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Antworte auf:  Durchschnittliche Lage und Abstände von Punkten auf/in Körpern von cramilu
Forum:  Geometrie, moderiert von: viertel

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MartinN
Aktiv
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1131
Herkunft: Bayern
 Beitrag No.14, eingetragen 2020-01-18 23:27    [Diesen Beitrag zitieren]

Mal zum letzten Integral, mit 0 <= a <= b <= 1 (oBdA) wird das wohl einfacher:
\(s = \frac{Z}{N}\\
Z = \int_0^1 \int_0^b \sqrt{a^2 -ab +b^2} da db\\
= \int_0^1 \left[ \frac{2a-b}{4} \sqrt{a^2 - a b + b^2} + \frac{3b^2}{8} \ln(2a - b + 2 \sqrt{a^2 - a b + b^2}) \right]_0^b db\\
= \int_0^1 \left[ \frac{b^2}{4} + \frac{3b^2}{8} \ln(3b)+\frac{b^2}{4} - \frac{3b^2}{8} \ln(b) \right] db\\
= \int_0^1 \left[\frac{b^2}{2} \left( 1 + \frac{3 \ln(3)}{4} \right) \right] db\\
= \frac{1}{6} \left( 1 + \frac{3 \ln(3)}{4} \right)\\
N = \int_0^1 \int_0^b 1 da db = \int_0^1 b db = \frac{1}{2}\\
s = \frac{1}{3} \left( 1 + \frac{3 \ln(3)}{4} \right) \sim 0,60798640550036075618214464256396\)


Jetzt kann man das fürs Dreieck ausrechnen...
In 1/3 der Fälle sind beide Punkte auf einer Seite, in 2/3 auf 2 benachbarten Seite:
\(S = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \left[ \frac{1}{3} \left( 1 + \frac{3 \ln(3)}{4} \right) \right]\\
= \frac{1}{3} + \frac{\ln(3)}{6} \sim 0,51643538144468494856587420615375\)


Edit:
Da du es auf ein gleichseitiges Dreieck mit Umkreisradius r beziehen magst, noch mit sqrt(3)r erweitern:
\(S(r) = \frac{1 + \ln(\sqrt{3})}{\sqrt{3}} \cdot r \sim 0,89449231948840775310234266677428 \cdot r\)

Quadrat mal morgen überlegen xD


MartinN
Aktiv
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1131
Herkunft: Bayern
 Beitrag No.13, eingetragen 2020-01-18 16:32    [Diesen Beitrag zitieren]

Zu dem gleichschenkligen Dreieck mit Kantenlänge 1 und Punkten auf verschiedenen Seiten (je Abstand a und b von der Ecke). Die Länge der Strecke s ist dann nach dem Cosinussatz:
\(s^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(60°) = a^2 -ab + b^2\)

Somit ist die durchschnittliche Länge (den Zähler und Nenner jetzt mal getrent):
\(s = \frac{Z}{N}\\
Z = \int_0^1 \int_0^1 \sqrt{a^2 -ab +b^2} da db\\
= \int_0^1 \left[ \frac{2a-b}{4} \sqrt{a^2 - a b + b^2} + \frac{3b^2}{8} \ln(2a - b + 2 \sqrt{a^2 - a b + b^2}) \right]_0^1 db\\
= \int_0^1 \left[ \frac{2-b}{4} \sqrt{1 - b + b^2} + \frac{3b^2}{8} \ln(2 - b + 2 \sqrt{1 - b + b^2}) + \frac{b^2}{4} - \frac{3b^2}{8} \ln(b)\right] db\)

Der Nenner dann einfacher... mal sehen ob ich das weiter integrieren kann (nutze dazu auch wolfram alpha xD)


MartinN
Aktiv
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1131
Herkunft: Bayern
 Beitrag No.12, eingetragen 2020-01-18 16:12    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich wurde auf den Thread hier gelenkt...

Mal so paar Dinge aus dem Startpost...

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bei Gleichverteilung zufällig innerhalb eines Kreises mit Radius r gewählter Punkt vom Mittelpunkt M des Kreises einen Abstand von mindestens 2/3 r hat?
Elegant geht es wohl über die Flächen... Kreisring in Abstand 2/3 r bis r zu Vollkrei:
\(p = \frac{\pi r^2 - \frac{4}{9}\pi r^2}{\pi r^2} = \frac{5}{9}\)

Oder über Integrale: im Zähler alle gewollten Abstände a - da diese auf den jeweiligen Umfängen u(a) vorkommen können mit diesen gewichtet - im Zähler alle möglichen Abstände gewichtet (ich setze hierbei der Übersichtlichkeit-halber r = 1).
\[p = \frac{\int_{(\frac{2}{3})}^1 u da}{\int_0^1 u da}\\
= \frac{\int_{(\frac{2}{3})}^1 2\pi a da}{\int_0^1 2\pi a da}\\
= \frac{\frac{1}{2}a^2 |_{(\frac{2}{3})}^1}{\frac{1}{2}a^2 |_0^1}\\
= 2 \cdot (\frac{1}{2} - \frac{4}{18}) = \frac{5}{9}\]


Wenn man auf einer Strecke der Länge s = 2·r bei Gleichverteilung zufällig zwei Punkte wählt, wie groß ist dann deren mittlerer Abstand zueinander?
ObdA sei der erste Punkt im Abstand a von links, und der zweite im Abstand b von links auf der Strecke s. Dann ist der Abstand A beider Punkte b-a (0 <= a <= b <= 2r), und man hat den mittleren Abstand:
\[A = \frac{\int_0^{2r} \int_0^b (b-a) da db}{\int_0^{2r} \int_0^b 1 da db}\\
= \frac{\int_0^{2r} \frac{b^2}{2} db}{\int_0^{2r} b db}\\
= \frac{\frac{(2r)^3}{6}}{\frac{(2r)^2}{2}} = \frac{2}{3}r = \frac{1}{3}s\]


Wenn man auf einer Kugel, einem Kreis, einem regelmäßigen Sechseck, Fünfeck oder Quadrat bei Gleichverteilung zufällig drei Punkte wählt, wie groß ist dann im Mittel der Flächeninhalt des gebildeten Dreiecks?
das wird schwieriger, da vor allem bei regelmäßigen platonischen Körpern man dann noch differenzieren müsste, auf welchen Seiten jetzt die Punkte liegen... auf einer Kugel stelle ich mir das einfacher vor... schließlich kann man dann durch die 3 Punkte einfach eine Ebene legen, die die Kugel in einem Kreis mit Radius r <= R schneidet. Das kann man dann wohl besser berechnen... mach ich mir mal Gedanken xD


cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
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 Beitrag No.11, eingetragen 2019-12-06 21:19    [Diesen Beitrag zitieren]

Zum gleichseitigen Dreieck:

Zwei Zufallspunkte P und Q liegen mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 auf der gleichen Dreiecksseite, und zu 2/3 auf benachbarten Seiten, also auf zwei Einheitsstrecken, die am gemeinsamen Punkt einen Winkel von 60° einschließen.

Für die Lage auf der gleichen Dreiecksseite, also auf der Einheitsstrecke, beträgt der mittlere Abstand zwischen P und Q analytisch exakt 1/3. Für die Lage auf benachbarten Dreiecksseiten konnte ich ihn mittels numerischer Integration zu 0,6079 bestimmen. 1/3 * 1/3 + 0,6079 * 2/3 = 0,5164...

0,5164 entspricht ziemlich genau 2 / wurzel(15). "Rückwärts" gerechnet kommt man damit für 0,6079 auf ziemlich genau wurzel(3/5) - 1/6.

Kann das jemand unter Bezug auf die beiden Doppelintegrale I[1] und I[3] aus Beitrag #9 analytisch korrekt bestätigen?



cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 128
Herkunft:
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-11-20 18:23    [Diesen Beitrag zitieren]

Na, wer liest noch mit?

Nachdem ich mich zwischenzeitlich "nachgebildet" habe, kann ich... manche Integrale auch wieder im Zwei-Schritt-Verfahren lösen: Stammfunktion für "innere" Variable suchen, Bereichswert ausrechnen, mit Teilfunktion für "äußere" Variable multiplizieren, Stammfunktion für "äußere" Variable suchen...

Hierbei hilfreich:    www.integralrechner.de/

!!! BLÖD !!!
Für die von mir bereits ermittelten Doppelintegrale ergeben sich "zwischendurch" fiese Betrags-Stammfunktionen sowie - im zweiten Schritt - kompliziert kombinierte "arsinh"-Konstrukte. Das ist mir deutlich zu "finster"!

Zwischen-Heureka: Geschickte numerische Integration mit 1.000 Teilabschnitten je Einheitsstrecke, und zwar mit Einzelschritten zu 0,001 zwischen 0,0005 und 0,9995!
Im Falle zweier Punkte auf der Einheitsstrecke stabilisiert sich so die sechste Nachkommastelle: 0,333333 gegenüber dem theoretisch gesicherten Wert von genau einem Drittel. Mit jeweils 1.000 Einzelschritten zwischen 0,001 und 1,000 ist das Resultat schlechter, mit jeweils 1.001 Einzelschritten zwischen 0,000 und 1,000 auch. Und via "Monte-Carlo" ist die Abweichung im Vergleich sogar teilweise erheblich!

Ergalso werde ich "meine" Werte aus den Beiträgen #7 und #8 nochmal per entsprechender numerischer Integration "nachschärfen". Ggf. werden sie noch erweitert um diejenigen für die regelmäßigen Acht-, Zehn-, Zwölf- und Sechzehnecke ;)


cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
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 Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-16 18:07    [Diesen Beitrag zitieren]

N'Aamd ;)

Im folgenden kurz meine Integralüberlegungen zum gleichseitigen Dreieck und zum Quadrat... Wie man die löst, weiß ich (noch) nicht (mehr) - Uni-Mathe ist auch schon über 20 Jahre her. Wer da helfen kann, ist herzlichst willkommen! I[1] sollte genau 1/3 ergeben ; I[2] ungefähr 1,076 ; I[3] ungefähr 0,608 ; I[4] ungefähr 0,766 ...

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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 128
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-13 14:55    [Diesen Beitrag zitieren]

... und weiter...

Auf den Seiten eines regelmäßigen Fünfeckes verteilen sich zwei Zufallspunkte so, dass sie mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Fünftel auf der gleichen Seite liegen und in jeweils zwei Fünfteln der Fälle entweder auf zwei einander benachbarten Seiten oder auf zwei einander schräg gegenüber befindlichen.

Beim "Einheitsfünfeck" beträgt so der entsprechend gewichtete mittlere Abstand der beiden Punkte 0,950267. Bei der dem Einheitskreis einbeschrieben Variante beträgt er - entsprechend dem Verhältnis der Seitenlängen zum Radius - r·1,1171.

Auf den Seiten eines regelmäßigen Sechseckes verteilen sich die Zufallspunkte so, dass sie sich jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Sechstel entweder auf der gleichen Seite oder auf zwei einander genau gegenüber liegenden Seiten (Abstand wurzel(3)!) befinden. In jeweils einem Drittel der Fälle liegen sie entweder auf zwei einander benachbarten Seiten oder auf zwei einander schräg gegenüber befindlichen.

Beim "Einheitssechseck" beträgt demnach der entsprechend gewichtete mittlere Punkte-Abstand 1,162556. Beim regelmäßigen Sechseck auf dem Einheitskreis, wo dann Radius und Seitenlänge gleich sind, beträgt er entsprechend r·1,162556.

Zum mittleren Abstand zweier Punkte, die sich INNERHALB eines Quadrates befinden, siehe hier:

www.youtube.com/watch?v=i4VqXRRXi68

Für Kreis und gleichseitiges Dreieck habe ich dazu noch nichts gefunden...


cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 128
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-12 23:50    [Diesen Beitrag zitieren]

Ergalso...

Auf den Seiten eines gleichseitigen Dreieckes verteilen sich zwei Zufallspunkte wie schon zuvor begründet so, dass sie mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Drittel auf der gleichen Seite und in zwei Dritteln der Fälle auf zwei einander benachbarten Seiten liegen.

Beim "Einheitsdreieck" beträgt so der entsprechend gewichtete mittlere Abstand der beiden Punkte 0,515778. Bei der dem Einheitskreis einbeschrieben Variante beträgt er - entsprechend dem Verhältnis der Seitenlängen zum Radius - r·0,893353.

Auf den Seiten eines Quadrates verteilen sich die Zufallspunkte so, dass sie sich jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Viertel auf der gleichen Seite oder auf zwei einander gegenüber liegenden Seiten befinden. In der anderen Hälfte der Fälle liegen sie auf zwei einander benachbarten Quadratseiten.

Beim "Einheitsquadrat" beträgt demnach der entsprechend gewichtete mittlere Punkte-Abstand 0,734833. Beim Quadrat auf dem Einheitskreis beträgt er - entsprechend dem Verhältnis der Seitenlängen zum Radius - r·1,039211.

Die Betrachtungen zum Fünf- (1/5 auf gleicher Seite und jeweils 2/5 auf benachbarten oder schräg gegenüber liegenden Seiten) und zum Sechseck (jeweils 1/6 auf gleicher Seite oder auf gegenüber liegenden sowie jeweils 1/3 auf benachbarten Seiten oder auf "übernächsten") werden folgen ;)


cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 128
Herkunft:
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-12 23:37    [Diesen Beitrag zitieren]

Guten Abend ;)

Bevor ich weitermache eine kurze Einlassung:

Verschachtelte Integrale über mehrere Variable kann ich aufstellen, mag die aber nicht und tue mich beim Berechnen schwer. Leider.
Klar, dass aber genau hier analytisch der Hase im Pfeffer liegt!

Um zunächst erst einmal halbwegs brauchbare Werte zu erhalten, die nicht etwa Resultat einer fehlerhaften Integralreduktion sind, habe ich zwecks Wertegewinnung zunächst jeweils modellhaft "diskret integriert", also Wertekombinationen in Schrittweiten von Hundertsteln der Wertebereiche aufsummiert und hernach gemittelt. EXCEL kann so etwas noch gut genug ;) Erstaunlicherweise sogar abgewandelt zu "Monte-Carlo-Simulationen", was tatsächlich genauere Näherungswerte zu liefern scheint!
Maßstäbe waren für mich die analytisch noch verhältnismäßig einfach herzuleitenden mittleren Abstände zweier Zufallspunkte auf Einheitsstrecke - ein Drittel - und Einheitskreis - "Vier-durch-PI".

Bei den folgenden Erkenntnissen wird es sich demnach fürs erste um solche "simulierten" Werte handeln. Wer immer zu einem davon die zweifelsfreie analytische Herleitung in Gestalt einer stimmigen Infinitesimalbetrachtung beisteuern kann, dem sei herzlicher, heißer Dank ;)


cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 128
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-10 12:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Verblüffung im Dreieck ;)

Sei k eine Kreislinie um M mit Radius r. Seien die Punkte A, B und C derart auf k gewählt, dass sie ein gleichseitiges Dreieck bilden. Seien zwei weitere Punkte P und Q entlang der Dreiecksseiten zufällig, unabhängig und gleichverteilt ausgewählt. Wie groß ist dann der mittlere Abstand zwischen P  und Q?

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 liegen P und Q auf der gleichen Dreiecksseite. Ihr mittlerer Abstand (siehe Beitrag #1 "Eröffnung) ist dann ein Drittel der Seitenlänge oder - bezogen auf r - r·wurzel(3)/3.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 liegen P und Q auf zwei einander benachbarten Dreiecksseiten. Da ich hier analytisch noch zu keinem zufriedenstellenden Ansatz gekommen bin, habe ich die beiden Dreiecksseiten im Ursprung des kartesischen Koordinatensystems beginnen lassen, Punkte auf y = 0 (Waagerechte) zwischen 0 und wurzel(3) um jeweils ein Hundertstel dieser Distanz "wandern" lassen, und eben solches für Punkte auf y = wurzel(3) zwischen 0 und wurzel(3)/2. Aus 10.000 verschiedenen diskreten Abständen - bezogen auf r - habe ich als Mittelwert 1,060172 gefunden, was leidlich genau wurzel(2)*3/4 entspricht.

Das Gesamtmittel wäre dann zu einem Drittel aus wurzel(3)/3 und zu zwei Dritteln aus wurzel(2)*3/4 zu gewichten...

Die Antwort lautet also - vermutlich:

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Kann hier jemand den entsprechenden analytischen Ansatz nennen?


cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 128
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-09 19:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Nächste Stufe...

Sei k eine Kreislinie um M mit Radius r. Seien A und B zwei Punkte auf k, die zufällig, unabhängig und gleichverteilt ausgewählt werden. Wie groß ist dann der mittlere Abstand zwischen A und B?

In LinkDurchschnittlicher Abstand zweier Punkte im Quadrat
habe ich das so gelöst, dass ich den Zentriwinkel SIGMA von B über M nach A als zwischen 0° und 180° gleichverteilt betrachtet habe. Dann ist sein Halbwert PHI zwischen 0° und 90° gleichverteilt. |AB| = s = 2·r·sin(PHI). Der Mittelwert ergibt sich dann - wie bei Wechselspannungen in der Elektrizitätslehre - als Verhältnis des Integralwertes zur Integralweite:

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Was nun, wenn man die beiden Punkte zufällig, unabhängig und gleichverteilt auf den Seiten eines gleichseitigen Dreieckes, Quadrates, regelmäßigen Fünf- oder Sechseckes auswählt? Wenn der Abstand zwischen Schwerpunkt und Ecken jeweils r ist, sollten die mittleren Abstände zwischen den beiden Punkten mit steigender Eckenzahl von r·2/3 bis r·4/PI anwachsen. Lässt sich eine allgemeine Formel in Abhängigkeit von r und der Eckenzahl n finden? Für den Kreis wäre n natürlich(!) "unendlich" ;)


Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 751
Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-09 17:53    [Diesen Beitrag zitieren]

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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 128
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-09 17:26    [Diesen Beitrag zitieren]

Zur ersten Frage meines Startbeitrages:

Sei eine Kreisscheibe K die Menge aller Punkte, die zu einem festen Punkt M einen Abstand von höchstens r haben. Sei ein Punkt P Element von K und bei Gleichverteilung zufällig ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass P zu M einen Abstand von mindestens 2/3 r hat?

Folgende Grafik zeigt grob auf, wo und wie es hier interessant wird:



Nebenbemerkung: Bei der Einfärbung hat sich die alte Weisheit bestätigt, dass man beim Einfärben von durch Grenzen getrennten Gebieten auf Landkarten mit vier Farben auskommt, egal, wie die Gebiete aneinander grenzen ;)

Die eingefärbten Teilflächen haben allesamt den gleichen Flächeninhalt!

Betrachtet man die Gesamtmenge der vier inneren konzentrischen Kreise, so bestehen diese aus sechzehn gleich großen Flächen, während die Gesamtmenge aller sechs konzentrischen Kreise aus sechsunddreißig solchen Flächen besteht. Der Punkt P liegt also mit einer Wahrscheinlichkeit von 20/36 = 5/9 = 55,556 Prozent weiter vom Mittelpunkt M entfernt als zwei Drittel des Gesamtradius!


cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 128
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-09 16:56    [Diesen Beitrag zitieren]

Eröffnung:

Sei |AB| eine Strecke mit Länge s = 2·r. Seien zwei Punkte P und Q auf |AB| bei Gleichverteilung zufällig ausgewählt. Wie groß ist dann der mittlere Abstand zwischen P und Q?

Antwort:

Die Wahrscheinlichkeit, dass P und Q in zwei verschiedenen Hälften von |AB| liegen, beträgt 50 Prozent. Für diese Fälle muss der mittlere Abstand zwischen P und Q r/2 betragen. Die Restwahrscheinlichkeit dafür, dass P und Q in der gleichen Hälfte von |AB| liegen, beträgt ebenfalls 50 Prozent. Diese Fälle betrachten wir auf einer neuen Ebene. Die Wahrscheinichkeit dafür, dass P und Q in zwei verschiedenen Hälften der Hälfte von |AB| liegen, ...

d[PQ] = r/2 + r/8 + r/32 + r/128 + ... = r · 2/3

Alternative Begründungen gerne erbeten!


cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 128
Herkunft:
 Themenstart: 2019-11-09 16:46    [Diesen Beitrag zitieren]

Dies ist als "Sammel-Thema" gedacht!

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bei Gleichverteilung zufällig innerhalb eines Kreises mit Radius r gewählter Punkt vom Mittelpunkt M des Kreises einen Abstand von mindestens 2/3 r hat?

Wenn man auf einer Strecke der Länge s = 2·r bei Gleichverteilung zufällig zwei Punkte wählt, wie groß ist dann deren mittlerer Abstand zueinander?

Wenn man auf einer Kugel, einem Kreis, einem regelmäßigen Sechseck, Fünfeck oder Quadrat bei Gleichverteilung zufällig drei Punkte wählt, wie groß ist dann im Mittel der Flächeninhalt des gebildeten Dreiecks?

Zu allen Problemstellungen, welche sich hier einordnen lassen, sollen Ergebnisse gesammelt, am besten durch Quellen belegt, und ggf. verschiedene Lösungswege erörtert werden. Da analytische Beweise häufig nicht ohne fiese Integrale auskommen, sind schlaue anschauliche Lösungen willkommen. Richtig sollten sie aber schon sein ;)

Beschränken würde ich die Begrenzungsfiguren dreidimensional auf Kugel und platonische Körper sowie zweidimensional auf Kreis und gleichseitiges Dreieck bis regelmäßiges Sechseck.
Die Anzahl der Punkte würde ich jeweils auf höchstens einen mehr als die Dimension der Begrenzungsfigur beschränken, also höchstens zwei Punkte entlang einer einzelnen Linie, höchstens drei Punkte in einem Polygon oder auf dessen Rändern, und höchstens vier Punkte auf einer Körperoberfläche oder in dessen Innerem...


 
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