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Antworte auf:  Was ist eine glatte Kurve? von curious_mind
Forum:  Mehrdim. Differentialrechnung, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Themenübersicht
Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1632
Herkunft:
 Beitrag No.18, eingetragen 2019-10-22 16:46    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich habe bei der Definition von \(\phi\) ursprünglich Unsinn geschrieben. So sollte es nun aber stimmen


curious_mind
Aktiv
Dabei seit: 10.11.2012
Mitteilungen: 308
Herkunft:
 Beitrag No.17, eingetragen 2019-10-22 14:52    [Diesen Beitrag zitieren]

Alles klar, vielen Dank !!


Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1632
Herkunft:
 Beitrag No.16, eingetragen 2019-10-22 11:32    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-10-20 12:51 - curious_mind in Beitrag No. 15 schreibt:

Wenn ich die beiden Sätze lese, kann ich also folgern, dass "Richtungsvektoren" (was immer das ist) als Komponenten jeweils die Geschwindigkeiten in die entspr. Koordinatenrichtung haben?


Das ist in dem Fall die physikalische Interpretation dahinter, ja.

2019-10-20 12:51 - curious_mind in Beitrag No. 15 schreibt:

Funktionieren so echt Tachos? Indem Sie euklidische Normen berechnen?


Ich bin kein Maschinenbauer, aber ich bezweifle, dass Tachos euklidische Normen berechnen.
Das ganze ist halt eine physikalische Interpretation.

2019-10-20 12:51 - curious_mind in Beitrag No. 15 schreibt:

Letzte Frage:
Was heißt es (praktisch, nicht theoretisch), wenn eine Parameterdarstellung "ausgezeichnet" ist? Kann jede (glatte) Kurve ausgezeichnet sein, also findet man immer eine Parametrisierung für die $||\phi'(t)||_2 = 1$ ist?
Stelle ich mir das korrekt vor - vorausgesetzt es ist eine ausgezeichnete Param.Darstellung -, dass die Geschwindigkeit konstant 1 ist, also dass $||\text{Ort}(t_0) - \text{Ort}(t_1)||_2 = ||t_0 - t_1||_2$ ?

Bei einer normalen Abbildung $f:M \longrightarrow \IR $, $M\subset \IR$, hieße das, dass der Graph eine Ursprungsgerade in 45° ist. Ist das auch bei Kurven in $\IR^n$ visuell sichtbar? Beim o.g. Kreis ist das nämlich anscheinend überhaupt nicht zu sehen (bzw. bei einer 3D Spirale)...



Bei glatten Kurven ist das der Fall. Falls etwa \(\varphi:[0,1] \to \mathbb{R}^n\) eine glatte Parametrisierung einer Kurve \(\Gamma\) ist, so ist \(c: [0,1] \to \mathbb{R}\), \(c(t)= \int_0^t \Vert \varphi '(s) \Vert_2 \, ds\) wegen \(\Vert \phi '(s) \Vert_2>0\) für alle \(s \in [0,1]\) streng monoton wachsend mit Bild \(c([0,1])=[0, L(\Gamma)]\), wobei \(L(\Gamma)= \int_0^1 \Vert \varphi '(t) \Vert_2 \, dt< \infty\) nach Voraussetzung. Somit ist \(c: [0,1] \to [0, L(\Gamma)]\) bijektiv und damit umkehrbar. Setze nun \(\phi: [0,L(\Gamma)] \to \mathbb{R}^n \); \(\phi (t) := \varphi(c^{-1}(t)) \). Dann gilt wegen der Ableitungsregeln für Umkehrabbildungen
\(\Vert \phi '(t) \Vert_2 = \Vert (\varphi \circ c^{-1})'(t) \Vert_2 =
\Vert \varphi '(c^{-1}(t)) (c^{-1})'(t) \Vert_2 = \frac{\Vert \varphi '(c^{-1}(t)) \Vert_2}{\Vert \varphi '(c^{-1}(t)) \Vert_2}=1\) für alle \(t \in [0, L(\Gamma)]\)
und somit ist \(\phi\) eine ausgezeichnete Parametrisierung von \(\Gamma\).

Für \(n=2\) kann man sich das noch visuell klar machen, für \(n \geq 3\) wird es logischerweise schwierig.


curious_mind
Aktiv
Dabei seit: 10.11.2012
Mitteilungen: 308
Herkunft:
 Beitrag No.15, eingetragen 2019-10-20 12:51    [Diesen Beitrag zitieren]

Herzlichen Dank für die ganzen hilfreichen Antworten!

2019-10-15 13:34 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 10 schreibt:
Die Ableitung der Parametrisierung gibt einen Richtungsvektor in Richtung der Kurve. Dieser darf nicht der Nullvektor sein, da sich eine glatte Kurve in eine bestimmte Richtung fortsetzt.

2019-10-16 15:34 - Kampfpudel in Beitrag No. 12 schreibt:
Wenn wir mal das Beispiel  \(\varphi: [0,2 \pi] \to \mathbb{R}^2\), \(\varphi(t) = (\cos (t), \sin (t))\) hernehmen, so ist \(\varphi '(t)= \begin{pmatrix} - \sin (t) \\ \cos (t) \end{pmatrix}\). Die erste Komponente, also \(- \sin (t)\), gibt die Geschwindigkeit (wenn wir unsere Interpretation eines über den Kreis fahrenden Autos hernehmen) in \(x\)-Richtung an, analog für die zweite Komponente.

Wenn ich die beiden Sätze lese, kann ich also folgern, dass "Richtungsvektoren" (was immer das ist) als Komponenten jeweils die Geschwindigkeiten in die entspr. Koordinatenrichtung haben?

2019-10-16 15:34 - Kampfpudel in Beitrag No. 12 schreibt:
 also \(\Vert \varphi '(t) \Vert_2=1\), gibt die Absolutgeschwindigkeit des Autos an.

Funktionieren so echt Tachos? Indem Sie euklidische Normen berechnen?

Was für ein Dschungel an Begriffen und Zusammenhängen...  frown

Letzte Frage:
Was heißt es (praktisch, nicht theoretisch), wenn eine Parameterdarstellung "ausgezeichnet" ist? Kann jede (glatte) Kurve ausgezeichnet sein, also findet man immer eine Parametrisierung für die $||\phi'(t)||_2 = 1$ ist?
Stelle ich mir das korrekt vor - vorausgesetzt es ist eine ausgezeichnete Param.Darstellung -, dass die Geschwindigkeit konstant 1 ist, also dass $||\text{Ort}(t_0) - \text{Ort}(t_1)||_2 = ||t_0 - t_1||_2$ ?

Bei einer normalen Abbildung $f:M \longrightarrow \IR $, $M\subset \IR$, hieße das, dass der Graph eine Ursprungsgerade in 45° ist. Ist das auch bei Kurven in $\IR^n$ visuell sichtbar? Beim o.g. Kreis ist das nämlich anscheinend überhaupt nicht zu sehen (bzw. bei einer 3D Spirale)...



Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1632
Herkunft:
 Beitrag No.14, eingetragen 2019-10-17 20:03    [Diesen Beitrag zitieren]

Also, wie gesagt, wenn \(\varphi(t)\) den Ort, an dem sich das Auto zum Zeitpunkt \(t\) befindet, angibt, dann ist \(\Vert \varphi '(t) \Vert_2\) die Absolutgeschwindkeit des Autos. Also das, was auf dem Tacho steht.


curious_mind
Aktiv
Dabei seit: 10.11.2012
Mitteilungen: 308
Herkunft:
 Beitrag No.13, eingetragen 2019-10-17 19:02    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich habe keine Ahnung von Physik - was genau ist die Absolutgeschwindigkeit?

Also z.B. beim Kreis ist ja überhaupt nicht klar, in welcher Geschwindigkeit das Auto den Kreis entlangfährt...


Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1632
Herkunft:
 Beitrag No.12, eingetragen 2019-10-16 15:34    [Diesen Beitrag zitieren]

Ableiten kannst du nur Abbildungen, nicht aber Bilder, Graphen etc.

Die Ableitung einer Abbildung \(\varphi: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) ist stets eine \(m \times n\)-Matrix (bzw. kann mit einer solchen Matrix identifiziert werden).

Wenn wir mal das Beispiel  \(\varphi: [0,2 \pi] \to \mathbb{R}^2\), \(\varphi(t) = (\cos (t), \sin (t))\) hernehmen, so ist \(\varphi '(t)= \begin{pmatrix} - \sin (t) \\ \cos (t) \end{pmatrix}\). Die erste Komponente, also \(- \sin (t)\), gibt die Geschwindigkeit (wenn wir unsere Interpretation eines über den Kreis fahrenden Autos hernehmen) in \(x\)-Richtung an, analog für die zweite Komponente. Die euklidische Norm aus \(x\)- und \(y\)-Komponente, also \(\Vert \varphi '(t) \Vert_2=1\), gibt die Absolutgeschwindigkeit des Autos an.


curious_mind
Aktiv
Dabei seit: 10.11.2012
Mitteilungen: 308
Herkunft:
 Beitrag No.11, eingetragen 2019-10-16 12:45    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-10-15 12:58 - Kampfpudel in Beitrag No. 9 schreibt:
Kurve darf also auch gerne 8739403393 Parametrisierungen besitzen, die nicht glatt sind. Ist aber zumindest eine glatt, so nennt man die Kurve auch glatt.
Ah, ok.

2019-10-15 12:58 - Kampfpudel in Beitrag No. 9 schreibt:
Vielleicht hat dich verwirrt, dass der Kreis hier nur das Bild einer Funktion ist und nicht der Graph! Der Graph wäre eine 3-dimensionale Spirale.
Ja, das ist tatsächlich mein Problem. Mein Gehirn kommt noch nicht mit dieser neuen Vorstellung einer Abbildung klar.

Also beim Kreis ist mir z.B. klar, dass der Graph eine Spirale ist, weil der Graph aus der Menge $\{(t,cos(t),sin(t)| t\in [0,2\pi]\}$ besteht.

Und das der Kreis auf dem 2D Koordinatensystem folglich kein Graph sein kann, weil $t$ nicht "zu sehen" ist. Aber wieso das jetzt "Bild der Funktion" heißt, leuchtet mir nicht ein, weil ich das Bild der Funktion kenne als die Menge aller Funktionswerte... ACHSO!  :D

Ok, aber unklar ist noch: Wie unterscheidet sich denn genau die Ableitung des Bildes einer Funktion von der Ableitung einer Parametrisierung, der Ableitung einer Kurve und der Ableitung eines Graphen?

Beim Graphen, also bezogen auf die üblichen Funktionen, ist die Ableitung ja eine Kennzahl, die die Änderungen der Steigung in dem Punkt angibt.

Bei Ortskurven hingegen (habe ich hier verstanden), was ja z.B. bei diesem Kreis der Fall wäre, soll die Ableitung aber die momentane Geschwindigkeit angeben und nicht die Änderung der Steigung, oder?

Hier in diesem Thread ist dann auch nochmal von der Ableitung als Richtungsvektor die Rede.

Ich glaube ich checke die Unterschiede noch nicht ganz.





DerEinfaeltige
Senior
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 2140
Herkunft:
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-10-15 13:34    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-10-15 09:37 - curious_mind in Beitrag No. 8 schreibt:


Ich finde es irgendwie befremdlich, dass bei einem Kreis diese "Sichtweise" nicht hinhaut...


Du scheinst hier die Ableitung der Parametrisierung mit der Ableitung der Funktion (sofern die Kurve Graph einer Funktion ist) zu verwechseln.
Die Ableitung der Parametrisierung gibt einen Richtungsvektor in Richtung der Kurve. Dieser darf nicht der Nullvektor sein, da sich eine glatte Kurve in eine bestimmte Richtung fortsetzt.


Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1632
Herkunft:
 Beitrag No.9, eingetragen 2019-10-15 12:58    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-10-15 09:37 - curious_mind in Beitrag No. 8 schreibt:

Dein letztes Beispiel triceratops ist ja erschreckend: Ein und dieselbe Kurve kann glatt oder nicht glatt sein, das ist ja schrecklich!  :-D


Man nennt eine Kurve glatt, wenn es mindestens eine Parametrisierung der Kurve gibt, die glatt ist. Eine Kurve darf also auch gerne 8739403393 Parametrisierungen besitzen, die nicht glatt sind. Ist aber zumindest eine glatt, so nennt man die Kurve auch glatt.

Vielleicht hat dich verwirrt, dass der Kreis hier nur das Bild einer Funktion ist und nicht der Graph! Der Graph wäre eine 3-dimensionale Spirale.


curious_mind
Aktiv
Dabei seit: 10.11.2012
Mitteilungen: 308
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-10-15 09:37    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo ihr Lieben,

ja, beim Kreis und den Punkten habt ihr natürlich recht. Ich glaube, da war mein Gehirn schon ins Bett gegangen *facepalm*

Ich glaube mein Hirn dachte da an Parabeln z.B., die ja unten am Scheitel eben auch so eine Linkswendung machen und dort die Steigung 0 haben (also $f'(x)=0$, für $x=0$).

Ich finde es irgendwie befremdlich, dass bei einem Kreis diese "Sichtweise" nicht hinhaut...

Dein letztes Beispiel triceratops ist ja erschreckend: Ein und dieselbe Kurve kann glatt oder nicht glatt sein, das ist ja schrecklich!  biggrin

Aber sehr lehrreich, danke!


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4156
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-14 22:30    [Diesen Beitrag zitieren]

Vielleicht hilft noch folgende Anmerkung:

Es kommt auf die Parametrisierung an.

Betrachten wir einmal folgende Kurve (oder sagen wir: Gerade).
 
fed-Code einblenden

Wenn wir die Parametrisierung $\phi(t) = (t,0)$ nehmen, dann ist $\phi'(t) = (1,0)$. Das ist nirgendwo $0$. Also ist die Parametrisierung glatt.
 
Wenn wir aber die Parametrisierung $\psi(t)=(t^3,0)$ nehmen (die zweifelsfrei ebenfalls die obige Gerade ergibt), dann ist $\psi'(t)=(3t^2,0)$, was für $t=0$ also $0$ ist. Diese Parametrisierung ist also nicht glatt.
 
Du kannst dir allgemein vorstellen, dass $\phi'(t)=0$ bedeutet, dass $\phi$ an der Stelle $t$ "stehenbleibt". Sowas will man bei einer glatten Parametrisierung nicht.
 
PS: In der Literatur ist es üblich, die Bedingung $\phi'(t) \neq 0$ als "regulär" zu bezeichnen. Siehe auch en.wikipedia.org/wiki/Differentiable_curve


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4156
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-10-14 22:22    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-10-14 18:25 - curious_mind in Beitrag No. 4 schreibt:
[...] so ist nach meinem Verständnis für Abbildungen doch an den Stellen (r,0),(0,r),(-r,0) und (0,-r) jeweils eine "Autowendung" nach links.

Nein. Aber mich irritiert, dass du diese 4 Punkte genannt hast, obwohl sich diese Punkte in keinerlei Weise von den anderen Punkten auf dem Kreis unterscheiden. Am besten, du vergisst das Koordinatensystem (und insbesondere die Koordinatenaxen), weil es auf die Glattheit keinen Einfluss hat. Insbesondere kannst du Kurven beliebig drehen (und skalieren), ohne die Eigenschaft der Glattheit zu verändern. Der Kreis sieht aber überall gleich aus. Und wenn du auf diesem Kreis mit einem Auto fahren würdest, wäre die Bewegung auch überall dieselbe.
 
Warum ist da die Ableitung nicht null?

Man kann es nachrechnen (siehe mein Beitrag).

Weil's keine Abbildung ist?
 
Was ist deiner Ansicht nach keine Abbildung? Beachte bitte, dass alle Zuordnungen, die in meinem Beitrag vorgekommen sind, Abbildungen sind. Und andere Zuordnungen (als Relationen) braucht man hier nicht.


BlakkCube
Senior
Dabei seit: 12.02.2010
Mitteilungen: 593
Herkunft: Potsdam
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-14 19:59    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo curious_mind,

bist du schonmal mit einem Auto im Kreis gefahren? Da ist das Lenkrad immer konstant eingeschlagen - man will ja immer linksherum fahren. Da lenkt man nicht plötzlich noch einmal extra nach links :)

Gruß BlakkCube


curious_mind
Aktiv
Dabei seit: 10.11.2012
Mitteilungen: 308
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-14 18:25    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo ihr Drei,

vielen, vielen Dank! Drei super hilfreiche und sich perfekt ergänzende Antworten! Ich liebe dieses Forum!

Eine Rückfrage habe ich aber noch bzw. eine Unsicherheit:

Wenn wir mal so einen Kreis wie in #3 anschauen:
fed-Code einblenden
..so ist nach meinem Verständnis für Abbildungen doch an den Stellen (r,0),(0,r),(-r,0) und (0,-r) jeweils eine "Autowendung" nach links. Warum ist da die Ableitung nicht null?

Weil's keine Abbildung ist?  biggrin  Ja, ok, aber wie geht das?


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4156
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-14 09:10    [Diesen Beitrag zitieren]

Hier mal zwei Beispiele:

$\phi : [0,2\pi] \to \IR^2$, $\phi(t) = (\cos(t),\sin(t)).$

Diese Kurve ist glatt. Sie parametrisiert den Einheitskreis. Die Ableitung ist auch tatsächlich überall $\neq 0$: Wenn $\phi'(t) = (-\sin(t),\cos(t)) = 0 := (0,0)$ wäre, wäre gleichzeitig $\sin(t)=0$ und $\cos(t)=0$, aber das geht ja nicht.

fed-Code einblenden

Nun betrachte:

$\psi : [-2,+2] \to \IR^2$, $\psi(t) = (t^2,t^3).$
 
Diese Kurve parametrisiert einen Teil der Neilschen Parabel. Die Ableitungen sind:

$\psi'(t) = (2t,3t^2)$.
 
Es gilt also $\psi'(0)=(0,0)$, womit die Kurve dort nicht glatt ist. Das sieht man auch am Graphen.
 
fed-Code einblenden

Die Kurve ist immerhin stückweise glatt.


xiao_shi_tou_
Senior
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1163
Herkunft: Bonn
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-13 21:31    [Diesen Beitrag zitieren]
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Das Problem an der Bedingung $\varphi'(t)=0$ ist, dass dadurch ein Knick, also eine Singularität (ein nicht-glatter Punkt sozusagen) in der Kurve entstehen kann indem dass Auto auf der Stelle wendet und dann in eine andere Richtung weiterfährt, obwohl die Zeit kontinuierlich weiterläuft.

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Kampfpudel
Senior
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 Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-13 19:54    [Diesen Beitrag zitieren]

Hey curious_mind,

Welchen Satz meinst du? Das ist ja eine Definition und keinen Satz und der Sinn einer Definition wird erst durch die Sätze gegeben, die auf diese Definition beruhen.

Stelle dir vor, ein Auto würde die Kurve durchfahren und \(\varphi(t)\) gibt den Ort des Autos zum Zeitpunkt \(t\) an. Interessant ist meistens nicht wie schnell das Auto von \(\alpha\) nach \(\beta\) fährt, sondern nur dass es von \(\alpha\) nach \(\beta\) fährt. Die Bedingung \(\varphi '(t)=0\) für ein \(t \in ]\alpha , \beta[\) würde nun bedeuten, dass das Auto zum Zeitpunkt \(t\) stehen bleibt, was man einfach nicht will.

Vielleicht will man ja mal durch \( \Vert \varphi '(t) \Vert \) dividieren, dann wäre \(\varphi '(t)=0\) hinderlich.

Eine glatte Kurve ist das, was man sich vom Wort her unter einer glatten Kurve vorstellt: Sie hat keine Ecken, Zacken oder sowas, sondern ist glatt. Wäre die Kurve ein metallischer Draht und du streichst mit einem Finger drüber, so würdest du dir nicht wehtun


curious_mind
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Mitteilungen: 308
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 Themenstart: 2019-10-13 14:43    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Mathefreunde,
bin in Analysis jetzt im Bereich Kurven angekommen und kann mir auch unter einer (parametrisierten) Kurve etwas vorstellen.

Nun kommt aber dieser Satz:


Meine Fragen:

Und was heißt der Satz auf Deutsch? :D
Was ist so interessant an $\dot{\varphi}(t)\neq 0$?
Was kann ich mir visuell unter einer glatten Kurve vorstellen? Also in 2D oder 3D wäre ein Beispiel super. Und was ist die Kurve, wenn sie nicht glatt ist? Zackig? :D



 
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