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Antworte auf:  Inneres, Abschluss und Rand einer Teilmenge von MatheDude
Forum:  Topologie, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Themenübersicht
PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2434
Herkunft:
 Beitrag No.31, eingetragen 2019-12-10 15:50    [Diesen Beitrag zitieren]

Ja, $\mathbb{R}$ ist abgeschlossen, da das Komplement (die leere Menge) offen ist.


In der leeren Menge gibt es kein Element, weshalb die Bedingungen entfallen

So solltest du es nicht sehen.
Es entfallen nicht die zu testenden Bedingungen, sondern es gibt keine Elemente, die zu testen sind.
Insbesondere gibt es keine Elemente die die Bedingungen nicht erfüllen, weshalb diese dann trivialerweise erfüllt sind.


MatheDude
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 71
Herkunft:
 Beitrag No.30, eingetragen 2019-12-10 15:34    [Diesen Beitrag zitieren]

Rein logisch würde ich so argumentieren:

R ist unser ganzer Raum sodass das Komplement die leere Menge ist.
In der leeren Menge gibt es kein Element, weshalb die Bedingungen entfallen, sodass die leere Menge immer offen ist.
Dadurch ist R abgeschlossen.

Ist die Argumentation so schlüssig?


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2434
Herkunft:
 Beitrag No.29, eingetragen 2019-12-10 15:19    [Diesen Beitrag zitieren]

Ja, deine Notation von dem Rand ist korrekt, wenn du $y\in\mathbb{R}^2$ schreibst.

Der Abschluss vom Produkt, also $\overline{\mathbb{Q}\times\mathbb{R}}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ und natürlich nicht einfach $\mathbb{R}$.

Der Rand von $\mathbb{Q}$ ist $\mathbb{R}$.

Der Abschluss von $\mathbb{R}$ ist in der Tat $\mathbb{R}$, weil $\mathbb{R}$ (als Teilmenge von $\mathbb{R}$) schon abgeschlossen ist. Warum?


MatheDude
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 71
Herkunft:
 Beitrag No.28, eingetragen 2019-12-10 15:07    [Diesen Beitrag zitieren]

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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2782
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.27, eingetragen 2019-12-10 12:40    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen,

ich möchte zur ersten Aufgabe einmal sachte anmerken, dass doch die Euklidische Norm hier sicherlich nicht zufällig in der Form ausgeschrieben dasteht. Die könnte man nämlich hier zur Notation aller drei Mengen benutzen: dem Inneren, dem Rand und dem Abschluss. Stichwort: Kreisgleichung.

Zur anderen Menge hatte ich ja in Beitrag #21 einen Link zu einem älteren Thread hier gesetzt, der hier in Sachen Verständnis weiterhelfen kann (denke ich mal).


Gruß, Diophant


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2434
Herkunft:
 Beitrag No.26, eingetragen 2019-12-10 12:14    [Diesen Beitrag zitieren]


B(0,2) ist ja keine abgeschlossene Menge [...]. Dies kann ich damit begründen,dass die Definition von Offenheit zum Beispiel bei 2 nicht zutrifft.

Du hast die richtige Idee, aber mit der 2 geht das nicht.
Denn die 2 ist kein Element der Menge $B(0,2)=\{y\in\mathbb{R^2}| \|y-0\|<\varepsilon\}$.

Denn $2\notin\mathbb{R}^2$.

Wahrscheinlich habt ihr aber bereits irgendwann mal gezeigt, dass Mengen der Form von $B(0,2)$ offen sind.


Damit wäre die kleinste abgeschlossene Menge auch B(0,2) jedoch mit den Werten die im Radius 2 liegen

Das ist korrekt.

Also $\overline{B(0,2)}=\{y\in\mathbb{R}^2| \|y\|\leq 2\}$


Damit wäre auch der Rand die Menge der Punkte, welche nur im Radius 2 liegen, jedoch weiß ich nicht wie ich das genau formulieren soll.

Das ist unsauber formuliert, aber es ist klar, was du meinst.
Aber was soll denn zum Beispiel 'im Radius 2 liegen' bedeuten.

Der Rand ist die Menge aller Punkte, welche den Abstand 2 zum Ursprung haben.

Es gilt ja $\partial A=\overline{A}\setminus A^\circ$.
Wenn dir also nicht noch nicht ganz klar ist, wie du $\partial A$ konkret als Menge hinschreibst (im Stil von $\overline{B(0,2)}$ oben, dann kannst du es dir so vielleicht nochmal überlegen)


Die Menge Q ist nicht offen, da es im Verhältnis zu R nicht alles ausfüllt

Diese Anschauung (und Formulierung) ist natürlich recht schwammig.


und man somit kein $\epsilon$ findet, welches nur Werte von $\mathbb{Q}$ beinhaltet.

Das ist korrekt.
Man findet also kein $\varepsilon>0$, sodass für $q\in\mathbb{Q}$ der offene Ball um $q$ mit Radius $\varepsilon$ ganz in $\mathbb{Q}$ liegt.

Also $B(q,\varepsilon)\subseteq\mathbb{Q}$ gilt nicht.
($\mathbb{Q}$ liegt dicht in $\mathbb{R}$)

Vorsicht: Die Menge $B(q,\varepsilon)$ sieht hier 'anders' aus als die offenen Bälle weiter oben, denn die Metrik ist eine andere. Nämlich die Standarmetrik bzw. der Absolutbetrag.


Damit sollte doch das kartesische Produkt auch nicht offen sein oder?

Ja, das ist korrekt. Ein Produkt $A\times B$ ist genau dann abgeschlossen, wenn es $A$ und $B$ sind.
Wenn du dieses Resultat zur Verfügung hast, kannst du so argumentieren.


Aber es müsste dann im Grundgedanken abgeschlossen sein, da X-A offen ist (wieder die Begründung mit dem \epsilon).

Ich verstehe gerade nicht über welche Menge du redest.

Wenn du sagen möchtest, dass $\mathbb{Q}$ abgeschlossen in $\mathbb{R}$ ist, so irrst du leider.

Damit $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ offen ist, müsstest du um jede irrationale Zahl $r$ ein $\varepsilon$-Umgebung finden, die ganz in $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ liegt. Aber man kann rationale von irrationalen Zahlen nicht trennen, da sie zu dicht aneinander liegen.


Damit wäre doch der Abschluss aller Punkte vom kartesischen Produkt die Vereinigung aller Werte die beim Produkt enstehen..

Das ist wieder nicht gut formuliert. Man bildet nicht den Abschluss von Punkten, sondern von Mengen.
Man kann natürlich den Abschluss von Einpunkt-Mengen bilden, aber das ist ja genau genommen auch etwas anderes.

Das kartesische Produkt ist natürlich gleich zu der Menge, die aus der Vereinigung aller Punkte des kartesischen Produktes, entsteht.

Du sagst hier ja $A\times B=\bigcup_{(a,b)\in A\times B} (a,b)$.
Das gilt natürlich immer.


Der Rand wäre damit wiederum das kartesische Produkt selber.

Nein. Das ist aber auch gar nicht so verkehrt.
Der Rand stimmt hier mit einer anderen Menge überein.



MatheDude
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 71
Herkunft:
 Beitrag No.25, eingetragen 2019-12-10 11:44    [Diesen Beitrag zitieren]

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Der Rand wäre damit wiederum das kartesische Produkt selber.
Wie gesagt das kommt mir selber komisch vor und benötige noch etwas Zeit.



PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2434
Herkunft:
 Beitrag No.24, eingetragen 2019-12-08 01:09    [Diesen Beitrag zitieren]

[Von der Länge des Beitrages nicht abschrecken lassen. Ich weiß, dass es manchmal didaktisch besser ist knappe Beiträge zu schreiben um einem Hilfesuchenden nicht zu erschlagen und ihm Zeit zu geben die Dinge für sich zu verdauen. Ich versuche hier nur altes bekanntes aufzufrischen und keine neuen Fragen zu stellen. Mir ist gerade einfach danach... :)]

Es ist ja

$B(0,2)=\{y\in\mathbb{R}^2| \|0-y\|<2\}$

$\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$

Erstmal, da du es hier schön mehrfach falsch hingeschrieben hast ein kleiner 'Exkurs' in die Notation:

Wir haben hier eine Teilmenge des $\mathbb{R}^2$ vorliegen.
Die Elemente aus $B(0,2)$ sind paare. Auch $y\in\mathbb{R}^2$ ist ein Paar, also $y=(y_1,y_2)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, was nichts anderes heißt als $y_1,y_2\in\mathbb{R}$.

Genauso ist auch die Null $0$, die ich in der Menge $B(0,2)$ hinschreibe ein Element aus $\mathbb{R}^2$. Nämlich das Element $(0,0)$.

Also ist $\|0-y\|=\sqrt{(0-y_1)^2+(0-y_2)^2}=\sqrt{y_1^1+y_2^2}$

Ich schreibe das nicht, weil ich der Meinung bin, dass du das alles gerade hier nicht im Überblick hast, sondern nur, weil ich sehe, dass du hier teilweise grundlegende Dinge durcheinander bringst, obwohl ich schon mehrfach darauf hingewiesen habe. :)

Das liegt aber wohl daran, dass dir die Begriffe einfach noch zu Fremd sind.
Vielleicht sollten wir einen kleinen Schritt zurückmachen und uns Teilmengen des $\mathbb{R}$ ansehen und nicht von $\mathbb{R}^2$.

Folgende Verständnisfragen kannst du beantworten, wenn du möchtest:

1) Was ist die Standardmetrik in $\mathbb{R}$

2) Wie sehen die offenen Bälle $B(m,r)$ (mit Mittelpunkt m und Radius r) in $\mathbb{R}$ aus? (Wenn man sie skizziert)

3) Was ist der Rand, Abschluss und das Innere von $(0,1)\subseteq\mathbb{R}$, also das Intervall, nicht der Punkt, der ja ein Element aus $\mathbb{R}^2$ wäre. (Anschaulich, ohne Beweis)

Adhoc-Fragen:

Eine Menge ist entweder offen oder abgeschlossen (wie eine Tür).

$\{1\}\subseteq\mathbb{R}$ ist eine .... Menge.

$[-1,\infty)$ ist ...

Wahr oder Falsch?

$\emptyset$ ist offen.

$\emptyset$ ist abgeschlossen.



Also dürfen die Werte höchstens gegen 1,9999... konvergieren.

Hier schreibst du wieder ein Element aus $\mathbb{R}$ hin.
Die Folgen mit Elementen aus $B(0,2)$ können also nicht gegen dieses Element konvergieren. Eine Folge in $B(0,2)$ ist ja von der Form $((a_n,b_n))_n$ und konvergiert (wenn Konvergenz vorliegt) gegen etwas der Form $(a,b)$.


wir eine Folge benötigen, welche als Grenzwerte der Werte in B(0,2) jeden Wert in B annähmen lässt (sehr schwammig ausgedrückt. Tut mir leid).

Ja, das ist in der Tat sehr schwammig ausgedrückt und so auch falsch.
Eine Folge kann natürlich nicht jeden Wert aus $B(0,2)$ als Grenzwert haben.
Der Grenzwert ist (in metrischen Räumen) eindeutig bestimmt (in allgemeinen topologischen Räumen muss das nicht stimmen. Aber metrische Räume sind sogenannte Hausdorffräume)


Aber wie kann ich eine solche Folge finden.

Kannst du nicht. :)
Also nicht eine Folge mit deiner oben genannten Eigenschaft.

Du müsstest auch unendlich viele solcher Folgen angeben und du hättest kein wirkliches 'Abbruchkriterium' wann du wirklich alle Elemente im Abschluss gefunden hast.

Für bestimmte Elemente könntest du schon eine Folge angeben.
Zum Beispiel ist der Punkt (2,2) ein Element aus $\overline{B(0,2)}$

Könntest du eine Folge aus $B(0,2)$ angeben, die gegen dieses Element konvergiert?


Aber du musst du auch nicht unbedingt mit Folgen arbeiten.
Es gibt mehrere äquivalente Definitionen, die ihr sicherlich kennt.

Der Abschluss einer Menge $\overline{X}$ entsteht unteranderem aus $X$ indem man alle Grenzwerte hinzunimmt, welche man mit Folgen aus $X$ annähern kann.

Das heißt also, wenn $(x_n)\in X$ eine konvergente Folge ist, dann liegt der Grenzwert im Abschluss von $X$.

Man erhält den Abschluss einer Menge auch, indem man den Schnitt aller abgeschlossenen Mengen nimmt, die $X$ enthalten.

Also:

$\overline{X}=\displaystyle{\bigcap_{\quad\quad\, V\supseteq X\\ \text{$V$ ist abgeschlossen}}} V$

Daher: Der Abschluss einer Menge $X$ ist die kleinste abgeschlossene Menge, die $X$ enthält.


Mir fällt dazu leider nichts ein außer zu raten.

Raten ist vielleicht keine so schlechte Idee.
Wie gesagt 'muss' man hier ja auch raten.
Denn wir müssen ja einen Kandidaten für $\overline{B(0,2)}$ finden um dann zu beweisen, dass dies tatsächlich der Abschluss ist.

Und um da eine sinnvolle Wahl zu finden, kannst du dir das ganze nochmal bildlich vorstellen.


MatheDude
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 71
Herkunft:
 Beitrag No.23, eingetragen 2019-12-07 23:20    [Diesen Beitrag zitieren]

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MatheDude
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 71
Herkunft:
 Beitrag No.22, eingetragen 2019-12-07 22:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

vielen Dank für eure Antworten.

Ich werde versuchen den Abschluss nochmal zu ermitteln.
Den Thread schaue ich mir dannach an.

Danke nochmal


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2782
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.21, eingetragen 2019-12-07 22:31    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo nochmals,

PrinzessinEinhorn hat dir ja zur Menge \(A_1\) deine Fehler erläutert und insgesamt eine denkbar umfangreiche Hilfestellung gegeben, damit solltest du hier weiterkommen.

Da du jedoch die drei Begriffe Inneres, Rand und Abschluss einer Menge offensichtlich noch nicht so ganz verstanden hast und die Menge \(A_2\) hier deutlich kniffliger ist, möchte ich für diese zweite Teilaufgabe auf diesen schon etwas älteren Thread verweisen, der hier Licht ins Dunkel bringen kann. Es ist nicht schwierig, die dortigen Resultate an deine Aufgabe anzupassen.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.18 begonnen.]
\(\endgroup\)

PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2434
Herkunft:
 Beitrag No.20, eingetragen 2019-12-07 22:28    [Diesen Beitrag zitieren]


Jedoch hatte ich einmal die Lösung für den Abschluss mit 2 und einmal mit 0. Hatte angenommen, dass der mit 2 logischer war.
Kann es sein, dass 0 doch richtig war.

Nein. Aus den gleichen Gründen, die ich in Beitrag 18 genannt habe. :)


MatheDude
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 71
Herkunft:
 Beitrag No.19, eingetragen 2019-12-07 22:24    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

meine gesamten Unterlagen stehen mir leiderberst morgen wieder zu verfügung.
Jedoch hatte ich einmal die Lösung für den Abschluss mit 2 und einmal mit 0. Hatte angenommen, dass der mit 2 logischer war.
Kann es sein, dass 0 doch richtig war.

Wie gesagt habe ich gerade meine Unterlagen nicht und kann meinen Lösungsweg nicht überprüfen.


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2434
Herkunft:
 Beitrag No.18, eingetragen 2019-12-07 21:00    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-12-07 20:44 - MatheDude in Beitrag No. 16 schreibt:

Nach der unserer Definition vom Inneren müsste das Innere die gesamte Kugel sein. Sprich B(0,2).

Das ist korrekt.
Denn das Innere einer Menge ist vor allem die größte offene Menge, die in der Menge enthalten ist.
B(0,2) ist offen, also ist $B(0,2)=B(0,2)^\circ$


Der Abschluss wäre 2.

Nein. Das kann es mehreren Gründen nicht korrekt sein.

1) Weil 2 kein Element von deiner Menge ist, denn diese enthält ja Paare als Elemente.

2) Gilt folgender Zusammenhang, der sicherlich bekannt ist:

Es gilt $X^\circ \subseteq X\subseteq \overline{X}$

[Edit: Der Abschluss kann also nicht kleiner sein als das Innere, oder die Menge selbst, wie es deine Lösung suggeriert.]


Und der Rand müsste dann 2 ohne B(0,2) und da 2 nicht in B(0,2) enthalten ist, ist der Rand 2.

Das ist dann natürlich auch nicht korrekt.

:)


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2434
Herkunft:
 Beitrag No.17, eingetragen 2019-12-07 20:54    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-12-07 20:08 - MatheDude in Beitrag No. 13 schreibt:
Ich kannte bisher das kartesische Produkt nur in der schriftlichen Form oder in einer Art Tabelle, jedoch wüsste ich nicht wie ich das verbildlichen könnte.

Du kennst das kartesische Produkt eigentlich auch schon aus der Schule.
Und eine Verbildlichung von Funktionen.

Immer wenn du eine Funktion gezeichnet hast, hast du ein kartesisches Produkt skizziert.

Man nennt das Koordinatensystem auch kartesisches Koordinatensystem, wie du vielleicht weißt.
Das kommt von René Descartes (also 'cartesisches' Koordinatensystem... obwohl er nicht der erste mit der Idee war). Nur so am Rande. :)

Denn ein Funktionsgraph ist ja nur die Menge der Punkte von der Form $(x|y)$, oder genauer:

Wenn du eine Funktion $f:X\to Y, x\mapsto f(x)$ hast, dann ist $\Gamma(f):=\{(x,f(x))\in X\times Y|x\in X\}$ der Funktionsgraph von $f$.

Und dies ist wie gesagt eine Verbildlichung einer Produktmenge.
Denn $\Gamma(f)\subseteq X\times Y$. Was jetzt vielleicht von der Notation her ein bisschen verwirrend sein könnte, weil auf der linken Seite nur 'eine' Menge steht und 'kein' Produkt.
Aber $\Gamma(f)$ enthält als Elemente ja Paare. :)

Du siehst also, dass Produktmengen etwas ganz natürliches sind, womit du schon seit langem vertraut bist.

Wenn du dir also eine Produktmenge vorstellen willst, dann mach es wie mit einer Funktion.

Das Koordinatensystem aus der Schule war ja immer der $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$.

Und auch deine Menge $A_2=\mathbb{Q}\times\mathbb{R}\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ kannst du dir vorstellen.
Man kann die Menge zwar nicht mehr Zeichnen, da es viel zu viele (überabzählbar viele) Punkte sind, aber die Vorstellung ist eigentlich klar.

Das hilft dann wieder sich den Abschluss, Rand und das Innere vorzustellen.

Am Anfang könntest du dich vielleicht erstmal fragen, was $\mathbb{Q}$ als Teilmenge von $\mathbb{R}$ denn für einen Abschluss, Rand und Inneres hat.

Bzw. wie $\mathbb{Q}$ aussieht.
(Welche Eigenschaft hat $\mathbb{Q}$ denn im Zusammenhang mit $\mathbb{R}$?)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]


MatheDude
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 71
Herkunft:
 Beitrag No.16, eingetragen 2019-12-07 20:44    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,
Habe gerade meine Notizen nicht bei mir aber versuche das mal aua dem Kopf zu rekaptiulieren.
Die Definitionen kann ich auf Wunsch auch nochmal reinschicken.

Nach der unserer Definition vom Inneren müsste das Innere die gesamte Kugel sein. Sprich B(0,2).

Der Abschluss wäre 2.
Und der Rand müsste dann 2 ohne B(0,2) und da 2 nicht in B(0,2) enthalten ist, ist der Rand 2.

So richtig?


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2782
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.15, eingetragen 2019-12-07 20:28    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo MatheDude,

sorry: aber wenn du 'das erste geschafft hast', warum gibst du deine Resultate dann nicht an? Dann könnten wir nämlich sehen, ob du das wirklich geschafft respektive die Begrifflichkeiten verstanden hast.

Dann könnte man auch zielführend helfen.

Das kartesische Produkt \(\IQ\times\IR\) besteht einfach aus Paaren \((q,r)\) mit \(q\in\IQ\) und \(r\in\IR\).


Gruß, Diophant



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]
\(\endgroup\)

ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2671
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 Beitrag No.14, eingetragen 2019-12-07 20:27    [Diesen Beitrag zitieren]

Nach der Definition für das kartesische Produkt ist
\[\mathbb{Q}\times\mathbb{R}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid x\in \mathbb{Q},\,y\in \mathbb{R}\}.\] Es sind also jene Punkte, bei denen die erste Komponente rational und die zweite Komponente reell ist, so ist der Punkt $(1/2,\sqrt{2})$ in der Menge, aber der Punkt $(\sqrt{2},1/2)$ ist es nicht.


MatheDude
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 71
Herkunft:
 Beitrag No.13, eingetragen 2019-12-07 20:08    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

da fängt bei mir das Problem an.
Ich kannte bisher das kartesische Produkt nur in der schriftlichen Form oder in einer Art Tabelle, jedoch wüsste ich nicht wie ich das verbildlichen könnte.


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2434
Herkunft:
 Beitrag No.12, eingetragen 2019-12-07 20:00    [Diesen Beitrag zitieren]

Wie kann man sich $\mathbb{Q}\times \mathbb{R}$ denn vorstellen?

Was vermutest du denn für den Rand, das Innere und den Abschluss?


MatheDude
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 71
Herkunft:
 Beitrag No.11, eingetragen 2019-12-07 19:50    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

habe jetzt das Erste geachafft. Antworte jedoch erst so spät, da ich noch weg musste.
Ich weiß jedoch nicht wie ich das Prinzip einer Kugel auf das kartesische Produkt anwenden kann. Habe auch nach einer Recherche nichts dazu gefunden.
Hätte da jemand einen Tipp?


MatheDude
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 71
Herkunft:
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-12-07 10:40    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich werde das mal versuchen.
Mit den Teilmengen meinte ich nicht

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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2782
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.9, eingetragen 2019-12-07 10:36    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2019-12-07 10:28 - MatheDude in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich glaube es müsste tatsächlich <2 heißen

Ja, das hatten wir für uns ja jetzt auch geklärt.  smile

2019-12-07 10:28 - MatheDude in Beitrag No. 7 schreibt:
Zur Frage:

Man kann zeigen das die jeweiligen Mengen Teilmengen voneinander sind.

Hier hast du etwas völlig missverstanden. Du sollst die Aufgabe für die beiden Mengen \(A_1\) und \(A_2\) getrennt betrachten, die haben nichts miteinander zu tun.

Und bitte lies gegebene Antworten gründlicher durch. PrinzessinEinhorn hat dir in Beitrag #3 schon ziemlich viel zur Menge \(A_1\) zusammengestellt. Es ist jetzt IMO an dir, das weiterzuverarbeiten, einen eigenen Versuch zu starten und diesen dann hier vorzustellen.

Die Begriffe kann man alle in der Literatur oder im Netz nachschlagen. Und es ist in einem Studium ein völlig alltäglicher Vorgang, sich Stoff selbst zu erarbeiten.

Nachtrag:
2019-12-07 10:34 - MatheDude in Beitrag No. 8 schreibt:
Das Innere müsste dann nach der Definition ganz B sein, so wie ich das verstanden habe.

Das ist korrekt. Jetzt solltest du allerdings dann die Menge B noch unter Verwendung der Euklidischen Norm hinschreiben.

Zum Rest in Sachen \(A_1\) schau mal bitte hier nach.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
\(\endgroup\)

MatheDude
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 71
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-12-07 10:34    [Diesen Beitrag zitieren]

Das Innere müsste dann nach der Definition ganz B sein, so wie ich das verstanden habe.

Der Abschluss idt ja der Grenzwert (hier 2) einer Folge y_k , dort bin ich mir unsicher wie ich diese Folge aufzeigen kann.

Und der Rand hängt ja davon ab


MatheDude
Aktiv
Dabei seit: 19.11.2019
Mitteilungen: 71
Herkunft:
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-07 10:28    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

ich habe mich auch informiert und gefunden, dass wir doch etwas Topologie hatten, jedoch nicht unter diesem Namen.

Wir haben die Begriffe Kompaktheit, offenheit und Abgeschlossenheit eingeführt.

Ich glaube es müsste tatsächlich <2 heißen

Zur Frage:

Man kann zeigen das die jeweiligen Mengen Teilmengen voneinander sind.


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2782
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-12-07 10:16    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
@PrinzessinEinhorn:
Jetzt habe ich auch nochmal ein wenig recherchiert (mir sind halt Schreibweisen oft nicht so geläufig): es ist wie du sagst, es ist der offene Ball um \(0\) mit Radius \(2\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2434
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-07 10:09    [Diesen Beitrag zitieren]

Stimmt, eigentlich es sinnvoll, dass der offene Ball um 0 mit Radius 2 gemeint ist. In dem Fall ist also $\leq 2$ durch $<2$ zu ersetzen.


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2782
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-07 10:01    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo zusammen,

ich hätte das jetzt eher so interpretiert, dass \(B(0,2)\) eine offene Umgebung des Punktes \((0,2)\) sein soll. Diese Schreibweise ist mir jedenfalls so geläufig.

EDIT: nein, das war falsch. Siehe dazu die nächsten Beiträge.


Gruß, Diophant


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PrinzessinEinhorn
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 Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-07 09:45    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

den Begriff von topologischen Räumen brauchst du hier eigentlich auch nicht. Man kann Abschluss, Rand und Inneres ja auch für metrische Räume definieren.

Du hast hier Teilmengen von $\mathbb{R}^2$ vorliegen.

Was $B(0,2)$ ist, kann ich dir nicht genau sagen, da die Definition fehlt. Aber vermutlich ist es der Kreis mit Radius 2 um den Mittelpunkt 0, wie du schon sagtest.

Also $B(0,2)=\{y\in\mathbb{R}^2| \|0-y\|\leq 2\}$

Im Zweifelsfall musst du das auch noch mal im Skript nachschlagen.

Nun ist die Frage nach dem Rand, Abschluss und Inneren.
Das gute ist, dass diese Begriffe eigentlich recht anschaulich sind.

Im Grunde geht es darum die Gleichheit von zwei Mengen zu zeigen.
Dazu müssen wir erst einmal vermuten, was denn nun der Rand, Abschluss und das Innere deiner Menge sein soll.
Im Falle von $A_1$ ist das wie gesagt recht anschaulich.



Was wird hier wohl der Rand dieser Menge sein?
Was sollte das Innere sein?
Und der Abschluss?

Nun kannst du diese Mengen erstmal hinschreiben.
Zu zeigen ist nun, dass Mengengleichheit besteht.

Also $\partial B(0,2)=\dotso$ usw.
Hierfür musst du dann die Definitionen benutzen.

Wie du die Gleichheit von zwei Mengen zeigst, weißt du wahrscheinlich.
Was ist dafür allgemein zu tun?

Es ist natürlich legitim wenn du 'Abkürzungen' nimmst.
Da ist es wieder wichtig, genau zu gucken wie die Begriffe definiert wurden.


MatheDude
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 Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-06 22:54    [Diesen Beitrag zitieren]

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Diophant
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 Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-06 22:44    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

die Frage, wie du anfangen solltest ist leicht zu beantworten: schlage die drei Begriffe nach und mache dir ihre Bedeutung klar.

So viel sei verraten: der Rand ist definiert als Differenzmenge aus Abschluss und Innerem.

Und: es geht hier um Teilmengen von topologischen Räumen. Irgendetwas in diese Richtung sollte im Rahmen deines Studiums schon vorgekommen oder zumindest in deinen Unterlagen enthalten sein.

Fange einmal mit der Menge \(A_1\) an: wie sieht diese Menge denn aus?


Gruß, Diophant
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MatheDude
Aktiv
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 Themenstart: 2019-12-06 21:55    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

ich habe eine Aufgabe bekommen an der ich mich jetzt ranwagen wollte, jedoch ist sie das erste Mal, dass ich mit so einem Aufgabentyp arbeite und bräuchte etwas Hilfe, da ich nicht weiß wie ich anfangen soll.
Die Aufgabe:
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