Antworte auf:  Maximum likelihood von X~Poi(lambda) von bambusbieber
Forum:  Stochastik und Statistik, moderiert von: Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel

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luis52
Senior
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Mitteilungen: 339
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 Beitrag No.8, eingetragen 2019-07-29 14:37    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-07-29 10:39 - bambusbieber in Beitrag No. 7 schreibt:
Welcher Ansatz eines Konsistensnachweis würdear du denn empfehlen?


Zeige, dass der mittlere quadratische Fehler des Schaetzers gegen Null konvergiert. Oder, aequivalent, dass der Bias und die Varianz gegen Null konvergieren. Ersteres ist klar, da du bereits erkannt hast, dass das arithmetische Mittel erwartungstreu ist.

vg Luis


bambusbieber
Aktiv
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Mitteilungen: 91
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 Beitrag No.7, eingetragen 2019-07-29 10:39    [Diesen Beitrag zitieren]

Welcher Ansatz eines Konsistensnachweis würdear du denn empfehlen?


luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 339
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 Beitrag No.6, eingetragen 2019-07-29 08:47    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-07-28 15:04 - bambusbieber in Beitrag No. 5 schreibt:
"Ein Schätzer ist konsistent, wenn er für immer größere Stichproben
immer genauer wird."

ist der Schätzer das arithetische Mittel (e.t.) dann näher sich für eine größer werdende Stichprobe das empirische Mittel dem Theoretischen an -> Wird genauer...
Naja, wenn das deinem Pruefer reicht ... *Mir* wuerde es nicht reichen.

vg Luis


bambusbieber
Aktiv
Dabei seit: 10.01.2019
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 Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-28 15:04    [Diesen Beitrag zitieren]

"Ein Schätzer ist konsistent, wenn er für immer größere Stichproben
immer genauer wird."

ist der Schätzer das arithetische Mittel (e.t.) dann näher sich für eine größer werdende Stichprobe das empirische Mittel dem Theoretischen an -> Wird genauer...


luis52
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Dabei seit: 24.12.2018
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 Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-27 16:20    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-07-27 16:11 - bambusbieber in Beitrag No. 3 schreibt:
2019-07-27 16:07 - luis52 in Beitrag No. 1 schreibt:
Moin, fuer $x_1=\cdots=x_n=0$ ist die Likehoodfunktion nicht differenzierbar in der Stelle des Maximums ...
vg Luis

Sprich wir finden eine schätzung die auch erwartunstreu ist aber nur solange \(x_n \neq 0\) ?

Nein, der Schaetzer ist in jedem Fall $\hat \lambda=\sum_{i=1}^nX_i/n$ und somit e.t. Wieso sollte der Schaetzer *trivialerweise* konsistent sein?

vg Luis


bambusbieber
Aktiv
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 Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-27 16:11    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-07-27 16:07 - luis52 in Beitrag No. 1 schreibt:
Moin, fuer $x_1=\cdots=x_n=0$ ist die Likehoodfunktion nicht differenzierbar in der Stelle des Maximums ...
vg Luis

Sprich wir finden eine schätzung die auch erwartunstreu ist aber nur solange \(x_n \neq 0\) ?


bambusbieber
Aktiv
Dabei seit: 10.01.2019
Mitteilungen: 91
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 Beitrag No.2, eingetragen 2019-07-27 16:09    [Diesen Beitrag zitieren]

b) \(E[\frac{1}{n}* \sum^n x_i] =  \hat\lambda\)
\(E[\frac{1}{n}]* E[\sum^n x_i] =  \hat\lambda\)
\(\frac{1}{n}* \mu * n =  \hat\lambda\))
\(\mu  =  \hat\lambda \)

ist erwartunstreu und damit trivialer weise auch konsistent

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 339
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-27 16:07    [Diesen Beitrag zitieren]

Moin, fuer $x_1=\cdots=x_n=0$ ist die Likehoodfunktion nicht differenzierbar in der Stelle des Maximums ...
vg Luis


bambusbieber
Aktiv
Dabei seit: 10.01.2019
Mitteilungen: 91
Herkunft:
 Themenstart: 2019-07-27 15:47    [Diesen Beitrag zitieren]



a)
Fall das \( \exists x_n \neq 0 \)
Für den Schätzwert bekomme ich \( \frac{1}{n} * \sum_{i=1}^n = \hat\lambda\)
was also dem Arithmetischem Mittel entspricht.

Fall aus Aufgabe \( x_n = 0~\forall~~n~\in~N \)
\( LH(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{\lambda^0}{0!}*e^{-\lambda} \)
\( LH(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{1}*e^{-\lambda} \)
\( log(LH(\lambda)) = log(\prod_{i=1}^n e^{-\lambda}) \)
\( log(LH(\lambda)) = \sum_{i=1}^n log(e^{-\lambda}) \)
\( log(LH(\lambda)) = \sum_{i=1}^n -\lambda \)
\( log(LH(\lambda))' = \sum_{i=1}^n -1 \)
\( log(LH(\lambda))' = -n \)

LGS lösen..
0 = -n

Was sagt mir das?



Um nachzuweisen dass mein \(\lambda\) tatsächlich ein maximum is würde ich es jetzt in die zweite ableitung einsetzen und hoffen das ein negativer wert heruskommt?
Einsetzen und quiotentenregel:
\(-1 * \frac{-\sum^n [x_i] + n}{\lambda^2}\) was  zwangsweise positiv ist..


 
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