Antworte auf:  Funktion η gesucht mit O(f(η(n)))=O(g(η(n))) von maellj
Forum:  Analytische Zahlentheorie, moderiert von: Wauzi

[Zur Forum-Gliederung] [Wie man Fragen beantwortet] [Themenstart einblenden]

  Alle registrierten Mitglieder können Mitteilungen schreiben.
Benutzername:
Passwort:
Nachricht-Icon:                   
                  
              
Nachricht:


 

Erledigt J


Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
 Show Preview      Write using fedgeo formula editor or Latex.

Smilies for your message:
😃 😄 😁 🙂 🙃 😉 🤗 🤫 🤔 🙄 😴 🤒 😎 😮 😲 😂
🙁 😖 😒 😐 😡 👌 👍 👎 🤢 🤧 🥵 🥶 😵 🤯 😛 😷
Optionen: Deaktiviere HTML in dieser Nachricht
Deaktiviere MATHML in dieser Nachricht. Wenn Dein Text $-Zeichen enthält, die nicht LaTeX-Formeln begrenzen.
Deaktiviere Smilies in dieser Nachricht
Zeige die Signatur (Kann in 'Mein Profil' editiert werden.)
    [Abbrechen]
 
Beachte bitte die [Forumregeln]


Themenübersicht
maellj
Junior
Dabei seit: 27.08.2019
Mitteilungen: 10
Herkunft:
 Beitrag No.19, eingetragen 2019-09-04 16:46    [Diesen Beitrag zitieren]

Okay, ich habe das nun geklärt und habe ein "sehr gutes" Ergebnis erhalten. Vielen Dank euch allen!


maellj
Junior
Dabei seit: 27.08.2019
Mitteilungen: 10
Herkunft:
 Beitrag No.18, eingetragen 2019-09-03 16:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Wow, danke, das war hilfreich!
Ich habe nun ein Ergebnis, das ich mit meinem Prof abkläre  😁


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6418
Herkunft: Niedersachsen
 Beitrag No.17, eingetragen 2019-09-02 17:32    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-09-02 14:59 - maellj in Beitrag No. 16 schreibt:
Die Methode mit $f(\eta(n),n)=c(n)\cdot g(\eta(n),n)$ habe ich für verschiedene $\eta$'s durchlaufen lassen. Leider gab es keine aussagekräftigen Ergebnisse.
Hhm, in der Methode kann man $\eta(n)$ doch gar nicht variieren?!

Ich mache es mal an einem Beispiel vor:
Wir wählen $c(n)=1$ und ersetzen $\eta(n)$ durch $x$.
Ziel ist die Gleichheit:
$f(n,x)=\exp(-\log(n)^{x}) = c(n)\cdot\eta(n) = 1\cdot\eta(n)= x$.
Das führt zu $-\log(n)^x = \log(x)$. Zur besseren Übersicht (weniger negative Vorzeichen) substituieren wir $y:=1/x$. $-log(n)^{1/y} = -log(y)$, also $\log(n) = \log(y)^y$ bzw. $\log(\log(n))=y\cdot \log(\log(y))$.
$y$ wächst also ein wenig langsamer als $\log(\log(n))$.

Wir machen den Ansatz $y=\log(\log(n)) / r(n)$ und erhalten
$\log(\log(n))=\log(\log(n))/ r(n) \cdot \log(\log(\log(\log(n))/ r(n)))$ und vereinfacht:
$r(n)= \log(\log(\frac{\log(\log(n))}{r(n)}))$.

Ohne das komplett durchdacht zu haben, würde ich jetzt $r(n)= O(\log(\log(\log(\log(n)))))$ behaupten.
Insgesamt führt das dann zu einem $\eta(n)\approx \frac{\log(\log(\log(\log(n))))}{\log(\log(n))}$.
\(\endgroup\)

maellj
Junior
Dabei seit: 27.08.2019
Mitteilungen: 10
Herkunft:
 Beitrag No.16, eingetragen 2019-09-02 14:59    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-08-27 12:32 - Nuramon in Beitrag No. 11 schreibt:
2019-08-27 11:55 - Nuramon in Beitrag No. 9 schreibt:
Gegeben sind zwei Funktionenscharen $f_\eta(n)=\exp(\log(n)^{\eta(n)})$ und $g_\eta(n) = \eta(n)$. Gesucht ist ein $\eta$ mit $\lim_{n \to \infty} \eta (n) =0$ und $\mathcal O(f_\eta) = \mathcal O(g_\eta)$.
Also in diesem Fall gibt es einfach kein geeignetes $\eta$:
Gäbe es nämlich eines, dann müsste insbesondere $\lim_{n \to \infty} f_\eta (n) =0$ sein, weil $\lim_{n \to \infty} g_\eta (n) =0$ ist.

Dann müsste aber $\lim_{n \to \infty} \log(n)^{\eta(n)} =-\infty $ sein, was im Widerspruch zu $\log(n)^{\eta(n)} >0$ steht.

Entschuldige, da habe ich ein Minus vergessen (Ex-Physiker  😉  ). Es ist eher $f_\eta(n)=\exp(- \log(n)^{\eta(n)})$.

Die Methode mit $f(\eta(n),n)=c(n)\cdot g(\eta(n),n)$ habe ich für verschiedene $\eta$'s durchlaufen lassen. Leider gab es keine aussagekräftigen Ergebnisse.
\(\endgroup\)

Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6418
Herkunft: Niedersachsen
 Beitrag No.15, eingetragen 2019-08-28 17:25    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-08-28 16:33 - maellj in Beitrag No. 14 schreibt:
Nur um das noch klarzustellen. Ich habe keinerlei $x$ in meinen Gleichungen. Es hängt alles entweder von $n$ und $\eta(n)$ ab oder nur von $\eta(n)$.
Ja, das habe ich auch so verstanden. Das $x$ ist hier ein Platzhalter für die zu bestimmende Funktion $\eta(n)$.


maellj
Junior
Dabei seit: 27.08.2019
Mitteilungen: 10
Herkunft:
 Beitrag No.14, eingetragen 2019-08-28 16:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke schön, das werde ich mal testen. So einfach auflösen kann ich nicht, aber vllt komme ich so mit den Testfunktionen weiter.
Nur um das noch klarzustellen. Ich habe keinerlei $x$ in meinen Gleichungen. Es hängt alles entweder von $n$ und $\eta(n)$ ab oder nur von $\eta(n)$. Die Abhängigkeit von $n$ habe ich unterschlagen, da habt ihr Recht.


Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.13, eingetragen 2019-08-28 00:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Bilde die Funktion \(\eta^{-1}.\) SP


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6418
Herkunft: Niedersachsen
 Beitrag No.12, eingetragen 2019-08-27 19:30    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich habe ziemlich lange gebraucht, um das Problem zu verstehen, weil Du im Themenstart die explizite Abhängigkeit von $n$ bei den Funktionen nicht aufgeführt hast.

Eine denkbare Variante:

Betrachte die Gleichung $f(n,x)=c(n)\cdot g(n,x)$. Das $c(n)$ darfst Du selbst wählen, die Funktion sollte aber beschränkt sein, nur nichtnegative Werte annehmen und 0 nicht als Häufungspunkt haben. Der einfachste Fall wäre $c(n)=1$. Jetzt löst Du die Gleichung in Abhängigkeit von $n$ nach $x$ auf.
Wenn Du es (durch die Wahl von $c$) schaffst, dass $x(n)$ gegen 0 geht, dann hast Du eine Funktion mit den gewünschten Eigenschaften gefunden.


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2168
Herkunft:
 Beitrag No.11, eingetragen 2019-08-27 12:32    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-08-27 11:55 - Nuramon in Beitrag No. 9 schreibt:
Gegeben sind zwei Funktionenscharen $f_\eta(n)=\exp(\log(n)^{\eta(n)})$ und $g_\eta(n) = \eta(n)$. Gesucht ist ein $\eta$ mit $\lim_{n \to \infty} \eta (n) =0$ und $\mathcal O(f_\eta) = \mathcal O(g_\eta)$.
Also in diesem Fall gibt es einfach kein geeignetes $\eta$:
Gäbe es nämlich eines, dann müsste insbesondere $\lim_{n \to \infty} f_\eta (n) =0$ sein, weil $\lim_{n \to \infty} g_\eta (n) =0$ ist.

Dann müsste aber $\lim_{n \to \infty} \log(n)^{\eta(n)} =-\infty $ sein, was im Widerspruch zu $\log(n)^{\eta(n)} >0$ steht.
\(\endgroup\)

maellj
Junior
Dabei seit: 27.08.2019
Mitteilungen: 10
Herkunft:
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-08-27 11:56    [Diesen Beitrag zitieren]

Könnte man so sagen. Ein solches $\eta$ soll ich finden


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2168
Herkunft:
 Beitrag No.9, eingetragen 2019-08-27 11:55    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Also ist es so gemeint?

Gegeben sind zwei Funktionenscharen $f_\eta(n)=\exp(\log(n)^{\eta(n)})$ und $g_\eta(n) = \eta(n)$. Gesucht ist ein $\eta$ mit $\lim_{n \to \infty} \eta (n) =0$ und $\mathcal O(f_\eta) = \mathcal O(g_\eta)$.
\(\endgroup\)

maellj
Junior
Dabei seit: 27.08.2019
Mitteilungen: 10
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-08-27 11:44    [Diesen Beitrag zitieren]

$f$ und $g$ hängen von $n$ und $\eta$ ab, ich kann auch nicht irgendwie auflösen, um eine Richtung zu kriegen.


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2168
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-08-27 11:43    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Ich dachte $f$ und $g$ sollen gegeben sein und $\eta$ ist gesucht.

Dann sollte in der Definition von $f,g$ aber kein $\eta$ vorkommen. Meintest du $g(x)=x$? Welche Funktion soll $f$ sein?
\(\endgroup\)

maellj
Junior
Dabei seit: 27.08.2019
Mitteilungen: 10
Herkunft:
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-08-27 11:37    [Diesen Beitrag zitieren]

Das dürfte gehen.
Okay, nehmen wir für $f(\eta(n))=\exp(log(n)^{\eta(n)})$  und für $g(\eta(n))=\eta(n)$.


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2168
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-08-27 11:35    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Wenn du nicht die konkreten Funktionen $f,g$ aus deiner Arbeit angeben willst, vielleicht kannst du andere angeben, für die das Problem etwas einfacher sein könnte. Ich fürchte ein ganz allgemeines Rezept zum Auffinden für ein mögliches $\eta$ wird es nicht geben.
\(\endgroup\)

maellj
Junior
Dabei seit: 27.08.2019
Mitteilungen: 10
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-27 11:27    [Diesen Beitrag zitieren]

Okay, das hätte ich noch schreiben können. $\eta$ ist eine Funktion, mit $\eta : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$. Ich habe schon so Sachen wie $\frac{1}{logloglog(n)}$ probiert. Aber wie gesagt, durch Rumprobieren wurde ich nicht viel schlauer.
Ich nahm verschiedene $\eta$s und setzte sie ein und berechnete die Kurven. Das Problem, das ich habe, ist, dass in $\mathcal{O}$ viel verschwinden kann und ich eben nur genau rechnen kann.


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2168
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-27 11:22    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Kannst du irgendwelche Eigenschaften der Funktionen $f$ und $g$ angeben? Ich nehme mal an, deren Definitionsbereich soll $\IR\setminus\{0\}$ sein und dass $\eta:\IN \to \IR$ eine Folge sein soll.
Kannst du z.B. Aussagen über das Konvergenzverhalten von $f(x)$ oder $g(x)$ für $x\to 0$ treffen?

Geht vermutlich nicht in die Richtung, die für dich hilfreich ist, aber z.B. für $f(x)=\sin(\frac 1x)$ und $g(x)=\cos(x)$ könnte man $\eta(n)=\frac 1{\frac \pi 2 + 2\pi n}$ wählen.


\(\endgroup\)

maellj
Junior
Dabei seit: 27.08.2019
Mitteilungen: 10
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-08-27 11:06    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich weiß nicht, wie viel ich sagen darf. Es ist immerhin etwas, das ich mir selbst erarbeiten soll und auch will. Daher meine vage Formulierung.
Es geht mir darum neuen Input zu bekommen. Ich möchte keine Lösung, nur einen Weg zu dieser.
Wenn nötig, werde ich auch das Problem posten, aber ich dachte, dass es vllt dazu einen Weg gibt, den ich nicht kenne.


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2168
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-27 11:01    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

2019-08-27 10:19 - maellj im Themenstart schreibt:
Und ich kann mir natürlich tausend Funktionen ausdenken (ich weiß, dass es Logarithmen sind, mehr oder weniger geschachtelt und multipliziert etc), aber das ist nicht sehr zielführend.

aus diesem Grund wird man dir wohl kaum weiterhelfen können, ohne mehr über das konkrete Problem zu kennen.


maellj
Junior
Dabei seit: 27.08.2019
Mitteilungen: 10
Herkunft:
 Themenstart: 2019-08-27 10:19    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen,

ich schreibe gerade an meiner Masterarbeit im Bereich Algebra/Analytische Zahlentheorie. In meinem Forschungsteil geht es darum, dass ich eine Funktion $\eta(n)$ finden soll. Ich habe zwei Ausdrücke, die von $n$ bzw $\eta(n)$ abhängen und diese sollen größenordnungsmäßig gleich groß sein. Daher O(f(eta(n)))=O(g(eta(n))).
Ich habe schon mehrere Dinge ausprobiert, zB habe ich f/g für viele $n$ berechnet und plotten lassen, um zu sehen, ob das gegen eine Konstante konvergiert. Allerdings gibt es bisher (mit den Beispielfunktionen, die ich testete) keinen Kandidaten. Und ich kann mir natürlich tausend Funktionen ausdenken (ich weiß, dass es Logarithmen sind, mehr oder weniger geschachtelt und multipliziert etc), aber das ist nicht sehr zielführend.
Daher meine Frage: Gibt es ein Vorgehen für solch ein Problem? Ich habe auch schon Lösungen gefunden, die klappen würden, das Problem ist aber auch, dass $\lim_{n \to \infty} \eta (n) =0$ gelten muss.

Liebe Grüße
maellj


 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]