Antworte auf:  Gleichheit von zwei endlichen nichtleeren Mengen A, B unter Verwendung der Differenzmenge von jorgos007
Forum:  Mengenlehre, moderiert von: mire2 StrgAltEntf

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Radix
Senior
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6174
Herkunft: Wien
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-31 16:13    [Diesen Beitrag zitieren]


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jorgos007
Neu
Dabei seit: 31.07.2019
Mitteilungen: 1
Herkunft:
 Themenstart: 2019-07-31 10:13    [Diesen Beitrag zitieren]

Beweis der Gleichheit von zwei endlichen nichtleeren Mengen A, B
unter Verwendung der Differenzmengenoperation:

Def.:        Differenzmenge
Seien A, B zwei endliche nichtleere Mengen.
Die Differenzmenge A\B ist dann wie folgt definiert:
A\B = {x | x ϵ A ∧ x∉ B}


Behauptung:
Seien A, B zwei endliche und nichtleere Mengen.
Wenn A\B={} und  B\A={} → A=B

Beweis: Es gibt genau 2 Möglichkeiten
            wann A\B={} und  wann B\A={}.
D.h.,
        A\B={} ⟷ A ⊂ B ∨  A=B
        und
        B\A={} ⟷ B ⊂ A ∨  A=B

Somit:
        (A ⊂ B ∨ A=B) ∧ (B ⊂ A ∨  A=B)        / Gemeinsamen Faktor
                                                               herausheben
(A ⊂B ∧ B ⊂ A) ∨  A=B
         F            ∨  A=B
                           A=B
q.e.d.


 
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