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Antworte auf:  Defekt-Ungleichung Komposition von Shurian
Forum:  Lineare Abbildungen, moderiert von: Fabi Dune ligning

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Themenübersicht
Shurian
Aktiv
Dabei seit: 30.11.2019
Mitteilungen: 60
Herkunft: Heidelberg
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-12-06 14:24    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-12-06 14:21 - Triceratops in Beitrag No. 8 schreibt:
Genauer gesagt kann man hier auch Quotientenräume umgehen.

Finde einfach eine lineare Abbildung $h : \ker(gf) \to \ker(g)$ mit $\ker(h) = \ker(f)$. Es folgt dann die Behauptung.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]

Ok, vielen Dank für die Hilfe!  😄

Viele Grüße,
Shurian


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.9, eingetragen 2019-12-06 14:22    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-12-06 14:21 - Shurian in Beitrag No. 7 schreibt:
Stimmt, danke für den Hinweis.

Müsste ich dann aber nicht eine injektiv lineare Abbildung im($g$)$/$im($g$ $\circ$ $f$) $\to$ $im(f)$ finden, denn ich will ja den Term $dim(im(g)) - dim(im(g \ circ f))$ weghaben.

Nein. Ich bezog mich auf die Aufgabenstellung, nicht auf den Ansatz mit den Dimensionen der Bildern. Denn man kann direkt mit den Kernen arbeiten.


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-12-06 14:21    [Diesen Beitrag zitieren]

Genauer gesagt kann man hier auch Quotientenräume umgehen.

Finde einfach eine lineare Abbildung $h : \ker(gf) \to \ker(g)$ mit $\ker(h) = \ker(f)$. Es folgt dann die Behauptung.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


Shurian
Aktiv
Dabei seit: 30.11.2019
Mitteilungen: 60
Herkunft: Heidelberg
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-06 14:21    [Diesen Beitrag zitieren]

Stimmt, danke für den Hinweis.

Müsste ich dann aber nicht eine injektiv lineare Abbildung im($g$)$/$im($g$ $\circ$ $f$) $\to$ im($f$) finden, denn ich will ja den Term $dim(im(g)) - dim(im(g \ circ f))$ weghaben.


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-12-06 14:13    [Diesen Beitrag zitieren]

Wenn eine injektive lineare Abbildung $V \to V'$ existiert, gilt $\dim(V) \leq \dim(V')$. Denn $V$ ist ja dann isomorph zu einem Teilraum von $V'$.

Grundsätzlich habe ich dir nur grob geschrieben, wie man die Aufgabe lösen kann. Versuche, dir den Rest selbst zu überlegen. Nimm dir etwas Zeit dafür.


Shurian
Aktiv
Dabei seit: 30.11.2019
Mitteilungen: 60
Herkunft: Heidelberg
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-06 14:11    [Diesen Beitrag zitieren]

@Vercassi Macht nichts, trotzdem danke für deine Mühe!

2019-12-06 13:59 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
 Findest du eine injektive lineare Abbildung $ \ker(gf) / \ker(f) \to \ker(g)$? Dann wärst du nämlich fertig.


Wieso wäre ich dann fertig? Das verstehe ich nicht so ganz.


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 756
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-06 14:07    [Diesen Beitrag zitieren]

Stimmt, ich hatte die Ungleichung falschrum gelesen. Mein Fehler.


Shurian
Aktiv
Dabei seit: 30.11.2019
Mitteilungen: 60
Herkunft: Heidelberg
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-06 14:04    [Diesen Beitrag zitieren]
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2019-12-06 13:59 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 2 schreibt:

du musst im Prinzip nur noch zeigen, dass $\dim(\im(g))-\dim(\im(g\circ f))\geq0$, was widerum äquivalent zu $\dim(\im(g))\geq\dim(\im(g\circ f))$ ist.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Das hab ich auf einem meiner letzten Zettel bei einer ähnlichen Aufgabe schon gezeigt. Allerdings erschließt sich mir daraus nicht die Gültigkeit der Gesamtaussge, weil der Term der da steht ist doch ein anderer (größer) als der den ich eigentlich zeigen will?

Viele Grüße,
Shurian
\(\endgroup\)

Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 756
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-06 13:59    [Diesen Beitrag zitieren]
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Hallo Shurian,

du musst im Prinzip nur noch zeigen, dass $\dim(\im(g))-\dim(\im(g\circ f))\geq0$, was widerum äquivalent zu $\dim(\im(g))\geq\dim(\im(g\circ f))$ ist. Das solltest du relativ einfach zeigen können.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)

Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-06 13:59    [Diesen Beitrag zitieren]

Es gilt $\ker(f) \subseteq \ker(g f)$. Es liegt also nahe, den Quotientenraum $\ker(gf) / \ker(f)$ zu betrachten. Findest du eine injektive lineare Abbildung $ \ker(gf) / \ker(f) \to \ker(g)$? Dann wärst du nämlich fertig.

PS: Dieser Beweis funktioniert dann sogar ohne Endlichkeitsannahmen.


Shurian
Aktiv
Dabei seit: 30.11.2019
Mitteilungen: 60
Herkunft: Heidelberg
 Themenstart: 2019-12-06 13:40    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Leute,

sitze seit 2 Stunden an folgender Aufgabe fest:

Sei $K$ ein Körper und $f: U \to V$ und $g: V \to W$ lineare Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen K-Vektorräumen.

Zeigen Sie die Ungleichung: $dim(ker(g \circ f)) \leq dim(ker(g)) + dim(ker (f))$.


Ich habe schon folgende Schritte geschafft:

$$dim(ker(g \circ f)) = dim(U) - dim(im(g \circ f)) = dim(ker(f)) + dim(im(f)) - dim(im(g \circ f)) \leq dim(V) - dim(im(g \circ f)) + dim(ker(f)) = dim(im(g)) + dim(ker(g)) - dim(im(g \circ f)) + dim(ker(f))$$
Ab hier komme ich nicht mehr weiter sodass da nurnoch $dim(ker(g)) + dim(ker(f))$ steht. Für kleine Tipps oder Verbesserungen wäre ich sehr dankbar.

Viele Grüße,
Shurian


 
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