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Antworte auf:  Fehlerabschätzung mit Neumannscher Reihe von Uchiha_madara
Forum:  Funktionalanalysis, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Themenübersicht
svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 54
Herkunft:
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-10-08 20:03    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich möchte zumindest den ersten Aufgabenteil nicht unbeantwortet stehen lassen.

\(\textbf{Aufgabe:}\) Es ist zu zeigen, dass die Fehlerabschätzung
\[
\dfrac{\lVert \Delta x \rVert}{\lVert x \rVert} \leq \kappa \left( A \right) \cdot \dfrac{\lVert \Delta A \rVert}{\lVert A \rVert} + \mathcal{O} \left( \lVert \Delta A \rVert^2\right)
\] für \(\lVert \Delta A \rVert \to 0\) gilt.

\(\textbf{1.:}\) Es ist zu zeigen, dass
\[\Delta x = - \left( I - \left( - A^{-1} \cdot \Delta A \right) \right)^{-1} \cdot A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x\] gilt. Aus
\[\left( A + \Delta A \right) \left( x + \Delta x \right) = b\] folgt
\[A \cdot x + A \cdot \Delta x + \Delta A \cdot x + \Delta A \cdot \Delta x = b\] und wegen \(A \cdot x = b\) folgt somit
\[A \cdot \Delta x + \Delta A \cdot x + \Delta A \cdot \Delta x = 0.\] Hieraus ergibt sich bei Linksmultiplikation mit \(A^{-1}\) schließlich
\[\Delta x + A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x + A^{-1} \cdot \Delta A \cdot \Delta x = 0.\] Auflösen nach \(\Delta x\) liefert
\[\left( I + A^{-1} \cdot \Delta A \right) \cdot \Delta x = - A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x\] und somit
\[\Delta x = - \left( I - \left( - A^{-1} \cdot \Delta A \right) \right)^{-1} \cdot A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x\] unter der Voraussetzung, dass die Matrixnorm \(\lVert \Delta A \rVert << 1\) hinreichend klein ist.

\(\textbf{2.:}\) Es ist die gewünschte Fehlerabschätzung zu zeigen. Mit der Voraussetzung, dass die Matrixnorm \(\lVert \Delta A \rVert << 1\) hinreichend klein ist, kann auch angenommen werden, dass die Matrixnorm \(\lVert - A^{-1} \rVert \cdot \lVert \Delta A \rVert < 1\) ist, sodass das Lemma über die Neumannsche Reihe verwendet werden kann. Somit gilt
\[\begin{eqnarray*}
\Delta x & = & - \left( \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \left( - A^{-1} \cdot \Delta A \right)^{k} \right) \cdot A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x \\
         & = & - \left( I + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left( - A^{-1} \cdot \Delta A \right)^{k} \right) \cdot A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x \\
         & = & - A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x - \left( \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left( - A^{-1} \cdot \Delta A \right)^{k} \right) \cdot A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x.
\end{eqnarray*}\] Anwenden von Normen auf beiden Seiten liefert nach Division durch die Norm \(\lVert x \rVert \not= 0\) und der Anwendung der Dreiecksungleichung
\[ \begin{eqnarray*}
\dfrac{\lVert \Delta x \rVert}{\lVert x \rVert} & \leq & \lVert A^{-1} \rVert \cdot \lVert A \rVert \cdot \dfrac{\lVert \Delta A \rVert}{\lVert A \rVert} + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \lVert A^{-1} \rVert^{k + 1} \cdot \lVert \Delta A \rVert^{k + 1} \\
                                                & \leq & \kappa \left( A  \right) \cdot \dfrac{\lVert \Delta A \rVert}{\lVert A \rVert} + \mathcal{O} \left( \lVert \Delta A \rVert^{2} \right).
 \end{eqnarray*} \] Dies beweist die Fehlerabschätzung unter Anwendung des Neumannschen Lemmas.

Ich hoffe, dass das zumindest Personen hilft, die später nochmal in diesen Thread schauen, um die Fehlerabschätzung für gestörte lineare Gleichungssysteme nachzuvollziehen.

Viele Grüße
svrc


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 54
Herkunft:
 Beitrag No.9, eingetragen 2019-10-01 20:14    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Uchiha-madara,

\(\Delta A\) ist die Störungsmatrix, welche auf die ungestörte Systemmatrix \(A\) addiert wird. Die Fehlerabschätzung, die du beweisen sollst, ist für hinreichend kleine Störungen der Matrix gültig, d.h. für \(\lVert \Delta A \rVert \to 0\). Außerdem brauchen wir letztere Voraussetzung, um die Anwendung der Neumannschen Reihe zu rechtfertigen.

Beachte beim Lemma zur Neumannschen Reihe, dass du eine unendliche Reihe und keine abbrechenden Partialsummen hast.

Viele Grüße
svrc


Uchiha_madara
Junior
Dabei seit: 13.09.2019
Mitteilungen: 7
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-10-01 18:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke svrc,
Genau das wollte ich wissen, wie ich da jetzt das Lemma anwenden kann :) ich habe jetzt C:= (-A^-1 * delta A) gesetzt.

Daraus folgt

(I-C)^= fed-Code einblenden


=> fed-Code einblenden fed-Code einblenden




 wie gehe ich nun weiter vor und was heißt eigentlich konkret hier fed-Code einblenden
wieso soll eine Norm von einer Matrix konvergieren ?


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 54
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-01 17:30    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Uchiha_madara,

da du mir nicht genau beschreibst, an welcher Stelle du Probleme hast, ist es schwierig, dir gezielt zu helfen.

Kannst du nachvollziehen, dass
\[\Delta x = - \left( I + A^{-1} \cdot \Delta A \right)^{-1} \cdot A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x\] gilt?

Wenn du das verstanden hast, schreibe
\[\Delta x = - \left( I - \left( - A^{-1} \cdot \Delta A \right) \right)^{-1} \cdot A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x.\] Da die Fehlerabschätzung für \(\lVert \Delta A \rVert \to 0\) gelten soll, kann \(\lVert A^{-1} \rVert \cdot \lVert \Delta A \rVert < 1\) angenommen werden. Hierbei wird von Matrixnormen ausgegangen, die mit den Vektornormen verträglich sind. Damit sind die Voraussetzungen des Lemmas erfüllt.

Wende dieses auf die Gleichung für \(\Delta x\) an.

Viele Grüße
svrc


Uchiha_madara
Junior
Dabei seit: 13.09.2019
Mitteilungen: 7
Herkunft:
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-10-01 17:03    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi svrc,

ich verstehe deine Umformung aber nicht wirklich was ich mit delta x jetzt genau anfangen kann, bzw wie ich dies in die Neumannsche Reihe integrieren kann..


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 54
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-30 21:25    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Uchiha_madara,

multipliziere die Gleichung darüber mit der Inversen \(A^{-1}\). Diese existiert, da die Matrix \(A\) regulär ist.

Viele Grüße
svrc


Uchiha_madara
Junior
Dabei seit: 13.09.2019
Mitteilungen: 7
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-30 18:19    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi svrc,

ich kann leider nicht nachvollziehen wie du folgende Umformung durchgeführt hast :O


svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 54
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-30 16:59    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Uchira_madara,

aus
\[\left( A + \Delta A \right) \left( x + \Delta x \right) = b\] folgt
\[A \cdot x + \Delta A \cdot x + A \cdot \Delta x + \Delta A \cdot \Delta x = b.\] Wegen \(A \cdot x = b\) folgt somit
\[\begin{eqnarray*}
\Delta A \cdot x + A \cdot \Delta x + \Delta A \cdot \Delta x & = & 0 \\
A \cdot \Delta x + \Delta A \cdot x + \Delta A \cdot \Delta x & = & 0 \\
        \Delta x + A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x + A^{-1} \cdot \Delta A \cdot \Delta x & = & 0
\end{eqnarray*}\] beim Multiplizieren mit der Inversen \(A^{-1}\) in der letzten Zeile. Hieraus folgt
\[\left( I + A^{-1} \cdot \Delta A \right) \cdot \Delta x = -A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x\] und beim Multiplizieren mit der Inversen \(\left( I + A^{-1} \cdot \Delta A \right)^{-1}\) ergibt sich
\[\Delta x = - \left( I + A^{-1} \cdot \Delta A \right)^{-1} \cdot A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x.\] Hier kann jetzt unter geeigneten Voraussetzungen (Beachte, dass die Matrixnorm von \(\Delta A\) für die Abschätzung hinreichend klein sein muss) die Neumannsche Reihe verwendet werden.

Viele Grüße
svrc


Uchiha_madara
Junior
Dabei seit: 13.09.2019
Mitteilungen: 7
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-30 14:37    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke schon mal für deine Arbeit svrc !

Leider kann ich die erste Umformung nicht nachvollziehen wie du nach delta_x umstellst... kannst du mir das vielleicht kleinschrittiger erklären?



svrc
Aktiv
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 54
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-30 01:08    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Uchiha_madara,

vielleicht hilft es dir weiter, mal mit
\[\widetilde{A} \widetilde{x} = b\] anzusetzen. Hieraus folgt nämlich
\[\left( A + \Delta A \right) \left( x + \Delta x \right) = b\] und daraus lässt sich mit mehreren Umformungen
\[\Delta x = - \left( I + A^{-1} \cdot \Delta A \right)^{-1} \cdot A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x\] ableiten. Eventuell hilft dir das weiter, da
\[\lVert \Delta A \rVert\ \to 0\] für die Abschätzung ausgenutzt werden soll.

Viele Grüße
svrc


Uchiha_madara
Junior
Dabei seit: 13.09.2019
Mitteilungen: 7
Herkunft:
 Themenstart: 2019-09-29 19:36    [Diesen Beitrag zitieren]

Guten Abend, ich brauche Hilfe zum Verständnis folgender Aufgabe a) . Ich verstehe den Bezug zur Neumannschen Reihe nicht wirklich und finde keinen Ansatz zur Aufgabe...

Ich danke im Voraus!



 
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