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Antworte auf:  Alternierende Summe von Produkt von Binomialkoeffizienten mit Gliedern arithmetischer Folge = 0 von stefan_98
Forum:  Folgen und Reihen, Induktion, moderiert von: viertel GrafZahl

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Erledigt J


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Themenübersicht
stefan_98
Junior
Dabei seit: 17.10.2019
Mitteilungen: 9
Herkunft:
 Beitrag No.16, eingetragen 2019-10-21 18:31    [Diesen Beitrag zitieren]

Also ich habe es nun endlich hinbekommen mit:



Die erstere Gleichung ohne zusätzlichem k lässt sich ja mit dem binomischen Lehrsatz sehr einfach beweisen :)

Nochmals vielen Dank für die Hilfe von allen Beteiligten


stefan_98
Junior
Dabei seit: 17.10.2019
Mitteilungen: 9
Herkunft:
 Beitrag No.15, eingetragen 2019-10-20 19:21    [Diesen Beitrag zitieren]

Ok also Creasy hat es mir erklärt, ich werde diesen Weg jetzt einfach probieren.

LG


stefan_98
Junior
Dabei seit: 17.10.2019
Mitteilungen: 9
Herkunft:
 Beitrag No.14, eingetragen 2019-10-20 19:14    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo wladimir,

also ich kenne die vollständige Induktion, mit der ich dies auch beweisen möchte und ebenso die Formel, die du mitaufgeschrieben hast :)

Wie kann ich nun mit dieser Formel arbeiten? Als ich diese angewendet habe, bin ich auch nicht zu einem Ergebnis gekommen. Umgestellt nach (n über k) und danach eingesetzt, hat diese die Gleichung bei mir nur vergrößert und kürzen oder herausstreichen aus der Gleichung konnte ich leider nichts. :/

Könnte mir jemand erklären, was mit der Umkehrung der Summationsreinfolge gemeint ist bzw. wie man diese vollzieht, aus Creasys Beitrag, dann würde ich diesen Weg mal probieren.

LG


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2543
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 Beitrag No.13, eingetragen 2019-10-18 09:08    [Diesen Beitrag zitieren]

@creazy: Ja, man könnte auch
\[n\binom{n-1}{k-1}=k\binom{n}{k}\] nutzen.

Wenn $\mathrm{deg}(p)<n$ gilt, lässt sich damit sogar
\[\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}p(k)=0\] zeigen.


Creasy
Senior
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 429
Herkunft:
 Beitrag No.12, eingetragen 2019-10-17 18:38    [Diesen Beitrag zitieren]

Ohne Differentialrechnung kannst du die Fälle $n$ gerade und $n$ ungerade betrachten.

Für gerade $n=2m$ zeige, dass $\sum_{k=0}^{2m} (-1)^k k \binom{2m}{k} = \sum_{k=0}^{2m} (-1)^k (2m-k) \binom{2m}{k}$ ist. indem du die Summationsreihenfolge bei der zweiten Summe umdrehst und ausnutzt, dass $(-1)^{2m-k}=(-1)^{2m+k}$ ist und addiere die beiden. Das führt auf etwas von der Form von vorhin zurück.


Für ungerade $n=2m+1$ schreibe $\sum_{k=0}^{2m+1} (-1)^k k \binom{2m+1}{k} = \sum_{k=0}^{m} (-1)^k k \binom{2m+1}{k} + \sum_{k=m+1}^{2m+1} (-1)^k k \binom{2m+1}{k}$. Drehe die Summationsreihenfolge bei der zweiten Summe um und wende eine Formel für Binomialkoeffizienten an. Dann noch eine Indexverschiebung und hoffentlich passt es dann.

Grüße
Creasy

Vllt gibt es noch einen Weg ohne Fallunterscheidung und ohne Differenzieren und ohne Induktion?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]


wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1246
Herkunft: Freiburg
 Beitrag No.11, eingetragen 2019-10-17 18:36    [Diesen Beitrag zitieren]

Kennst du vollständige Induktion und die Rekursionsformel

\(\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}\)?

lg Wladimir


stefan_98
Junior
Dabei seit: 17.10.2019
Mitteilungen: 9
Herkunft:
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-10-17 18:10    [Diesen Beitrag zitieren]

Tut mir Leid,

ich bin in der 11. Klasse und wir hatten noch keine Differenzialrechnung.

LG


wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1246
Herkunft: Freiburg
 Beitrag No.9, eingetragen 2019-10-17 17:59    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo stefan_98,

bei der zweiten Frage könntest dir z.B. die Hilfsfunktion \((1-x)^n\) betrachten und diese nach x differenzieren.

lg Wladimir


stefan_98
Junior
Dabei seit: 17.10.2019
Mitteilungen: 9
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-10-17 17:55    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo nochmal,

also den ersten Beweis für
habe ich nun, nur für die 2. Formel mit zusätzlichem k als Variable nicht.

Könnte mir dabei noch jemand helfen?

LG

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1246
Herkunft: Freiburg
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-17 17:52    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo stefan_98,

als Hinweis: es gilt \((x+y)^n=\sum_{k=0}^nx^{k}y^{n-k}\binom{n}{k}\). Überlege zuerst, welche Werte für x und y zu \(\sum_{k=0}^n(-1)^{k}\binom{n}{k}\) passen.

lg Wladimir


stefan_98
Junior
Dabei seit: 17.10.2019
Mitteilungen: 9
Herkunft:
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-10-17 17:25    [Diesen Beitrag zitieren]

Nein also, ich weiß wie ich es mit dem binomischen Lehrsatz irgendwie an sich zeigen kann, nur mathematisch korrekt kann ich es nicht aufschreiben bzw. formulieren, aber danke erstmal für deinen Ansatz.

LG


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2543
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-17 17:05    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

eine arithmetische Folge hat die Vorschrift $a_k=a+kd$ mit $a,d\in \mathbb{R}$. Es ergibt sich also
\[\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}a_k=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}(a+kd)=a\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}+d\sum_{k=0}^n(-1)^k \binom{n}{k} k.\] Kannst du $\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}=0$ und $\sum\limits_{k=0}^n(-1)^kk\binom{n}{k}=0$ zeigen?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2342
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-17 17:02    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

ist dir in diesem Zusammenhang die Summe

\[\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k}=0\]
bekannt, d.h., darf diese Summe verwendet werden? Für den Fall ist es einfach (mache dir nochmal genau klar, was man unter einer arithmetischen Folge erster Ordnung versteht, denn nichts anderes kann hier gemeint sein).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

stefan_98
Junior
Dabei seit: 17.10.2019
Mitteilungen: 9
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-17 16:48    [Diesen Beitrag zitieren]

und außerdem gilt: n≥2 sowie a ist ein Glied einer beliebigen arythemtischen Zahlenfolge


stefan_98
Junior
Dabei seit: 17.10.2019
Mitteilungen: 9
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-17 16:46    [Diesen Beitrag zitieren]

Oh stimmt natürlich, das Ganze soll 0 ergeben :)


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2342
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-17 16:45    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo stefan_98 und herzlich Willkommen hier auf dem Matheplaneten!

Deiner Gleichung bzw. deiner Summe fehlt noch entscheidendes: ein Ergebnis respektive einem Gleichheitszeichen.

Was ist über die arithmetische Folge ggf. noch bekannt?


Gruß, Diophant


stefan_98
Junior
Dabei seit: 17.10.2019
Mitteilungen: 9
Herkunft:
 Themenstart: 2019-10-17 16:41    [Diesen Beitrag zitieren]

Guten Tag, ich habe die Aufgabe die Gleichung



zu beweisen. Ich habe es versucht bin aber nie weit gekommen.

Könnte mir jemand helfen?

LG Stefan


 
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