Antworte auf:  Dimension und komplementärer Untervektorraum von maiena
Forum:  Vektorräume, moderiert von: Fabi Dune ligning

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ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2863
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 Beitrag No.14, eingetragen 2019-11-20 13:35    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

ich glaube, dass du im Forum alle duzen darfst.
2019-11-20 12:53 - maiena in Beitrag No. 11 schreibt:
Nein ich meine Damit den Vektor  1  und   0
                                                        0           1
Der Vektorraum $K^I$ enthält Funktionen $I\to K$ und keine Vektoren $\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ oder $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$. Nehmen wir an, dass $K=\mathbb{R}$ und $I=\{1,2,3\}$ sind, so sind zwei Funktionen aus $K^I$ beispielsweise
\[f(x)=\begin{cases}1,&\text{für $x\in\{1,2\}$}\\0,&\text{für $x=3$}\end{cases}\quad\text{und}\quad g(x)=\begin{cases}-7,&\text{für $x\in\{1,2\}$}\\0,&\text{für $x=3$}\end{cases}.\]
Offenbar gilt $7f(x)+g(x)=0$ für alle $x\in I$. Sie sind deshalb nicht linear unabhängig. Wie viele linear unabhängige Funktionen kannst du in $K^I$ finden?


maiena
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 31
Herkunft:
 Beitrag No.13, eingetragen 2019-11-20 13:10    [Diesen Beitrag zitieren]

Sie wollten ja das ich den Vektorraum beschreibe


ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3134
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.12, eingetragen 2019-11-20 12:54    [Diesen Beitrag zitieren]

Das ist aber keine Funktion.


maiena
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 31
Herkunft:
 Beitrag No.11, eingetragen 2019-11-20 12:53    [Diesen Beitrag zitieren]

Nein ich meine Damit den Vektor  1  und   0
                                                        0           1


ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3134
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-11-20 12:50    [Diesen Beitrag zitieren]

Die Elemente sind Funktionen $I\to \IR$, du weißt wie man Funktionen angibt. Was bedeutet $b_1(0,1)$? Ist das eine mir unbekannte Notation für eine Funktion?


maiena
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 31
Herkunft:
 Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-20 12:35    [Diesen Beitrag zitieren]

Die Basis wäre ja b_1(0,1) und b_2(1,0), also hat er die Dimension 2


ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3134
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-20 12:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Nein. Vielleicht hast du die richtige Idee. Aber die $f(i)$ ($i=1,2,3$) sind Skalare (Elemente von $K$), keine Vektoren (in dem Fall Funktionen $I\to K$). Das kann von vornherein also nicht stimmen.

Fangen wir mal einfacher an. Sei $I=\{1,2\}$. Beschreibe den Vektorraum $\IR^I$. Was ist seine Dimension? Gib eine Basis an.


maiena
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 31
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-20 11:57    [Diesen Beitrag zitieren]

Stimmt dass bei dem Beispiel der Untervektorraum U_J die Menge von f(1),f(2) ist und deshalb der komplementäre Untervektorraum U' die Menge f(3) Ist?


ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3134
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-20 09:20    [Diesen Beitrag zitieren]

Möglich? Jedenfalls geht es hier nicht um Quotientenräume. Ich seh auch nicht, dass du versucht hast, den Tipp von Wally umzusetzen. Es ist oft so, dass man erstmal sich eine Intuition anhand von Beispielen erarbeiten muss. Mach das mal, dann ist die Aufgabe ganz leicht.


maiena
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 31
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-20 08:50    [Diesen Beitrag zitieren]

Oder versteh ich da was falsch?


maiena
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 31
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-19 21:26    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich weiß, dass U_J+U`=K^I
und ich weiß dass der U_J= die Menge der f von K^I für die gilt der Quotientenraum von f|J = 0.
aber wie kann ich dann den Unterraum bestimmen. Habs mit den vorgegebenen Angaben versucht aber bin zu keinem Ergebnis gekommen.


Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8798
Herkunft: Dortmund, Old Europe
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-19 16:45    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

dann probier das doch mal für \(I=\{1,2,3\}\) und \(J=\{1,2\}\) aus.

Wally
\(\endgroup\)

maiena
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 31
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-19 16:40    [Diesen Beitrag zitieren]

Ja ich kenne die Definitionen. Mein größtes Problem ist glaube ich, wie ich mir die Menge der Untervektorraums U_J vorstellen kann.
 


ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3134
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-19 13:22    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

was hast du dir denn dazu schon überlegt? Kennst du die Definitionen von allen vorkommenden Begriffen? Was genau verstehst du nicht?


maiena
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 31
Herkunft:
 Themenstart: 2019-11-19 12:49    [Diesen Beitrag zitieren]

Sei I eine endliche Indexmenge und J ⊂ I. Geben Sie einen zum Unterraum U_J ≤ K^I der K-wertigen Funktionen mit Nullstellenmenge J,
U_J :={f ∈K^I |f|J =0}≤K^I, komplement ̈aren Unterraum U′ an und bestimmen Sie dessen Dimension.

Kann mir bitte wer helfen das Beispiel zu lösen.
Danke im Voraus


 
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