f(x_0) + f''(x_0 + v*h)h^2, und da die zweite Ableitung entweder kleinergleich oder größergleich 0 und h^2 sowieso größer 0 ist, gilt entweder f(x_0+h)<=f(x_0) oder f(x_0+h)>=f(x_0) für alle x=x_0 + h im entsprechenden Intervall.

Liebe Grüße
Dome


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 644
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-06-29 12:09    [Diesen Beitrag zitieren]
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Und du bist dir sicher, dass ihr nicht den Satz vom Minimum und Maximum hattet? Eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge (oder einem Intervall der Form $[a,b]$) besitzt ein Minimum und ein Maximum. Das ist ja doch eher einer der grundlegenden Sätze der Analysis.
Aber was versuchst du denn, mit der Taylorentwicklung zu zeigen? Dass es sich wirklich um Extrema handelt? Denn darüber, ob ein Extremum global ist oder nicht, kann eine Taylorentwicklung keine Aussage liefern. Allein schon weil ihr Konvergenzradius endlich sein könnte. Speziell die hier betrachtete Funktion hat auch nur einen endlichen Konvergenzradius der Taylorreihe.
\(\endgroup\)

dome1504
Aktiv
Dabei seit: 25.12.2018
Mitteilungen: 49
Herkunft:
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-06-29 09:32    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

den Satz hatten wir leider nicht. Was wir gemacht haben, war die Funktion f(x) bis zum ersten Glied mit einer Taylorreihe zu approximieren, wobei das Glied mit Grad 2 dann das Restglied war. Wegen f'(x_0)=0 und dann entweder f''(x)>=0 oder <=0 konnte man so auch für alle x_0 + vh die Aussage treffen, so dass direkt entweder f(x)<=f(x_0) oder f(x)>=f(x_0) für alle x folgt. Bei uns sind die sehr penibel, was Beweise angeht. Da ist wirklich nur das erlaubt, was wir in der Vorlesung oder Globalübung hatten. Allerdings war die Aufgabe auch von einer Altklausur von 2015, und hat deshalb andere Anforderungen gestellt als wir sie besitzen.

Liebe Grüße
Dome


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 644
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-29 01:27    [Diesen Beitrag zitieren]
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Dass es sich um globale Minima/Maxima handelt, hängt nicht an der zweiten Ableitung. Die braucht man nur, um die Art der Extremstelle zu bestimmen. Dass die Maxima global sind kann man sich aus dem Satz von Minimum und Maximum ableiten. Ist $x_1$ eine Maximumstelle von $g$, und $g(x_2)>g(x_1)$, dann muss es im Intervall $(x_1,x_2)$ ein Minimum geben. Ist jetzt $x_1=\sqrt\frac{1}{n}$, dann kannst du dir damit überlegen, warum der betrachtete Ausdruck auf $[0,\infty)$ nicht größer als $g(\sqrt\frac{1}{n})$ wird - $g$ ist hier der betrachtete Ausdruck als Funktion. Und da $g$ immer positiv ist, gilt das auch für den Betrag von $f$.
\(\endgroup\)

dome1504
Aktiv
Dabei seit: 25.12.2018
Mitteilungen: 49
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-29 00:28    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

ja, das macht natürlich Sinn, dass automatisch aus der punktweisen Konvergenz von f_n gegen f auch die punktweise konvergenz von f_n - f gegen 0 für jedes x folgt, da habe ich wohl nicht richtig nachgedacht. Wenn ich ableite und gleich null setze erhalte ich x= +- sqrt(1/n). Da die Funktion punktsymmetrisch ist, reicht es also wegen des Betrags, sich nur [0,unendlich) anzuschauen, da ja ein Hoch/Tiefpunkt rechts, mit Betrag Hochpunkt, auch ein Tiefpunkt/Hochpunkt links, mit Betrag Hochpunkt, ist. Nach unserer Vorlesung müsste ich dann aber auch zeigen, dass die zweite Ableitung auf diesem Intervall <=0 bzw. >=0 ist, damit es sich auch tatsächlich um ein globales Maximum beziehungsweise Minimum handelt, oder geht das irgendwie schneller zu zeigen, dass bei sqrt(1/n) tatsächlich das globale Minimum und bei -sqrt(1/n) das globale Maximum, wie Desmos verrät, liegt? Ein anderes hinreichendes Kriterium hatten wir bisher nicht.

Liebe Grüße
Dome


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 644
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-29 00:12    [Diesen Beitrag zitieren]
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Dann hättest du eben nur gezeigt, dass $f_n$ punktweise gegen $f$ konvergiert. Für jedes $x$ ist $f_n(x)$ eine ganz normale Folge von Zahlen, die gegen die Zahl $f(x)$ konvergiert. Das ist aber äquivalent dazu, dass die Folge von Zahlen $f_n(x)-f(x)$ gegen 0 konvergiert. Wenn du also letzteres zeigst, dann hast du nur punktweise Konvergenz gezeigt, nicht gleichmäßige Konvergenz.

Ich persönlich finde ja auch die alternative Definition der glm. Konvergenz etwas intuitiver zu verstehen: $f_n$ konvergiert glm. gegen $f$, wenn die Folge $\sup_x\vert f_n(x)-f(x)\vert$ gegen 0 konvergiert. Die Konvergenz ist also gleichmäßig, wenn nicht nur an jeder einzelnen Stelle der Abstand zwischen $f_n$ und $f$ beliebig klein wird (gegen 0 konvergiert), sondern wenn sogar der "maximale" Abstand ebenfalls beliebig klein wird.
Mit der Definition ist vielleicht etwas offensichtlicher, dass es nicht reicht, wenn $\vert f_n(x)-f(x)\vert\to0$. Es muss $\sup_x\vert f_n(x)-f(x)\vert\to0$ gelten.
\(\endgroup\)

dome1504
Aktiv
Dabei seit: 25.12.2018
Mitteilungen: 49
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-29 00:01    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

danke für die Antwort. Das mit dem Ableiten werde ich mal versuchen. Ist es denn nicht möglich, dass ich f_n - f als neue Folge betrachten kann und dann zeige, dass diese in allen x punktweise konvergent ist, wobei die Grenzfunktion die Nullfunktion sein muss?

Liebe Grüße
Dome


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 644
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-28 23:50    [Diesen Beitrag zitieren]
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Hallo dome1504,

deine Argumentation am Schluss ist letztendlich nur eine Argumentation dafür, dass $\lvert\frac{1}{\frac{1}{x}+nx}\rvert$ punktweise gegen 0 konvergiert. Es soll aber gleichmäßig gegen 0 konvergieren ($f_n\to f$ gleichmäßig genau dann wenn $\vert f-f_n\vert\to0$ gleichmäßig). Dafür müsst ihr den Term durch eine von $x$ unabhängige Nullfolge nach oben abschätzen. Der verworfene Ansatz mit dem globalen Maximum ist dabei gar nicht schlecht. So schwierig ist die Ableitung ja nicht zu bestimmen, da es sich um eine gebrochenrationale Funktion handelt. Ich würde dafür aber den Ausdruck $\lvert\frac{x}{1+nx^2}\rvert$ verwenden, der ist leichter zu differenzieren.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)

dome1504
Aktiv
Dabei seit: 25.12.2018
Mitteilungen: 49
Herkunft:
 Themenstart: 2019-06-28 23:07    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

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Für die gleichmäßige Konvergenz muss ich ja zeigen, dass die Betragsdifferenz von f_n und der Grenzfunktion f(x) unabhängig von x gegen 0 geht. Das habe ich wie folgt gemacht:

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Meine Frage bezieht sich dann auf folgende Argumentation, die von einem Kommilitonen angezweifelt wurde. Genauer meinte er, dass das mit dem "x in R beliebig" nicht so gehen würde. Ich habe auch meinen Übungsleiter gefragt. Der sagte, dass er darüber nochmal nachdenken müsse. Wie gesagt ist ja das Ziel, dass der letzte Ausdruck unabhängig von x gegen null geht. Bisher haben wir das meistens so gemacht, dass wir eine von x unabhängige Nullfolge gefunden habe, was diesmal nicht ging (denke ich). Also:

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Ist diese Begründung richtig? Gibt es vielleicht einen einfacheren Weg, die Aufgabe zu lösen? Die Betragsnorm würde sich ja denke ich auch nicht anbieten, da man nur schwer das globale Maximum der f_n bestimmen kann.

Liebe Grüße
Dome





 
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