Antworte auf:  Substitutionsregel verstehen von curious_mind
Forum:  Integration, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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curious_mind
Aktiv
Dabei seit: 10.11.2012
Mitteilungen: 371
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-30 20:15    [Diesen Beitrag zitieren]

$\int {u'(x)\cdot f(u) dx}$, ok, das merke ich mir.

Dank Dir, Diophant!


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4148
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-30 17:14    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

es gibt ja dieses nette Sprüchlein:

Differenzieren ist Handwerk, Integrieren ist Kunst.  😄

Das hat aber schon seinen Hintergrund: man kann ja noch nichteinmal allgemein davon ausgehen, dass man für eine Riemann-integrierbare Funktion überhaupt eine Stammfunktion in geschlossener Darstellung finden kann. Geschweige denn kann man hier irgendwelche Standardalgorithmen erwarten, die einen garantiert zum Erfolg führen (der eben nicht garantiert ist).

Allgemein kann man Integrale der Form \(\int {u'(x)\cdot f(u) dx}\) mittels Substitution knacken. Was aber wieder nicht bedeutet, dass es nicht auch noch andere Fälle gibt, in denen das funktioniert.

Bei solchen Integralen mit dem Logarithmus mit rationalem Argument kann man andererseits schon stets die partielle Integration im Hinterkopf haben, da der Logarithmus dann im Integral durch richtige Zuordnung von \(u'\) und \(v\) ja verschwindet.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

curious_mind
Aktiv
Dabei seit: 10.11.2012
Mitteilungen: 371
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-07-30 16:58    [Diesen Beitrag zitieren]

Hm, ich dachte, das geht immer?

Woran erkenne ich denn, dass es mal nicht geht?

Ich dachte nämlich, gerade bei so verketteten Funktionen wie dieser bietet sich Substitution besonders an.


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4148
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-30 16:44    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

du hast ja nicht komplett substituiert, da die Integrationsvariable \(t\) nach wie vor im Integral verbleibt. Bei deiner partiellen Integration ziehst du dann den Bruch \(1/2t\) als konstanten Faktor vor das Integral, das kann ja nicht gut gehen.  😄

Ich sehe keine Möglichkeit, wie man bei diesem Integral mittels Substitution weiterkommen könnte.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

curious_mind
Aktiv
Dabei seit: 10.11.2012
Mitteilungen: 371
Herkunft:
 Themenstart: 2019-07-30 16:37    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

es geht um folgende Aufgabe:

$F:\mathbb{R}\setminus\{0\}\longrightarrow \mathbb{R}, F(x):=\int\limits_{0}^{1} \ln \left(x^{2}+t^{2}\right) dt$.

Wir sollten die u.a. mittels Partieller Integration lösen. Das habe ich auch hinbekommen. (Man kommt dann auf: $F(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)-2+2 x \arctan \frac{1}{x}$)

Dann wollte ich die aber noch per Substitution lösen, weil ich das hier bei der Aufgabe irgendwie viel suggestiver fand (und das üben wollte), allerdings komme ich da auf etwas ganz anderes:

Ich setze $\varphi:(0,1)\longrightarrow \mathbb{R}, t\mapsto x^2+t^2$, dann ist $\varphi$ differenzierbar mit $\frac{\delta}{\delta t}(x^2+t^2)= 2t$.
Außerdem rechne ich $\varphi'(t)dt=du \Leftrightarrow 2tdt=du \Leftrightarrow dt=\frac{1}{2t}du$ und erhalte:

$\int\limits_{0}^{1} \ln \left(x^{2}+t^{2}\right) dt= \int\limits_{\varphi(0)}^{\varphi(1)}ln(u)\frac{1}{2t}du=\int\limits_{x^2}^{x^2+1}ln(u)\frac{1}{2t}du$.

Hierauf habe ich es dann mit Part. Int. versucht; dabei setze ich $g(u):=ln(u)$ und $f(u):=\frac{1}{2t}u$, also $f'(u)=\frac{1}{2t}$ und es folgt:

$\int\limits_{x^2}^{x^2+1}ln(u)\frac{1}{2t}du= \big[ln(u)\cdot \frac{u}{2t}\big]_{x^2}^{x^2+1} -\int\limits_{x^2}^{x^2+1}\frac{1}{u}\cdot \frac{u}{2t}du = ln(x^2+1)\cdot \frac{x^2+1}{2t}-ln(x^2)\cdot \frac{x^2}{2t}-\frac{1}{2t}\int\limits_{x^2}^{x^2+1}1du = \frac{1}{2t}\big(ln(x^2+1)(x^2+1)-ln(x^2)x^2 - (x^2+1-x^2)\big)= \frac{1}{2t}\big(ln(x^2+1)(x^2+1)-ln(x^2)x^2 -1 \big)$.

Wo ist/sind mein Fehler / die Fehler?


 
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